1.3.2 相似三角形的性质

如图,锐角三角形 是一块钢板的余料,边 例6.如图 锐角三角形 如图 锐角三角形ABC是一块钢板的余料 边 是一块钢板的余料 BC=24cm,BC边上的高 边上的高AD=12cm.要把它加工成 边上的高 要把它加工成 正方形零件,使正方形的一边在 使正方形的一边在BC上 其余两个顶 正方形零件 使正方形的一边在 上,其余两个顶 点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长 点分别在 上 求这个正方形零件的边长.
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定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与
另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 那么这两个直角三角形相似。 AC 0 AB 已知 : Rt∆ABC和Rt∆A′B′C ′中.∠C = ∠C′ = 90 . = . A′B′ A′C ′
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
S ∆ABC ∴ S ∆A′B′C ′
1 BC ⋅ AD BC AD 2 2 = = • = k •k = k . 1 ′C ′ ⋅ A′D′ B′C ′ A′D′ B 2
A´ ´ A
B
D
C
B´ ´
D´ ´
C´ ´
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2.相似三角形的性质 相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应 ）相似三角形对应高的比， 角平分线的比都等于相似比； 角平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； ）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
分析: 只要证明 只要证明Rt△ 分析 (1)只要证明 △ADC∽Rt△BEC ∽ △ (2)只要证明 △AHE∽Rt△BHD 只要证明Rt△ 只要证明 ∽ △
来自百度文库A E H
B
D
C
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P19习题 1.3 习题
A P E N x B Q D M C
∴ ∆APN ∽ ∆ABC 12 − x x AE PN ∴ = ∴ = 12 24 AD BC
x = 8(cm)
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P20 习题 1.3
10.如图 平行四边形ABCD中,AE︰EB=1︰2 如图,平行四边形 中 ︰ ︰ 如图 平行四边形 的周长比; 求:△AEF与△CDF的周长比 △ 与 的周长比 如果△ 的面积等于6cm², 求△CDF的面积 的面积. 如果△AEF的面积等于 的面积等于 的面积 ADF的面积 的面积. 求△ADF的面积.
AB + BC + CA ∴ A′B′ + B′C ′ + C ′A′ k ( A′B′ + B′C ′ + C ′A′) = = k. A′B′ + B′C ′ + C ′A′
A´ ´
B´ ´
D´ ´
C´ ´
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D C
F
A
E
B
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思考： 思考：
相似三角形中的高，中线，内角平分线， 相似三角形中的高，中线，内角平分线， 周长，面积等要素都与相似比有关. 周长，面积等要素都与相似比有关 那么，与三角形有关但不在三角形内的 那么， 其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？ 其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？ 你想到哪些元素？ 你想到哪些元素？
解:设正方形 设正方形PQMN为加工成 为加工成 设正方形 的正方形零件.边 的正方形零件 边QM在BC上, 在 上 顶点P,N分别在 分别在AB,AC上. 顶点 分别在 上 的高与边PN相交于点 △ABC的高与边 相交于点 的高与边 E.设正方形的边长为 设正方形的边长为xcm. 设正方形的边长为 ∵ PN // BC
三角形的外接圆和内接圆
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问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比 ，周长 问题：两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比 结论： 两个相似三角形的外接圆的直径比， 直径比， 结论 两个相似三角形的外接圆的直径比 比，面积比与相似比有什么关系？ 等于相似比；面积比等于相似比的平方。 相似比； 等于相似比的平方 等于面积比与相似比有什么关系？ 相似比 面积比等于相似比的平方。 探究： 探究：∵∠C=∠C′而∠D=∠C ∠D′=∠C′ A´ ´ ∠ 而 ∠ ∠ ∴∠D=∠ ∴∠ ∠D′, ∴Rt△ABD ∽ Rt△A′B′D′
A´ ´ A
B
D
C
B´ ´
D´ ´
C´ ´
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2.相似三角形的性质 相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应 ）相似三角形对应高的比， 角平分线的比都等于相似比； 角平分线的比都等于相似比；
证明 : ∆ABC ∽ ∆A′B′C′
∴ ∠ B = ∠ B ′. ∵ ∠ ADB = ∠ A ′ D ′B ′ = 90 0. ∴ ∆ ABD ∽ ∆ A ′ B ′D ′. AD AB = ∴ . A′D ′ A′B ′
B´ ´ B
A
D
C
A´ ´
D´ ´
C´ ´
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A A΄
求证 : Rt∆ABC ∽ Rt∆A′B′C ′
AB AC = = k. 证明：设 A′B′ A′C ′ 那么，AB = kA′B′. AC = kA′C ′.
∴ BC 2 = AB 2 − AC 2
C΄ C B
B΄
= k ( A′B′2 − A′C ′2 ) = k 2 B′C ′2 . AB AC BC ∴ BC = kB′C ′. ∴ A′B′ = A′C ′ = B′C ′ = k .
R
r
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习题 1.3
5.如图 线段 平行于四边形 如图,线段 平行于四边形ABCD的一边 如图 线段EF平行于四边形 的一边 AD,BE与CF交于一点 交于一点G,AE与DF交于一点 交于一点H. 与 交于一点 与 交于一点 求证:GH//AB. 求证
三边对应成比例 A D B E O F C
A B´ ´
O´ ´
C´ ´ D´ ´
AD AB ∴ = = k. A′D′ A′B′ O AD ∵ ΘO的周长 = 2π ⋅ = π ⋅ AD C 2 B A′D′ D ΘO′的周长 = 2π ⋅ = π ⋅ A′D′ AD 2 2 π( ) ΘO面积 2 ΘO周长 AD ∴ = = k 2. ∴ = = k. ΘO′面积 π ( A′D′ ) 2 ΘO′周长 A′D′
A E H D
F C
B
BH BC AD AG = = = EH EF EF EG
预备定理 定义 引理
G
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习题 1.3 6.已知 已知:DE//AB,EF//BC.求证 △DEF∽△ABC. 求证: 已知 求证 ∽
2
由判定定理3得Rt∆ABC ∽ Rt∆A′B′C ′
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如图，已知AD、 分别是 分别是△ 例5. 如图，已知 、BE分别是△ABC中BC 中 边和AC边上的高 边上的高， 是 、 的交点 边和 边上的高，H是AD、BE的交点 求证：(1)AD•BC=BE•AC (2)AH•HD=BH•HE
2.相似三角形的性质 相似三角形的性质
（2）相似三角形周长的比等于相似比； ）相似三角形周长的比等于相似比；
A
证明 : ∆ABC ∽ ∆A′B′C′
∴ AB AC BC = = = k. A′B′ A′C ′ B′C ′
B D C
∴ AB = kA′B′. BC = kB′C ′. AC = kA′C ′.
2
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问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比， 问题 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长 面积比与相似比有什么关系？ 比，面积比与相似比有什么关系？ 结论：两个相似三角形的内切圆的直径比， 结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比 直径比 等于相似比 面积比等于相似比的平方。 相似比； 等于相似比的平方 等于相似比；面积比等于相似比的平方。
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直角三角形相似的判定定理 定理
那么它们相似。 那么它们相似。
两边对应成比例及 两边对应成比例及夹角相等 两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等， ）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比 ） 那么它们相似。 例，那么它们相似。 类比直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对 类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对 直角三角形全等的判定定理 应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的 能得直角三角形相似 应相等的两个直角三角形全等 能得直角三角形相似的 另一个判定定理. 另一个判定定理
7.△ABC是钝角三角形 △ 是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高 分别是三条高. 是钝角三角形 分别是三条高 求证:AD·BC=BE·AC 求证
F E A
B
D
C
△ACD∽△BCE. ∽
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