高中数学 1.2《极坐标系-简单曲线的极坐标方程》教案(1) 新人教版选修4-4
(新)高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程学案新人教A版选修4-41
三 简单曲线的极坐标方程1．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆)的方程． 2．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．1．圆的极坐标方程(1)曲线C 的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中____________________，并且坐标________________________都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．(1)由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M (π4，π4)可以表示为(π4，π4＋2π)或(π4，π4－2π)等多种形式，其中只有(π4，π4)的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程．(2)今后我们遇到的极坐标方程多是ρ＝ρ(θ)的形式，即ρ为θ的一个函数． (3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O 对称．(2)圆经过极点O ，圆与极轴的另一个交点是A (2a,0)，圆的半径是a ，圆心坐标是C (a,0)(a ＞0)，则圆的极坐标方程是________________．【做一做1－1】 极坐标方程ρ＝1表示( )．A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆【做一做1－2】 在极坐标系中，求圆心为A (8，π3)，半径为5的圆的方程．2．直线的极坐标方程直线l 经过极点，极轴与直线l 的夹角是α，则直线l 的极坐标方程为________(ρ∈R )．求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等等来建立ρ，θ之间的关系．【做一做2－1】 极坐标方程sin θ＝13(ρ∈R )表示的曲线是( )．A ．两条相交直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线【做一做2－2】 曲线θ＝0，θ＝π3(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________．【做一做2－3】 极坐标方程ρcos θ＝sin 2θ所表示的曲线是__________．答案：1．(1)至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0 适合方程f (ρ，θ)＝0的点 (2)ρ＝2a cos θ 【做一做1－1】 C【做一做1－2】 解：在圆上任取一点P (ρ，θ)，那么，在△AOP 中，|OA |＝8，|AP |＝5，∠AOP ＝π3－θ或θ－π3.由余弦定理得cos ∠AOP ＝82＋ρ2－522×8×ρ，即ρ2－16ρcos (θ－π3)＋39＝0为所求圆的极坐标方程． 2．θ＝α【做一做2－1】 A 【做一做2－2】8π3【做一做2－3】 一条直线和一个圆 ∵ρcos θ＝sin 2θ＝2sin θcos θ， ∴cos θ＝0或ρ＝2sin θ. cos θ＝0表示一条直线(y 轴)；ρ＝2sin θ＝2cos (θ－π2)表示圆心为(1，π2)，半径为1的圆．1．直角坐标系与极坐标系的区别剖析：(1)在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x ，y )是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ，θ)只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对(ρ，θ)对应．例如(ρ，2n π＋θ)与(－ρ，(2n ＋1)π＋θ)(n 为整数)表示的是同一个点，所以在极坐标系内点与有序实数对(ρ，θ)不是一一对应的．(2)在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程)．可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的．(3)在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P 的一个极坐标为(π4，π4)，那么点P 适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(π4，9π4)就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一种形式适合曲线C 的方程即可．2．求极坐标方程的步骤 剖析：求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标ρ，θ的关系式f (ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．3．常见的直线和圆的极坐标方程 剖析：(1)直线的极坐标方程(a ＞0)．①过极点，并且与极轴成α角的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R )； ②垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ； ③平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程：ρsin θ＝a ；④不过极点，和极轴成α角，到极点距离为a 的直线的极坐标方程：ρsin(α－θ)＝a .(2)圆的极坐标方程(a ＞0)．①圆心在极点，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝a ；②圆心在(a,0)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝2a cos θ；③圆心在(a ，π)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝－2a cos θ；④圆心在(a ，π2)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝2a sin θ；⑤圆心在(a ，3π2)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝－2a sin θ；⑥圆心在(a ，θ0)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝2a cos (θ－θ0)．题型一 圆的极坐标方程【例1】 求圆心在A (2，3π2)，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．反思：在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出ρ与θ的函数关系，即要求的极坐标方程．题型二 直线的极坐标方程【例2】 求过点A (1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．分析：本题可用两种解法：(1)可先根据题意画出草图，并设点M (ρ，θ)是直线上的任意一点，从而由等量关系建立关于ρ，θ的方程并化简，最后检验是否是所求即可；(2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程，然后由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ化为极坐标方程即可．反思：解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而建立了以ρ，θ为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过利用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解．题型三 直角坐标方程与极坐标方程的互化【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线y ＝3x (x ≤0)；(2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．分析：由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ化简即可．反思：化曲线的直角坐标方程f (x ，y )＝0为极坐标方程f (ρ，θ)＝0，只要将x ＝ρcosθ，y ＝ρsin θ代入到方程f (x ，y )＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x 2＋y 2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都表示以极点为圆心，以5为半径的圆．题型四 易错辨析【例4】 把直角坐标方程x ＋y ＝0化为极坐标方程． 错解：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得 ρcos θ＋ρsin θ＝0.∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴tan θ＝－1.所以极坐标方程是θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：【例1】 解：如图，设M (ρ，θ)为圆上除O 、B 外的任意一点，连接OM ，MB ，则有OB ＝4，|OM |＝ρ，∠MOB ＝|θ－3π2|，∠BMO ＝π2，从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM |＝|OB |cos ∠MOB ，即ρ＝4cos(θ－3π2)＝－4sin θ，点O (0,0)，B (4，3π2)也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.【例2】解法一：如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4，∠OMA ＝π4－θ，在△OAM 中，由正弦定理得OM sin ∠OAM ＝OAsin ∠OMA，即ρsin 3π4＝1sin π4－θ， 所以ρsin(π4－θ)＝22，即ρ(sin π4cos θ－cos π4sin θ)＝22，化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.解法二：以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 直线的斜率k ＝tan π4＝1，直线方程为y ＝x －1，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ(ρ≥0)代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1，所以ρ(cos θ－sin θ)＝1.【例3】 解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ，∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2 θ＋ρ2sin 2 θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)，半径为r ＝|a |.【例4】 错因分析：由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里通常约定θ只在[0,2π)范围内取值．正解：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得 ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0，∴tan θ＝－1.∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．综上所述，直线x ＋y ＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)或θ＝3π4(ρ∈R )或θ＝7π4(ρ∈R )．1极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线2在极坐标系中，过点P (3，3π)且垂直于极轴的直线方程为( )． A ．ρcos θ＝32 B ．ρsin θ＝32C ．ρ＝32cos θD ．ρ＝32sin θ3(2012广东惠州一模)在极坐标系中，点P (2，32π)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．4求过A (2，4π)且平行于极轴的直线． 5在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．答案：1．D ∵cos θ＝2，∴θ＝4π±＋2k π(k ∈Z )． 又∵ρ≥0，∴cos θ＝2表示两条射线． 2．A 设直线与极轴的交点为A ， 则|OA |＝|OP |·cos332π=， 又设直线上任意一点M (ρ，θ)， 则|OM |·cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝32. 3．1 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程：3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离：d1=.4.解：如图所示，在直线l 上任意取一点M (ρ，θ)，∵A (2，4π)， ∴|MH |＝2sin 4π.在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ， 即ρsin θ，∴过A (2，4π)且平行于极轴的直线方程为ρsin θ. 5．解：设M (ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．。
人教版A版选修4—41.3简单曲线的极坐标方程
求圆心在
(a, ) 2
，半径为a的圆的极坐标方 程；
＝2asin
探究2.把下列直角坐标方程转化为极坐标
方程
(1)x2 y2 2x4y0 (2)x2 y2 4
2cos 4sin 0 2
探究3.把下列极坐标方程转化为直角坐
标方程，并说明方程表示什么曲线。
(1) 4cos 2sin
3.求轨迹方程的一般步骤： （1）建系设点 （2）找到几何关系(等量关系） （3）代入化简 （4）检验特殊点 （5）结论
探究一：圆的极坐标方程
预习问题汇总
问题1：半径为a的圆的圆心半径为C（a,0）
(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点的
极坐标 (,满)足的条件即圆的极坐标方程吗？
解：圆经过极点O,设圆和极轴的
4
和 5 ( 0) ( R)
4
4
4
5 ( R)
4
过极点,倾斜角为0的直线的极坐标方程： (1) 0或 0 ( 0);(2) 0( R（). 3） 0 （ R）
问题2.求过点（2,0），与极轴垂直的直线 的极坐标方程。
cos 2
预习小结
ห้องสมุดไป่ตู้
直线的极坐标方程 l
教学目标:
1、知识与技能： 掌握简单图形（过极点的圆，圆心在极点的圆，过极 点的直线，垂直或平行于极径的直线）的极坐标方程； 能熟练进行两种方程的互化 2、方法与过程 通过课前预习了解极坐标方程定义，自主研究简单图 形的极坐标方程的特点，比较简单图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程。 3、情感、态度与价值观 体会在极坐标系和平面直角坐标系中简单曲线的方程； 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中 获得新知；
人教版A版高中数学选修4-4简单曲线的极坐标方程
(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)．
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ.
将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在
点
21，
0
，半径为
1 2
的圆．
13．在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P 2，π4，圆心为 直线 ρsinθ－3π=－ 23与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．
简单曲线的极坐标方程
1．理解极坐标方程的意义．
2．能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程．
3．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系 中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系 的意义．
1．定义
如果曲线C上的点与方程f(ρ，θ)＝0有如下关系：
(1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方 程f(ρ，θ)＝0.
解析：(1)∵ρ2cos 2θ＝1，
∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.
∴化为直角坐标方程为 x2－y2＝1.
(2)因为
ρ＝csoins
θ1 θ·cos
θ，
∴ρcos2θ＝sin θ，ρ2cos2θ＝ρsin θ.
∴化为直角坐标方程为 x2＝y.
(3)∵ρ＝2cos θcos 4π＋2sin θsin 4π＝ 2cos θ＋ 2sin θ，
(2)方程f(ρ，θ)＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上，则 曲线C的方程是f(ρ，θ)＝0.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它 的方程为ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α).
3．圆的极坐标方程 圆心为M(ρ0，θ0)、半径为r的圆方程为
高中数学第一章坐标系3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修44
第二十一页，共41页。
[再练一题] 2．在极坐标系中，点2，π6到直线 ρsin θ＝2 的距离等于________． 【解析】 极坐标系中点2，π6对应的直角坐标为( 3，1)．极坐标系中直线 ρsin θ＝2 对应直角坐标系中直线 y＝2，故所求距离为 1. 【答案】 1
θ＝α或θ＝α＋π ρcosθ＝a －π2<θ<π2 ρsinθ＝a (0<θ<π)
第七页，共41页。
极坐标方程 ρ＝cosπ4－θ所表示的曲线是(
)
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
第八页，共41页。
【解析】
∵ρ＝cosπ4－θ＝
22cosθ＋
2 2 sin
θ，
ρ2＝
2 2 ρcos
θ＋
2 2 ρsin
(2)由 ρsinθ－π4＝0，
得 ρ 22sin θ－ 22cos θ＝0，
第十九页，共41页。
即 ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5 的半径为 r＝ 5，圆心(2,1)到直线 x－y＝0 的距
离为
d＝|2－21|＝
1， 2
∴|AB|＝2 r2－d2＝3 2.
第二十四页，共41页。
1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因 为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．
2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角 坐标时也容易一些．
第二十五页，共41页。
[再练一题] 3．(2016·唐山期末)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：x＋y＝2，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程； (2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP| ＝|OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程．
高中数学 第1讲 坐标系 3 简单曲线的极坐标方程学案 新人教A版选修4-4(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第1讲坐标系3 简单曲线的极坐标方程学案新人教A版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1讲坐标系3 简单曲线的极坐标方程学案新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第1讲坐标系3 简单曲线的极坐标方程学案新人教A版选修4-4的全部内容。
三简单曲线的极坐标方程1．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程．（重点、易错点)3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点）［基础·初探］教材整理1 曲线与方程阅读教材P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f（x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：（1)曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)＝0的解;(2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．教材整理2 极坐标方程阅读教材P12～P13“例1"以上部分，完成下列问题．一般地，在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ρ，θ）＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ，θ）＝0叫做曲线C的极坐标方程．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!【解析】点错误!的极坐标满足ρ＝错误!，θ＝－错误!，且ρ≠cos θ＝cos错误!＝－错误!。
人教版高中数学选修(4-4)-1.3《简单曲线的极坐标方程》参考教案2
简单曲线的极坐标方程知识与技能：通过本节知识的学习，使我们对圆的极坐标方程有了全面的认识，今通过建立不同的极坐标系来描述圆的极坐标方程.理解直线的各种极坐标方程并注意极坐标与直角坐标之间的互化关系，会由直角坐标化为极坐标.过程与方法：（1）先复习平面直角坐标系中曲线的直角坐标方程与曲线的关系，逐步引出曲线的极坐标方程，使学生有了一个初步的了解.（2）以过极点O的圆为例，通过作图、设角，利用直角三角形中的边角关系，得出极坐标系中，过极点O的圆的极坐标方程，由此得出了曲线的极坐标方程的概念，使极坐标中曲线与方程联系起来.（3）通过变换极点的位置，写出不同极坐标系中圆的不同的极坐标方程，并注意与极坐标系中圆的方程相比较，理解它们之间的联系与不同之处，探寻各自的优点，使我们对圆的方程有一个全面的认识，并会直角坐标方程与极坐标方程二者之间的互化（4）从经过极点的直线入手分析极坐标系中不同的直线的极坐标方程，先是过极点从极轴到直线的角为，写出它的极坐标方程这是一条射线，完整的直线可以用表示.与直角坐标方程y = x表示的直线相比较，我们可以看出，用极坐标方程表示直线并不方便，为了更方便地表示直线，可以允许r 取全体实数，从而有或都表示同一条直线.（5）最后通过例2和例3对不同的直线的极坐标方程作了一个全面的分析，使我们对各种各样的直线的极坐标方程有了一个全面的认识.情感、态度与价值观：通过为本节知识的学习，使我们了解到事物的多样性及其中必然的内在的联系性，为我们全面的、正确的分析问题和处理问题打好基础.它也会教会我们多角度、多层次地分析问题.教学过程复习回顾1. 极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立一个极坐标系.设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为r；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为q.有序实数对(r,q)叫做点M的极坐标，记作M(r, q).一般地，不作特殊说明时，我们认为r≥0，q可取任意实数.2. 极坐标与直角坐标的互化讲授新课1. 圆的极坐标方程如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a＞0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(r,q)满足的条件吗？圆经过极点O.设圆和极轴的另一个交点是A，那么|OA|＝a.设M(r,q)为圆上除点O，A以外的任意一点，则OM⊥AM.在Rt△AMO中，|OM|＝|OA|cos∠MOA,即r＝2a cos q ①一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(r,q)＝0，并且坐标适合方程f(r,q)＝0的点都在曲线C上，那么方程f (r,q)＝0叫做曲线C的极坐标方程.①就是圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的极坐标方程.例1.已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？2. 直线的极坐标方程（课本图1-17）直线l经过极点，从极轴到直线l的角是，求直线l的极坐标方程.。
高中数学 选修4-4 4.简单曲线的极坐标方程
4.简单曲线的极坐标方程教学目标 班级______姓名________1.了解简单曲线的极坐标方程.2.熟练掌握曲线极坐标方程与直角坐标方程的相互转化.教学过程一、知识要点.1.极坐标与直角坐标的相互转化.（1）直角坐标),(y x 化极坐标),(θρ：22y x +=ρ，xy arctan =θ； （2）极坐标),(θρ化直角坐标),(y x ：θρcos ⋅=x ，θρsin ⋅=y .2.简单曲线的极坐标方程.（1）直线：①过极点，倾斜角为α：αθ=或παθ+=.②过),(αa A ，垂直于极轴：αθρcos cos ⋅=⋅a .（2）圆：①以极点为圆心，a 为半径：a =ρ.②过)0,0(O ，)0,2(a A )0(>a ，以OA 为直径：θρcos 2a =.3.极坐标方程的解题思想：（1）将极坐标转化成直角坐标；（2）在直角坐标系中解决问题；（3）再将结果转化成极坐标.二、例题分析.1.极坐标方程化直角坐标方程.例1：把下列极坐标方程化成直角坐标方程.（1）2sin =θρ； （2）04)sin 5cos 2(=-+θθρ；（3）θρcos 10-=； （4）θθρsin 4cos 2-=.2.直角坐标方程化极坐标方程.例2：把下列直角坐标方程化成极坐标方程.（1）4=x ； （2）02=+y ；（3）0132=--y x ； （4）1622=-y x .作业：1.求下列曲线的极坐标方程.（1）过点)3,2(π，且与极轴垂直的直线；（2）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆.2.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离.。
高中数学 1.3简单曲线的极坐标方程课件 新人教A版选修4-4
（3）将几何条件用极坐标表示；
（4）化简小结.
ppt精选
11
变 式:在 极 坐 标 平 面 上 ,求 圆 心 A(8,),
3 半 径 为 5的 圆 的 方 程 .
ppt精选
12
2：说明下列极坐标方程表示什么曲线
（1） ＝3 (2) ＝2 sin (3) ＝-4 cos (4) ＝2cos +4sin (5) (3cos -4sin ) 5
ppt精选
C(a,0x)
8
曲线的极坐标方 程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
ppt精选
9
1.求下列圆的极坐标方程
复习回顾：
1.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，则点M的直角坐标(x，y)与极坐
标(ρ，θ)的互化公式是什么？
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ.
x2y2,tany(x0)
x
ppt精选
1
2.在平面直角坐标系中，方程f(x，y)＝0是曲
线C的方程应具备的条件是什么？
（1）曲线C上任意一点的坐标都是方程f(x， y)＝0的解；
下结论
作业：教材P15、1.（1），（3）2（3）
（4）
ppt精选
17
1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取 负值。（？）
对于点M（，）负极径时的规定： P
[1]作射线OP，使XOP=
O
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》PPT教学课件
2020/12/10
1
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
2020/12/10
A.1c0o s 6
C.1c0o s 6
B.1c0o s 6
D .1c0o s 6
2020/12/10
8
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
9
2
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
O
C(a,0)
x
2020/12/10
3
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
2020/12/10
4
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2acos
2
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin Βιβλιοθήκη 22020/12/10
6
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.2cos4 B.2sin4
C.2cos1 D.2sin1
2020/12/10
7
练习4
曲线 53co s5sin 关于极轴对
称的曲线是： C
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：1.3简单曲线的极坐标方程
【典例】(2016·漳州高二检测)化极坐标方程
ρ 2cosθ -ρ =0为直角坐标方程为 ( )
A.x2+y2=0或y=1
B.x=1
C.x2+y2=0或x=1
D.y=1
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:出错的根本原因是忽视了ρ≥0,遗漏了ρ=0的情 形. 正确解答过程如下:
【解析】直线ρ cosθ - ρ sinθ -1=0可化为x- y-
3
3
1=0.圆ρ =2cosθ 可化为ρ 2(cos2θ +sin2θ )=2ρ cosθ ,
x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圆心(1,0),半径长为1.圆
心在直线AB上,所以|AB|=2.
答案:2
自我纠错 极坐标方程化为直角坐标方程
图形
圆心位置
圆心在点(r，π )
圆心在点
(r，3) 2
极坐标方程
ρ = _-_2_r_c_o_s_θ___
( 3)
ρ = 2_____2____ (-π-<2θrs≤in0θ)
图形
3.直线的极坐标方程(ρ ∈R)
直线位置
极坐标方程
过极点,倾斜 角为α
(θ(12=))_θθπ_==_+α__αα__(__ρ((ρρ≥∈∈0)RR和))或 θ =π +α (ρ ≥0)
如图,在△OCM中,由余弦定理,得
|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,
即ρ2+ -2ρρ0cos(θ-θ0)=r2. 当O,C,M三02 点共线时,点M的极坐标也适合上式,所以圆
心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为ρ2+ -
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简单曲线的极坐标方程
【基础知识导学】
1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足
方程0),(f，并且坐标适合方程0),(f的点都在曲线C上，那么方程
0),(f
叫做曲线C的极坐标方程。
1． 直线与圆的极坐标方程
① 过极点，与极轴成角的直线极坐标议程为
tantan)(或R
②以极点为圆心半径等于r的圆的
极坐标方程为 r
【知识迷航指南】
例1求（1）过点)4,2(A平行于极轴的直线。
（2）过点)3,3(A且和极轴成43角的直线。
解（1）如图，在直线l上任取一点),(M，因为)4,2(A，所以|MH|=224sin
在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即2sin，所以过点)4,2(A平行于极轴的直线为
2sin
。
（2）如图 ，设M),(为直线l上一点。
)3,3(A
， OA=3，3AOB
x
O
由已知43MBx ，所以125343OAB，所以127125OAM
又43MBxOMA 在∆MOA中，根据正弦定理得 127sin)43sin(3
又426)34sin(127sin 将)43sin(展开化简可得23233)cos(sin
所以过)3,3(A且和极轴成43角的直线为：23233)cos(sin
〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数
变换进行化简。
例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O作圆C的弦ON，
求ON的中点M的轨迹方程。
解：（1）设),(p为圆C上任意一点。圆C交极轴于另一点A。由已知 OA=8 在直角∆AOD
中cosOAOD，即 cos8， 这就是圆C的方程。
（2）由4OCr。连接CM。因为M为弦ON的中点。所以ONCM，故M在以OC
为直径的圆上。所以，动点M的轨迹方程是：cos4。
〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极
坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义
法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。
例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1）xy42 （2）3 （3）12cos2 （4）42cos2
解：（1）将sin,cosyx代入xy42得cos4)sin(2化简得
sin4sin2
（2）∵xytan ∴ 33tanxy 化简得：)0(3xxy
（3）∵12cos2 ∴ 12cos1。即2cos 所以 222xyx。
化简得 )1(42xy。
（4）由42cos2 即4)sin(cos222 所以 422yx
〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定20,0
（3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于
一般约定.0故3表示射线。若将题目改为)(3R 则方程化为：xy3
〔解题能力测试〕
1 判断点)35,21(是否在曲线2cos上。
2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1）01222xxy；
（2）cos21。
3．下列方程各表示什么曲线？
（1）ay： 。
（2）a： 。
（3）： 。
〔潜能强化训练〕
１ 极坐标方程分别是cos和sin的两个圆的圆心距是（ ）
Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ １ Ｄ 22
２ 在极坐标系中，点)2,3(关于6)(R的对称的点的坐标为 （ ）
A )0,3( B )2,3( C )32,3( D )611,3(
3在极坐标系中，过点)3,3(且垂直于极轴的直线方程为（ ）
A 23cos B 23sin C cos23 D sin23
4 极坐标方程 )0(22cos 表示的曲线是 （ ）
A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线
5 已知直线的极坐标方程为 22)4sin(，则极点到该直线的距离是： 。
6 圆)sin(cos2的圆心坐标是： 。
7 从原点O引直线交直线0142yx于点M，P为OM上一点，已知1OMOD。
求P点的轨迹并将其化为极坐标方程。
〔知识要点归纳〕
1 直线，射线的极坐标方程。
2 圆的极坐标方程
三、简单曲线的极坐标方程
〔解题能力测试〕
1、在 2、（1）2222cos10(2)34210xyx
3、（1）在直角坐标下，平行于X轴的直线。（2）在极坐标下，表示圆心在极点半径为a的圆。
（3）在极坐标下，表示过极点倾斜角为α的射线。
〔潜能强化训练〕
1、D 2、D 3、A 4、D 5、26.(1,)24
7、以O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为2cos4sin10，
设000000(,).(,)2cos4sin10MP则又000011知
代入得：112cos4sin10,2cos4sin