中国剩余定理论文

用秦九韶方法证明中国剩余定理

摘要：大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。宋代数学家秦九韶在《数书九章》（1247年成书）中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。秦九韶的方法，正是前述的中国剩余定理。

关键词：同余式大衍求一术计算步骤剩余定理

英文文摘：Big yan problem stems from "the grandson is the" in "thing don't know the number of questions:" today there are things that I do not know its number, since the number of remaining two, three of those Numbers, the number of remaining 2 groups, ask thing?" This is modern number theory to solve a congruence equations. Qin Jiushao song dynasty mathematicians in the number of book chapter nine > book (1247) in the solution of such problems in system, and call it the big yan asked a. Qin Jiushao explicitly in "the number" nine chapter systematically described the general calculation steps of solving a congruence group. Qin Jiushao method, it is the Chinese remainder theorem

前言：秦九韶所创造的“大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。明中叶以后几乎失传。一直到清代，“大衍求一术”才又重新被发掘出来，引起了如张敦仁、李锐、骆腾风、黄宗宪等许多学者的兴趣。他们对“大衍求一术”进行了解释、改进和简化，其中黄宗宪的《求一术通解》还对某些情形给出了更加简明的方法，但是时代已是晚清。不过，当秦九韶的“大衍求一术”传到欧洲后，却引起了欧洲学者的兴趣和重视。德国著名数学家康托(1829年～1920年)高度评价了“大衍术”，称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。直到今天，“大衍求一术”仍然引起西方数学史家浓厚的研究兴趣。

正文：秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。秦九韶的方法，正是前述的中国剩余定理。我们知道，剩余定理把一般的一组数Ki的选定。秦九韶给这些数起名叫“乘率”，并且在《数书九章》卷一“大衍总术”中详载了计算乘率的方法——“大衍求一术”。为了介绍“大衍求一术”，我们以任一乘率ki的计算作例。如果Gi≡gi（modai），

于是kiGi≡Kigi（modai），

但是因为kiGi≡1（modai），

所以问题归结为求ki使适合kigi≡1（modai）。秦九韶把ai叫“定数”，gi叫“奇数”，他的“大衍求一术”，用现代语言解释，实际就是把奇数gi和定数ai辗转相除，相继得商数q1、q2、……qn和余数r1、r2、……rn，在辗转相除的时候，随即算出下面右列的c值：但是rn又取决于n为偶数或奇数时，现在我们以两个数学例子为例给以证明：

1，

2，

秦九韶为什么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其计算程序的核心问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个数的多少

倍除以另一个数，所得的余数为一”。那么为什么要“求一”呢？我们可以从“物不知数”题的几个关键数字７０、２１、１５中找到如下的规律：

70 = 2*5*7 = 1(mod 3)

21 = 1*3*7 = 1(mod 5)

15 = 1*3*5 = 1(mod 7)

**

*

* 因为如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再

除* 以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×2都加起来所得的结* 果能同时满足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求

*

**

其中70是5和7的倍数，但被；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。

从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，在１９世纪中期开始受到西方数学界的重视。１８５２年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；１８７６年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方１９世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。