离散数学期中考试(3班4班)

一、 选择题

1、下列语句中，( )是命题。

(A)请把门关上！ (B)地球外的星球上也有人。

(C) x + 5 > 6 (D)下午有会吗？

2、下列命题为假．命题的是（ ）

(A) 如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一

(B) 如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一

(C) 如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一

(D) 如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一

3、设p ：天下大雨，q ：他在室内运动，命题“只有天下大雨，他才．在室内运动”可符合化

为（ ）

(A) ﹁p ∧q (B) ﹁p →q

(C) ﹁p →﹁q (D) p →﹁q

4、公式))()((x Q x P x A →∃=的解释I 为：个体域D={2}，P(x)：x>3, Q(x)：x=4则A 的

真值为（ ）。

A 、1；

B 、0；

C 、可满足式；

D 、无法判定。

5、下列等价关系正确的是（ ）。

A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀；

B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；

C 、Q x xP Q x P x →∀⇔→∀)())((；

D 、Q x xP Q x P x →∃⇔→∃)())((。

6、若个体域为整数集，下列公式中值为真的是（ ）

(A)∀x ∃y(x+y=0) (B)∃y ∀x(x+y=0)

(C)∀x ∀y(x+y=0) (D)﹁∃x ∃y(x+y=0)

7、令A (x ): x 是人，B (x ): x 犯错误，则“没有不犯错误的人”符号化为( ).

(A)))()((x B x A x ∧∀. (B)))()((x B x A x ⌝→⌝∃.

(C)))()((x B x A x ∧⌝∃. (D)))()((x B x A x ⌝∧⌝∃.

8、下列命题公式中，是重言式的是 ( )

(A)﹁ (﹁p ∨q)∧q (B) (p →q)↔(﹁p ∨q) (C) p ∧q (D) p →q

9、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是（ ）。

A 、自由变元；

B 、约束变元；

C 、既是自由变元又是约束变元；

D 、既不是自由变元又不是约束变元。

10、在谓词演算中，下列各式哪个是正确的（ ）。

A 、),(),(y x xA y y x yA x ∃∃⇔∃∃；

B 、),(),(y x xA y y x yA x ∀∀⇔∃∃；

C 、),(),(y x xA y y x yA x ∃∀⇐∀∃；

D 、)()(x xA a A ∀⇒。

二、填空题

1. 一个三个变项的命题公式，如果它的主析取范式是m1∨m3，给出它的主析取范式的另一

种表达形式（），并写出它的主合取范式（）。

2. 设 P （x ）：x 是兔子， Q(x)：x 是乌龟， N (x,y)：x 比y 的跑得快。则公式

∀x(P(x)→∃y(Q(y)∧N(x,y))) 翻译为自然语言的含义是（）

3. 若p ，q 为二命题，p →q 真值为0 当且仅当 （） ， p ∨q 真值为0 当且仅当 （）。

4. 谓词公式Q(x)→∀x(P(x)∨∃yR(y))中量词∀x 的辖域是（）。

5. 设A ，B 是两命题公式，B A ⇔当且仅当（），A ⇒B 当且仅当（）。

6. 设p ，q 的真值为0，r 的真值为1，则（⌝p ↔ (⌝q ∧r)）→ (p ∧q)的真值为（）。

三、将下列命题符号化

1． 小刘既会唱歌，又会跳舞。 2. 只有你来好好学习，你才能顺利就业。 3.只要我有能

力，我一定会帮你。

4． 所有冬天都比较冷。 5.有的人喜欢吃榴莲。

6. 不是所有人都爱旅游。

7.没有不喜欢音乐的人。

四、演算题

1． 用真值表判断公式的类型：┐(p →q)∧q

2． 求公式的主析取范式： (⌝p→q)→(⌝q ∨p)

3． 求公式的前束范式：()()x xG x xF ⌝∃∨∀

4． 给定解释I 如下：

(1) D={2,3} (2)函数f (x)为f(2)=2，f(3)=3

(3) 谓词F (2,2)=0，F(2,3)=0，F(3,2)=1，F(3,3)=1

判断在解释I 下，公式∃x ∀yF(f(x),f(y))的真值。

5． 给定解释I 如下：

(1) 个体域D 为自然数集 (2) 函数f (x,y)=x+y ，g(x,y)=x*y (3)谓词F (x,y)为x=y ，

判断在解释I 下，公式∀xF(f(x,x),g(x,x))的真值。

五、证明题

1．用等值演算法证明等值式： ┐(p ↔ q) ⇔ (p ∨q)∧┐(p ∧q)

2. 证明： ∃x(A(x)→B) ⇔ ∀xA(x)→B

3. 证明不等式：∃x (A (x ) ∧B (x ))⇎ ∃xA (x ) ∧∃xB (x )；

六、逻辑推理题，构造下面推理的证明

1．附加前提法：前提：(p ∨q)→(r ∧s), (s ∨t)→u 结论：p→u

2．归谬法：前提：p→┐q, ┐r ∨q, r ∧┐s 结论：┐p

3．在谓词逻辑中构造下面推理的证明：

不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。

（个体域为实数集合。）