高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

一、必备公式

1．三角函数 (1)同角三角函数

①平方关系： sin 2 α＋cos 2 α＝1 (又叫 1字替换式)； ②商数关系：

sin α

cos α

＝tan α (又叫切弦互化式)； (2)和差倍角关系 ①cos(α±β)＝_____ cos αcos βsin αsin β___； ②sin(α±β)＝_____ sin αcos β±cos αsin β____；

③tan(α±β)＝ tan α±tan β

1tan αtan β

； ④sin 2α＝____2sin αcos α__；

⑤cos 2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 1－2sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ；

⑥tan 2α＝________2tan α

1－tan 2 α

__________；

(3)辅助角公式： a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) ，其中， tan φ＝b a ， |φ|＜π

2

， a ＞0 ．

2．正余弦定理

(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2R ，其中R 为 外接圆半径 ；

注意：正弦定理变式与性质：

①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②正弦化边：sin A ＝a

2R ，sin B ＝b

2R ，sin C ＝c

2R ； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；

④a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝ 2R ； (2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； ②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C

注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； ②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

(3)三角形面积 ：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ②S △ABC ＝1

2

(a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径)

3．平面向量：

(1)两点间向量表示：若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB →

＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) ； (2)向量运算公式：若a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2) ，则： ①a ±b ＝ (x 1±x 2，y 1±y 2) ； ②λa ＝ (λx 1，λy 1) ；

③a·b ＝ |a ||b |cos θ ＝ x 1x 2＋y 1y 2 ； ④|a |＝ a 2 ＝ x 21＋y 2

1 ；

⑤cos 〈a ，b 〉＝ a ·b |a ||b | ＝ x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 ； ⑥a 在b 方向上的投影为： |a |cos θ ＝ a·b

|b| ； (3)平行与垂直定理：

①共线定理：a ∥b ⇔___ a ＝λb ___⇔___ x 1y 2＝x 2y 1 _； ②垂直定理：a ⊥b ⇔___a ·b ＝0___⇔__ x 1x 2＋y 1y 2＝0_.

二、必备结论

1．三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦

2．诱导公式：①口诀：奇变偶不变，符号看象限； ②原则：负化正、大化小、小化锐；

3．函数y ＝tan x 的定义域是：{x |x ∈R 且x ≠π

2

＋k π，k ∈Z }

4．形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质 (1)图像变换：

①相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位；

②周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|1

ω

|倍；

③振幅变换： y ＝sin (ωx ＋φ) →y ＝A sin(ωx ＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A |倍；

注意：y ＝sin ωx→y ＝sin(ωx ＋φ)变换规则是：先提取后者x 的系数ω，然后在左(右)平移|φ

ω

|个单位；

(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减

(3)周期公式：①y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω| ②y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期T ＝π

|ω|

.

(3)对称性： 换元思想，将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．

①对称轴：最值处，令sin(ωx ＋φ) ＝1，则ωx ＋φ＝k π＋π

2

(k ∈Z )，可求得对称轴方程；

②对称中心：零点处，令sin(ωx ＋φ) ＝0，ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标； (4)奇偶性：利用“反向诱导法”理解掌握

①函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π

2

(k ∈Z )；

②函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π

2

(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；

③函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．

5．平面向量： ①a

|a |

是与a 同方向的单位向量． ②共线第二定理：若A 、B 、C 三点共线⇔OC →＝xOA →＋yOB →

且x ＋y ＝1．

6．平面向量与三角形的心：①OA →＋OB →＋OC →

＝0⇔点O 为△ABC 的重心(中线交点)； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔点O 是△ABC 的垂心(高线交点)

③若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ⎝ ⎛⎭

⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(角平分线交点)．

7．三角形中：①sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； ②sin A ＋B 2＝cos C 2， cos A ＋B 2＝sin C

2

；

③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0； ④a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A ＜cos B ．

三、必备方法

1．三角函数求值、化简时，常用方法有：

(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x ＝sin x

cos x ；②降次数：公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2

；

(2)和积转换法：运用公式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ解决sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的变形、转化；

(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4

； (4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β

2

等

2．换元法：即整体思想，对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．

3．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：

(1)观察确定A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m

2

.

(2)通过周期公式求ω：即ω＝2π

T

. (3)特殊点代入求φ：通常代入“最值点”或“零点”；

四、必备细节

1．角度制与弧度制不可混合使用；

2．利用平方关系求值时，开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域求解时，由内向外，先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合y ＝sin t 的图像；

4．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来． 5．平面向量：(1)相等向量具有传递性，但平行向量不一定具有传递性．(2)平行向量所在直线不一定平行． (3)向量平移后，起终点坐标改变，但向量坐标不变． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．