IIR切比雪夫低通数字滤波器

数字信号处理

课程设计报告

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摘要 (2)

第1章任务书 (4)

题目 (4)

目的 (4)

内容及要求 (4)

论文格式 (4)

第2章数字滤波器的设计 (6)

数字滤波器的概念 (6)

数字滤波器的分类 (6)

数字滤波器的设计要求 (8)

IIR数字滤波器的设计 (9)

IIR数字滤波器的设计步骤 (9)

双线性变换法设计IIR数字滤波器 (10)

第3章切比雪夫低通数字滤波器的MATLAB设计 (15)

设计步骤 (15)

MATLAB程序 (15)

总结 (16)

参考文献 (17)

摘要1

在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号分析都是基于滤波器而进行的，而数字滤波器是通过数值运算实现滤波，具有处理精度高、稳定、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。实现IIR滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因此使用很广。Matlab软件以矩阵运算为基础，把计算、可视化及程序设计有机融合到交互式工作环境中，并且为数字滤波的研究和使用提供了一个直观、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信号处理工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究和工程使用。本文首先介绍了数字滤波器的概念，分类以及设计要求。接着利用MATLAB函数语言编程，用信号处理图形界面FDATool来设计滤波器以及Sptool界面设计的方法，并用FDATool模拟IIR 数字滤波器处理信号。重点设计Chebyshev I型和Chebyshev II型数字低通滤波器,并介绍最优化设计。

关键字:IIR;滤波器;FDATool;Sptool;Simulink

ABSTRACT

In modern communication systems, Because often mixed with various signal complex components, So many signal analysis is based on filters, and the digital filter is realized through numerical computation, digital filters filter with high precision, stability and flexibility, don't exist, can realize the impedance matching simulating the special filter cannot achieve fi lter function. Digital filter according to its impulse response function and characteristics of the time can be divided into two kinds, namely the infinite impulse response (IIR) digital filter and finite impulse response (FIR digital filters). The order of realizing IIR filter is used, low and high efficiency less storage unit, high precision, and can keep some simulation characteristics of filter, so it is widely used. Matlab software based on matrix computation, the calculation, visualization and program design of organic integration to interactive environment for digital filter, and the research and application of provides an intuitive, efficient and convenient tool. Especially in the Matlab signal processing to all areas of research toolbox personnel can easily for scientific research and engineering application. This paper introduces the concept of digital filter, classification and design requirements. Then using MATLAB language programming, with functions of signal processing FDATool graphical interface design of interface design and Sptool filter, and FDATool analog signal processing IIR digital filter. Key design Chebyshev type I and II digital Chebyshev lowpass filter, and introduces optimization design.

Keywords:IIR;Filter;FDATool;Sptool;Simulink

第1章任务书

1.1题目

设计原型为切比雪夫型的数字IIR低通滤波器。

1.2目的

1)学会MATLAB的使用，掌握MATLAB的程序设计方法。

2)掌握数字信号处理的基本概念、基本理论和基本方法。

3)掌握MATLAB设计IIR数字滤波器的方法。

4)学会用MATLAB对信号进行分析和处理。

1.3内容及要求

1)设计原型为切比雪夫型的数字IIR低通滤波器（本文用双线性变换法，原

型为切比雪夫I型）。

2)低通数字滤波器的技术指标：通带截止频率，通带衰减

，阻带截止频率，阻带衰减。

3)求出所设计滤波器的Z变换。

4)用MATLAB画出幅频特性图。

1.4论文格式

1)任务书及摘要。

2)目录，中间打点号。

3)章节，如：第1章，每一章都要另起一页，居中；二级目录要打头写，

如：；每个图都要有图标和名称，如：图1-1 ++++++。

4)课程设计总结，主要包括课程设计意义、感受、遇到的问题及解决办法。

参考文献，格式如：[1] 阎石.数字电子技术基础.北京:高等教育出版

社,1998.

第2章 数字滤波器的设计

2.1 数字滤波器的概念

滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出和输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。

时域离散系统的频域特性：

)()()(ωωωj j j e H e X e Y =

其中)(ωj e Y 、)(ωj e X 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, )(ωj e H 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱)(ωj e X 经过滤波后)()(ωωj j e H e X ,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择)(ωj e H ，使得滤波后的)()(ωωj j e H e X 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

2.2 数字滤波器的分类

按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得

到纯净信号，达到滤波的目的。但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地回复信号，从而达到最佳滤波的目的。

经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分为：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。

图.1各种理想滤波器的幅频特性

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现。

其差分方程为：

∑∑

==

-

+

-

=

N

i

N

i

i

i

i

n

y

b

i

n

x

a

n

y

01

)

(

)

(

)

(（式2-2-1）系统函数为：

k

N

k

i

M

r

r

r

Z

a

Z

b

z

H

-

=

=

-

∑

∑

+

=

1

1

)

(（式2-2-2）

设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止

图 2.3.1低通滤波器的技术要求

频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

2.3 数字滤波器的设计要求

滤波器的指标常常在频域给出。数字滤波器的频响特性函数)(jw e H 一般为复函数，所以通常表示为：

)()(|)()(w j jw e z jw e e H z H e H jw Φ=== （式2-3-1） 其中，)(jw e H 称为幅频特性函数，Φ(w)称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性反映各频率通过滤波器后在时间上的延时情况。一般IIR 数字滤波器，通常只用幅频响应函数)(jw e H 来描述设计指标，相频特性一般不作要求。

IIR 滤波器指标参数如下图所示。图中，p ω和p ω分别为通带边界频率和阻带

边界频率；δ1和δ2分别为通带波纹和阻带波纹；允许的衰减一般用dB 数表示，通带内所允许的最大衰减（dB ）和阻带内允许的最小衰减（dB ）分别为p α和s α表示：

1

11111lg 2011lg 20δδδδα-+=+--=p （式2-3-2） 2lg 20δα-=s

（式2-3-3） 一般要求： 当p

ωω≤≤0时，p jw e

H α≤-)(lg 20； 当π

ωω≤≤时，)(lg 20jw e H s -≤α。

2.4 IIR 数字滤波器的设计2

IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为

)

()(1)(10

z x z r z a z b Z H N

k k k M k k k

=-=∑∑=-=- 假设M≤N ，当M ＞N 时,系统函数可以看作一个IIR 的子系统和一个(M-N)的FIR 子系统的级联。IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数k a 和k b ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。

2.4.1 IIR 数字滤波器的设计步骤

IIR 数字滤波器的设计一般有两种方法：一个是借助模拟滤波器的设计方法进行。其设计步骤是，先设计模拟滤波器，再按照某种方法转换成数字滤波器。这种方法比较容易一些，因为模拟滤波器的设计方法已经非常成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外一种直接在频率或者时域内进行，由于需要解联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。

为了保证转换后的)(z H 稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要求:

1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。

2) 数字滤波器的频率相应模仿模拟滤波器的频响特性，s 平面的虚轴映射

为z 平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。

3) 利用模拟滤波器成熟的理论设计IIR 数字滤波器的过程是：

4) 确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率p ω、通带最大衰减p α、

阻带截止频率s ω、阻带最小衰减s α。

5) 将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指

标。

6) 按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。

7) 用所选的转换方法，将模拟滤波器)(s H a 转换成数字低通滤波器系统函

数)(z H 。

IIR 数字滤波器的设计流程图如下：

图 .1 IIR 数字滤波器的设计步骤流程图 2.4.2 双线性变换法设计IIR 数字滤波器

如前所述，IIR 数字滤波器的设计方法有间接法和直接法。间接法有两种：脉冲响应不变法和双线性变换法。这两种方法已经是很成熟的模拟滤波器设计方法，此处仅讨论双线性变换法。

设计原理3

脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到T ～T -ππ之间，再用sT e =z 转换到Z 平面上。也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S 1平面的T ～T -ππ一条横带里；第二步再通过标准变换关系T s e z 1=将此横带变换到整个Z 平面上去。这样就使S 平面和Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图 所示。

Z平面

S

1

平面

S平面

图.2双线性变换的映射关系

为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的T

～

T

-π

π段上，可以通过以下的正切变换实现

?

?

?

?

?Ω

=

Ω

2

tan

2

1

T

T

（式2-6）式中,T仍是采样间隔。

当Ω1由T

-π经过0变化到T

π时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（2-6）写成

2

/

2

/

2

/

2

/

1

1

1

.

2

T

j

T

j

T

j

T

j

e

e

e

e

T

j

Ω

-

Ω

Ω

Ω

+

-

=

Ω（式2-7）将此关系分析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

i

i

i

i

i

e

e

T

T

s

T

e

e

e

e

T

s

-

-

-

-

+

-

=

?

?

?

?

?

=

+

-

=

1

1

.

2

2

tanh

2

.

21

1

2/

2/

2/

2/

（式2-8）再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面

T

s

e

z1

=（式2-9）从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：

1

1

1

1

2

-

-

+

-

=

z

z

T

s（式2-10）

s

T

s

T

s

T

s

T

z

-

+

=

-

+

=

2

2

2

1

2

1

（式2-11）

式（2-10）和式（2-11）是S平面和Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换

式（2-6）和式（2-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。

首先,把ωj e z =，可得

Ω=??? ??=+-=--j T j e e T s j j 2tan 2112ωωω （式2-12）

即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。

其次，将Ω+=j σs 代入式（2-12），得

Ω--Ω++=j T

j T z σσ22 （式2-13） 因此

222222Ω+??? ??-Ω+??

? ??+=σσT T z （式2-14）

由此看出，当0<σ时，1σ时，1>z .也就是说，S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

双线性变换法优缺点

双线性变换法和脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S 平面和Z 平面是单值的一一对应关系。S 平面整个j Ω轴单值地对应于Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（2-10）所示，重写如下：

??? ??=Ω2tan 2ωT （式2-15）

上式表明，S 平面上Ω和Z 平面的ω成非线性的正切关系，如图 。

由图 看出，在零频率附近，模拟角频率Ω和数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

图.3 双线性变换法的频率变换关系

但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（2-12）及图所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图所示。

图.4双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。

第3章 切比雪夫低通数字滤波器的MATLAB 设计 3.1 设计步骤4

这里采用MTALAB 双线性变换法设计IIR 切比雪夫低通滤波器，其步骤为：

1) 输入给定的数字滤波器设计指标

2) 根据公式???

? ??=Ω2tan 2T T ω进行修正，

将数字滤波器设计指标转换成模拟滤波器设计指标；

3) 确定模拟滤波器的最小结束和截止频率；

4) 计算模拟低通切比雪夫原型滤波器的系统传递函数；

5) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器。

3.2 MATLAB 程序

低通数字滤波器的技术指标：通带截止频率

，通带衰减，阻带截止频率

，阻带衰减。

程序如下： wp=*pi;ws=*pi;rp=3;rs=40; %数字滤波器指标

Omgp=tan(wp/2)

Omgs=tan(ws/2) %转化为模拟滤波器指标（K=1）

Fs=;

%模拟原型滤波器计算

[N,wo]=cheb1ord(Omgp,Omgs,rp,rs,'s')%计算阶数N 和截止频率wo

[b,a]=cheby1(N,rp,wo,'s') %求原型滤波器系数b ，a

[Ha,Omg]=freqs(b,a); %求模拟系统频率特性

dbHa=20*log((abs(Ha)+eps)/max(abs(Ha)));%求分贝值，加eps 以避开0点

%计算数字滤波器

[bd,ad]=bilinear(b,a,; %用双线性变换法求数字滤波器系数bd,ad

[H,w]=freqz(bd,ad); %求数字系统频率特性

dbH=20*log10(abs(H)/max(abs(H))); %化为分贝值

%画图

subplot(3,2,1),plot(Omg*Omgp/2/pi,dbHa),grid

title('a 模拟幅度响应（dB)');ylabel('幅度/dB');xlabel('f/Hz'); subplot(3,2,2),plot(w/pi,abs(H))

title('b 幅度响应');axis([0,1,0,1]);

subplot(3,2,3),plot(w/pi,dbH),grid

title('c 幅度响应(dB）');axis([0,1,-300,100]);

subplot(3,2,4),plot(w/pi,dbH),grid

title('d 幅度响应(dB）');axis([0,,-60,5]);

subplot(3,2,5),plot(w/pi,angle(H)/pi)

title('e 相位响应');axis([0,1,-1,1]);

subplot(3,2,6),zplane(bd,ad)

title('f 零极图');axis([,,,]);

Omgp =

Omgs =

N =

3

wo =

b =

0 0 0

a =

图.1程序运行结果

Published with MATLAB? R2012b

由图c可以看出附近曲线迅速下降到零，无混叠失真，这正是双线性变换法对模拟频率压缩的结果。结合图c、d可看出幅频特性在通带内有波动，阻带内单调，且满足指标。

总结

通过这次课程设计，对设计IIR数字滤波器的整个过程有了很好的掌握。其中对双线性变换法，切比雪夫滤波器的运用，更加清楚了。熟悉了MATLAB的运行环境，初步掌握了MATLAB语言在数字信号处理中一些基本库函数的调用和编写基本程序等使用；熟悉了滤波器设计的一般原理，对滤波器有了一个感性的认识；加深了对滤波器设计中产生误差的原因以及双线性变换法优缺点的理解和认识。

设计过程中不乏遇到问题，刚出现问题时往往会一头雾水，找不到解决方法。但有问题就代表存在不足，在不断摸索、学习中最后很多问题还是能够解决的，只要肯用心，肯钻研，不断尝试——成功总是在无数次的失败后到来的。细心也是不可缺少的，不可马虎小看任何看似无足轻重的事物，这种想当然的主观臆断只会带来意想不到的结果。而往往由于这种心理，致使问题难以发现。此次设计中就出现了这种问题：本来已经编号的程序，结果也运行无误，而之后为了方便识别将源程序重命名为“cheb1ord”，第二天写报告时再次运行变出现了问题。经过一番周折，终于搞明白了文件名不可和MATLAB中函数名同名。

总之，使理论联系了实际，巩固并深化了对课本基本知识的认识和理解，使理论得以升华。

参考文献

[1]

[2] 丁玉美，高西全.数字信号处理[M]. 西安：西安电子科技大学出版社，2011.

[3]

[4] 刘舒帆，费诺，陆辉.数字信号处理实验(MATLAB版)[M].西安：西安电子科技大学出版社，.