清风数学建模新版视频课程第1讲.层次分析法同步PPT
数学建模——层次分析法
数学建模——层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于复杂决策和评估问题的定量方法，旨在帮助决策者在多个准则和选项之间进行权衡和选择。
该方法由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代初提出，已经广泛应用于管理、工程、经济学、环境科学等领域。
方法步骤：1.建立层次结构：将复杂的决策问题分解为不同层次的因素和准则，形成层次结构。
层次结构包括目标层、准则层和选择层。
2.创建比较矩阵：对每个层次内的准则和选择进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
使用尺度来表示两者之间的相对优先级，通常是1到9之间的数值。
3.计算权重：通过计算比较矩阵的特征向量，得出每个准则和选择的权重。
特征向量反映了每个准则和选择对目标的贡献程度。
4.一致性检验：检查比较矩阵的一致性，确保所做的两两比较是合理的。
如果比较矩阵不够一致，需要进行调整。
5.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
综合得分反映了每个选择在整体目标中的重要性。
6.做出决策：根据综合得分，确定最佳选择。
较高的综合得分通常意味着更优选。
示例：选择旅游目的地假设你想选择一个旅游目的地，考虑了三个因素：景色美丽度、文化体验和交通便利性。
你将这三个因素作为准则，然后列出了三个潜在的旅游目的地：A、B 和C。
步骤：1.建立层次结构：2.目标层：选择最佳旅游目的地3.准则层：景色美丽度、文化体验、交通便利性4.选择层：A、B、C5.创建比较矩阵：比较准则之间的相对重要性，如景色美丽度相对于文化体验的比较，以及文化体验相对于交通便利性的比较。
使用1到9的尺度，表明一个因素比另一个因素重要多少。
6.计算权重：计算每个准则和每个选择的权重，使用特征向量法。
7.一致性检验：检查比较矩阵的一致性。
如果一致性不够，可能需要重新考虑比较。
8.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
层次分析法AHP课件
同样求第3层 方案 对第2层每一元素 准则)的权向量 方案)对第 层每一元素(准则 同样求第 层(方案 对第 层每一元素 准则 的权向量 方案层对C 景色 景色) 方案层对 1(景色 的成对比较阵
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
…Cn
…Bn … λn … wn(3)
-------能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价、决策 能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价、 能源系统分析
二、基本思路
先分解后综合的系统思想： 分解后综合的系统思想： 的系统思想 首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标， 首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解 成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合， 成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合， 形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等） 形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于 最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。 最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。
w 1 w 1 w 2 A = w 1 L L w n w 1
w w w w w w
1 2 2 2
L L
w w w w w w
1 n 2 n
n 2
L
n n
• A的秩为 ，A的唯一非零特征根为 的秩为1， 的唯一非零特征根为 的唯一非零特征根为n 的秩为 • A的任一列向量是对应于 的特征向量 的任一列向量是对应于n 的任一列向量是对应于 • A的归一化特征向量可作为权向量 的归一化特征向量可作为权向量
数学建模教学 19.层次分析法
W i W i/ nW j i1,2, ,n j1
所求特征向量: W [W 1 ,W 2 , ,W n ]T
编辑ppt
(4)计算最大特征根:
maxn1 in1(AWW i )i
1 A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.545 0.308 0.364
1/ 6 1/ 4 1
化的结果，允许存在一定的误差范围。
※常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所
对应的特征向量：和法和根法。
编辑ppt
和法计算步骤
(1)将判断矩阵每一列归一化:
n
b ijb ij/ b kj
i,j1 ,2 , ,n
k 1
(2)对按列归一化后的判断矩阵再按行求和:
n
W i bij
i1,2, ,n
j1
(3)将求和后的向量归一化:
编辑ppt
1 基本原理
假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只 西瓜的重量分别为W1，W2，…，Wn。把这 些西瓜两两比较，很容易得到表示n只西瓜 相对重量关系的比较矩阵：
A=
=(aij)n×n
编辑ppt
显然aii= 1，aij =1/aji，aij =aik/ajk， i、j、k= 1，2，…，n
买钢笔 质颜价外实 量色格形用
可供选择的笔
编辑ppt
目标层 准则层 方案层
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素， 或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构， 否则称为不完全层次结构。还可以建立 子层 次。
目标层：
选购电冰箱
准则层： 信誉T1 型式T2 价格T3 容量T4 制冷级别T5 耗电量T6
数学建模常用方法介绍ppt课件
遗传算法一般步骤
1. 完成了预先给定的进 化代数 2. 种群中的最优个体在 连续若干代后没有改进 3. 平均适应度在连续若 干代后基本没有改进
竞赛中的群体思维方法
✓平等地位、相互尊重、充分交流 ✓杜绝武断评价 ✓不要回避责任 ✓不要对交流失去信心
竞赛中的发散性思维方法
➢ 借助于一系列问题来展开思路
与模糊数学相关的问题（二）
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造 模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来 确定其分类关系
模糊层次分析法—两两比较指标的确定
模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素 制约的事物或对象作出一个总的评价，如产 品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植 适应性的评价等，都属于综合评判问题。由 于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性 和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评 判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效 果
3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当
前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
统计方法（判别分析）
➢ 判别分析—在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。
这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？
➢ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路
抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法
最新层次分析法培训幻灯片课件
如能知道底层指标 x1, x2, x3 对最高层的权系数 w1j, w2j, w3j（j = 1, 2, 3），将各相同前景的权系数相 加，就可以按照如下的预测公式
3
Si wij, i 1,2,3 j1
对各前景 x1, x2, x3 对进行先验预测。
引例1.1.4：投入量的分配
在这种问题中，投入量给定，要把它们分配到 若干部门去。如能知道各部门对投入量的需求权 重，把权系数看成分配的百分比率即可。
过河的代价 A
经济代价 B1
社会代价 B2
环境代价 B3
投 操 冲冲 交 居 汽 对 对
入 作 击击 通 民 车 水 生
资 维 渡生 拥 搬 排 的 态
金 护 船活 挤 迁 放 污 的
C1 C2 业 方 C5 C6 物 染 破
C3 式
C7 C8 坏
C4
C9
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
决策的制定将取决于根据这两个层次结构 确定的方案的效益权重与代价权重之比，即如 能知道底层方案 Di（i = 1, 2, 3）对最高层 Aj（j = 1, 2）的权系数 wij（i = 1, 2, 3，j = 1, 2），则 可根据如下的决策公式
Si = wi1/ wi2，i = 1, 2, 3
对三个方案进行排序、选择。
引例1.1.3：预测或估计
在体育比赛中预测一个代表队的成绩，有三 种可能的前景：
x1 = 名列第一 x2 = 名列前八名（不包括第一） x3 = 名落孙山 所用的评价指标有三个：竞技实力、自信心、环 境因素。为此构建如下的层次结构：
一个典型的层次可以用下图表示出来：
其次，层次数与问题的复杂程度和所需要分 析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超 过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两 比较判断带来困难。
最新层次分析法课件教学教材精品课件
zhèn)，对A
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率(bǐlǜ)<0.1
及随机一致性指标的数值表，对 A进行检验的过程。
第二十六页，共45页。
例2，旅游(lǚyóu)问题
成对比较(bǐjiàoA)矩阵 的最大特征值5.073
该特征值对应的归一化特征向量
0 . 2 ,0 6 . 4 ,0 3 7 . 0 ,0 5 5 . 0 ,0 5 9 . 1 9 10
情况下计算各因素
对因素z的权重的方法，并
且确定了这种不一致的容C 1 许， C 范2， 围C ，3， 为C4了， C 说5明这一点，我们
先看成对比较完全一致的情况。
第十七页，共45页。
一致(yīzhì)阵的性质
1. aija 1ji,aii1,i,j1,2, ,n
2. AT也是一致阵
3. A的各行成r比 an例 Ak， 1 则
第十页，共45页。
2 构造(gòuzào)成对比较矩阵（判断矩阵）
人们在决策的时候凭自己的经验和知识进行判断，当因素 (yīn sù)较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定 性的结果，则常常不被别人接受。Saaty 等人的做法，一是不把 所有因素(yīn sù)放在一起比较，而是两两相互对比；二是对比时 采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素(yīn sù)相互比 较的困难，提高准确度。
第四页，共45页。
层次(céngcì)分析法的步骤：
1、建立层次分析模型 2、构造判断矩阵 3、层次单排序(pái xù)及其一致性检验 4、层次总排序(pái xù)及其一致性检验
第五页，共45页。
二 层次分析法的基本(jīběn)步骤
1 建立层次结构模型 将决策问题分为三层，最上面(shàng miɑn)为目标层，最下
(完整版)数学建模之层次分析法
层次分析法层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
缺点：（1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。
（2）层次分析法模型的内部结构太过理想化，完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。
（5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的策略。
1.模型的应用用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。
（1）公司选拔人员，（2）旅游地点的选取，（3）产品的购买等，（4）船舶投资决策问题（下载文档），（5）煤矿安全研究，（6）城市灾害应急能力，（7）油库安全性评价，（8）交通安全评价等。
2.步骤①建立层次结构模型首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。
目标层准则层方案层目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。
通常只有一个总目标。
准则层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。
方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。
通常有几个方案可选。
注意：（1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系；（2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。
这是因为，心理学研究表明，只有一组事物在 9 个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。
当同一层次元素数多于 9 个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。
②构造判断（成对比较）矩阵以任意一个上一层的元素为准则，对其支配的下层各因素之间进行两两比a重要程度的衡量用Santy的1—9较。
数学建模(方红)教学课件19.层次分析法
机 械 工 业
建 筑 业
建 材 工 业
纺 织 工 业
化 工 工 业
冶 金 工 业
交 通 运 输 业
能 源 工 业
P12
P113
P7
P8
P6
P5
P4
P3
P1
P14
P11
P10
P9
P2
C1—P判断矩阵
C2—P判断矩阵
C3—P判断矩阵
A—P总排序
层次分析法推荐软件:yaahp
j 1
T W [ W , W , , W ] 所求特征向量: 1 2 n
(4)计算最大特征根:
max
1 n ( AW ) i n i 1 W i
2 6 列向量 0.6 0.615 0.545 1 A 1 / 2 1 4 归一化 0.3 0.308 0.364 1 / 6 1 / 4 1 0.1 0.077 0.091
即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量是A 对应于特征根n的特征向量的各个分量。 很自然，我们会提出一个相反的问题，如果 事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去 称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每 两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西 瓜的重量呢？
显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条 件下，我们可以通过解特征值问题 AW= λmaxW 求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为
阵具有满意一致性时，λ
阶数n，其余特征值接近于零。这时AHP 得出的结论才基本合理。
2
2.1
基本步骤
建立层次结构模型
一般分为三层，最上面为目标层，最下面 为方案层，中间是准则层或指标层。
买钢笔 质 量 颜 色 价 格 外 形 实 用
01 层次分析法
再用 w ( 3 ) W
(3)
w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T 教学、科研靠个人积极性
• 支配元素越多权重越小
残缺成对比较阵的处理
例 2 1 A 1/2 1 1/2
2 1
辅助矩阵
1 C 1/ 2 w 3 / w1
w1 / w 3 1 2 1/ 2 1 2
为残缺元素
Cw w
3 , w ( 0 . 5714 , 0 . 2857 , 0 . 1429 )
T
A w w
2 2 A 1/ 2 1 0 1/ 2 0 2 2
a ij i j , a ij a ij , 0, i j , a ij m i 1, i j
w
1 . 769 Aw 0 . 974 0 . 286
Aw w
1 1 . 769 0 . 974 0 . 268 ( ) 3 . 009 3 0 . 587 0 . 324 0 . 089
精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
第3层对第2层各元素的权向量
wk
(3) (3) (3) T
( w k 1 , , w km ) , k 1, 2 , , n
(3)
构造矩阵 W
[ w1 , , w n ]
(3) (3)
则第3层对第1层的组合权向量 第s层对第1层的组合权向量
w
(3)
W
(3)
w
(2)
w
(s)
W
节 省 时 间 C1
层次分析法模型PPT精选文档
一化后就可作权重向量。
25
3.层次分析法
（2）一致性检验。
检验步骤如下：
①计算一致性指标C.I.（consistency index）
C.I. maxn
n1
(10.10)
②查找相应的平均随机一致性指标R.I.（random index）
（3）最低层是备样课题层，即可供选择的科研课题1至N。
15
选
择
科
研
3. 课
层 次 分 析
题 的 层 次 结
法构
模
型
如
图
16
3.层次分析法
2．构造两两比较判断矩阵
在递阶层次结构中，设上一层元素 C 为准则，所支配的 下一层元素为u1,u2, ,un。我们要确定元素u1,u2, ,un对于准 则 C 相对的重要性即权重。可分两种情况
19表示两个元素相比前者比后者极端重要2468表示上述相邻判断的中间值倒数若元素i与元素j的重要性之比为ij那末元素j与元素i重要性之比为jiij对于准则cn个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵101判断矩阵a具有下列性质
层次分析法模型
1.层次分析法的起源 2.层次分析法及其用途 3.层次分析法 4.层次分析法模型举例
3
3.层次分析法
1.层次分析法：是一种定量与定性相结合，将人的 主观判断用数量形式表达和处理的方法。 2.层次分析法：从本质上讲是一种思维方式。 3.层次分析法：把复杂问题分解成各个组成因素，又 将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构。通 过两两比较的方式确定各个因素相对重要性，然后 综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总 的排序。