第三届全国大学生数学竞赛决赛获奖名单(数学类)
S9北京赛区(11)张瑞祥数学专业北京大学一等奖S8北京赛区(11)韦东奕数学专业北京大学一等奖S86浙江赛区(33)章宏睿数学专业宁波大学一等奖S79上海赛区(31)田晓颖数学专业复旦大学一等奖S7北京赛区(11)苏钧数学专业北京大学一等奖S95上海赛区(31)张易数学专业同济大学一等奖S11北京赛区(11)庄梓铨数学专业北京大学一等奖S16广东赛区(44)李茂生数学专业华南理工大学一等奖S83天津赛区(12)刘勍数学专业南开大学一等奖S4北京赛区(11)黄向屹数学专业北京大学一等奖S10北京赛区(11)赵牧数学专业北京大学一等奖S6北京赛区(11)林博数学专业北京大学一等奖S94上海赛区(31)秦晨翔数学专业同济大学一等奖S37黑龙江赛区(23)刘璐曦数学专业哈尔滨工业大学一等奖S40湖北赛区(42)李江涛数学专业湖北大学一等奖S75上海赛区(31)李宗元数学专业复旦大学一等奖S14甘肃赛区(62)杨辉数学专业兰州大学一等奖S62山东赛区(37)王运朝数学专业曲阜师范大学一等奖S32河南赛区(41)杨江帅数学专业河南大学二等奖S49江苏赛区(32)王宝数学专业苏州大学二等奖S87浙江赛区(33)王六权数学专业浙江大学二等奖S5北京赛区(11)雷理骅数学专业北京大学二等奖S30河北赛区(13)申达志数学专业河北师范大学二等奖S81四川赛区(51)周超数学专业四川大学二等奖S2安徽赛区(34)李昴数学专业中国科学技术大学二等奖S33河南赛区(41)荆瑞娟数学专业河南大学二等奖S1安徽赛区(34)段文哲数学专业中国科学技术大学二等奖S22贵州赛区(52)梁鹏数学专业贵州大学二等奖S78上海赛区(31)魏伊舒数学专业复旦大学二等奖S85天津赛区(12)赵泽华数学专业南开大学二等奖S39湖北赛区(42)陈将浩数学专业湖北大学二等奖S77上海赛区(31)史汝西数学专业复旦大学二等奖S50江苏赛区(32)朱裔数学专业苏州大学二等奖S82四川赛区(51)周彭威数学专业四川大学二等奖S3安徽赛区(34)刘彦麟数学专业中国科学技术大学二等奖S12福建赛区(35)陈汉数学专业厦门大学二等奖
S46吉林赛区(22)王斌数学专业东北师范大学二等奖S66山东赛区(37)孟凡钦数学专业山东科技大学二等奖S93重庆赛区(50)宋海娟数学专业重庆师范大学二等奖S55辽宁赛区(21)刘思序数学专业大连理工大学二等奖S84天津赛区(12)王志超数学专业南开大学二等奖S21贵州赛区(52)黄荣锋数学专业贵州大学二等奖S41湖北赛区(42)余红杰数学专业武汉大学二等奖S88浙江赛区(33)张颖数学专业浙江大学二等奖S90浙江赛区(33)周远数学专业浙江理工大学二等奖S17广东赛区(44)梅河数学专业中山大学三等奖S18广东赛区(44)朱伟鹏数学专业中山大学三等奖S36黑龙江赛区(23)王丽娜数学专业哈尔滨师范大学三等奖S43湖南赛区(43)杨苗数学专业长沙学院三等奖S80四川赛区(51)傅费思数学专业四川大学三等奖S54辽宁赛区(21)蒋瑶数学专业大连理工大学三等奖S70陕西赛区(61)张纯数学专业西安交通大学三等奖S24国防科大赛区(66)陈玺数学专业国防科学技术大学三等奖S52江西赛区(36)周颖颖数学专业赣南师范学院三等奖S64山东赛区(37)屈宝友数学专业山东大学三等奖S76上海赛区(31)倪晨頔数学专业复旦大学三等奖S53江西赛区(36)王利军数学专业江西理工大学三等奖S92重庆赛区(50)张军强数学专业重庆师范大学三等奖S51江苏赛区(32)钱欣洁数学专业徐州师范大学三等奖S26国防科大赛区(66)徐立平数学专业信息工程大学三等奖S31河北赛区(13)李泊宁数学专业河北师范大学三等奖S42湖北赛区(42)曾桢数学专业武汉大学三等奖S44湖南赛区(43)肖惠数学专业湖南师范大学三等奖S45湖南赛区(43)庄晓数学专业湘潭大学三等奖S71陕西赛区(61)薛向宏数学专业西安理工大学三等奖S89浙江赛区(33)赵亮数学专业浙江工商大学三等奖S91重庆赛区(50)陈庚生数学专业西南大学三等奖S15甘肃赛区(62)廖丽丹数学专业河西学院三等奖S27海南赛区(46)王健数学专业海南大学三等奖S68山西赛区(14)郭艳艳数学专业太原理工大学三等奖S69陕西赛区(61)陈阳数学专业陕西师范大学三等奖S25国防科大赛区(66)许晓川数学专业海军工程大学三等奖
S34河南赛区(41)杨会波数学专业商丘师范学院三等奖S48江苏赛区(32)李桂林数学专业淮阴师范学院三等奖S60宁夏赛区(64)田丽茹数学专业北方民族大学三等奖S13福建赛区(35)徐赛国数学专业厦门大学三等奖S28海南赛区(46)乔春雨数学专业海南大学三等奖S59内蒙古赛区(15)杨康数学专业内蒙古大学三等奖S61宁夏赛区(64)岳振芳数学专业宁夏大学三等奖S65山东赛区(37)翟汉征数学专业山东大学三等奖S67山西赛区(14)曹新宇数学专业大同大学三等奖S56辽宁赛区(21)张阳数学专业沈阳航空航天大学三等奖S57辽宁赛区(21)周辰红数学专业沈阳师范大学三等奖S63山东赛区(37)张兴宽数学专业曲阜师范大学三等奖S38黑龙江赛区(23)王姝宇数学专业哈尔滨工业大学三等奖S19广西赛区(45)杨天山数学专业广西师范学院三等奖S20广西赛区(45)李徘菱数学专业广西师范学院三等奖
最新全国大学生数学竞赛简介
全国大学生数学竞赛 百度简介
中国大学生数学竞赛
该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 （非数学类） (150分钟) 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞??+ ???。 （3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞ -==? 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??== ???，求2222g g x y ??+??。 （5）求直线10:0 x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离。 解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++ =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++- = =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞→∞=--=-∴ (2) 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞??+== ??? 令x=1/t,则 原式=1(ln(1)) 1/(1)112(1)220 00lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+---+→→→=== （3）0000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====???? （4）略（不难，难得写） （5 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。
最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答
1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数，直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明： (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是，中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大
全国大学生数学竞赛简介资料
全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.
全国大学生数学竞赛试题及答案
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分. 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x . 二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 第二届全国大学生数学竞赛（辽宁赛区）通知 根据全国大学数学竞赛委员会工作安排，第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010年10月30日（星期六）上午9：00—11：30举行，决赛于2011年3月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。 现将xx赛区竞赛的具体事宜通知如下： 一、参赛对象： 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容： 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人，各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发（参赛名单统一按Excel格式，见附件）； 2、报名费为每人60元，由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号（收到款后开发票）： 单位:xx师范大学 开户行：中国建设银行大连市分行，沙河口支行(辽） 四、考点设置 根据辽宁省高校的分布情况，我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间：2010年11月6—7日。 2、阅卷地点：另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师：每参赛５０人推荐1名阅卷教师（不足５０人按５０计算）；并注明阅卷科目，同一个学校阅卷教师要分布在不同科目（分析、代数、几何、高等数学）；阅卷教师推荐名单１０月２０日前用电子邮箱发给韩友发（名单统一按Excel格式，见附件）；由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 xx发联系方式 电话： 邮箱： （收到此通知后务请回复） xx数学会2010年８月23日 第二届全国大学生数学竞赛辽宁赛区竞赛委员会主任： xx（东北大学） 副主任： xx（大连理工大学） 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下： 一、函数、极限、连续 1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8．连续函数的性质和初等函数的连续性. 9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、 高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? = 10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令，则，， （*） 令，则，，，， 2．设 是连续函数，且满足, 则____________. 解 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(- 第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日 一填空题（5×6分=30分） 1.程微分方 0)(y 3 ' '' ''=-y 的通解是_______ 解：令p ='y ,则'''y p =，则dx p dp 3=，积分得到12 2 1- c x p -=-，即 () x c y p -±= =1'21 ，积分得)(2y 12x c c -±=（2,1c 为常数）. 2.设D:412 2 ≤+≤y x ，则积分()( )dxdy e y x I x D 4 y 2 22-+-??+=的值是_______ 解：)52(2 2sin e 434 1 4 20 2 1 2 2 4 2 -= ==? ? ?--e du ue e rdr e r d I u r π π θθπ（对称性和极坐标）. ()ds s f x t ?=0 3.设()t f 二阶连续可导，且()t f 0≠，若 ()t f y = ， 则 ______2 2=dx y d 解：()dt t f dx =，() dt t f dy ' =，所以()() t f t f dx 'dy = ，则得 ()()()()()() t f t f t f t f dx dt t f t f dt d dx y d 32 ''''22-=???? ??= 4.设1λ，2λ，…，n λ是n 阶方阵A 的特征值，()x f 为多项式，则矩阵() A f 的行列式的值为_______ 解： ()()()()n f f f A f λ λλ 2 1 = 5.极限[])!sin(lim e n n n π∞ →的值为________ 第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日 填空题（5 >6分=30分） 1.程微分方 y 一 (y ) = 0的通解是 _________ 解：令y 二P ,则y = p ,贝U dp = p 3 dx ，积分得到-g p ，= X -G ，即 ―1 _______________________ p = y = = _ ，积分得 y =C2±J2(G —x) (&2为常数). p 2(G -x ) * 2. __________________________________________________________ 设D: 1兰x 2 + y 2 兰4，则积分I = J ] (x + y 2 $專刊* dxdy 的值是 _____________________ t Xjf SdS 3. 设ft 二阶连续可导，且f t =o ，若 y 二f t , 则 a dx 2 I 解：dx 二 f tdt , dy = f ' t dt ，所以史二U ，则得 dx f t d 2 y _ d f (t )]dt _ f (t )f (t 卜 f (t f dx 2 dt i f (t )J dx f 3(t ) 4. 设'1，' 2，…，’n 是n 阶方阵A 的特征值，f X 为多项式，则矩阵f A 的行列式的值为 ________ 解: f （A 卜f （匕）f （扎 2 广f （匕） 5. 极限 lim.hsin （二n!e ） 的值为 ____ 解: 卫 2 2 I = 4e 4 °2d 二 r 2sin 2 廿 rdr 1 4 =—e^ ue 』du = — (2e 3 - 5)(对称性和极坐标) ■: 4 第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及 一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分) （1）设(0,1),α∈则() lim (1)n n n αα→+∞ +-=＿＿＿＿＿＿＿. （2）若曲线()y y x =由+cos +sin 1 y x t t e ty t =?? +=?确定，则此曲线在0t =对应点处的切线方程为 （3）23/2 ln((1) x dx x ++?= （4）2 01-cos lim x x →=＿＿＿＿＿＿＿. f t ()0t ≠(1)0f =二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导，且，求函数f x -y 22()，使得曲线积分 2222 L ?y (2-f (x -y ))???? dx +xf (x -y )dy 与路径无关，其中L 为任一不与直=±y x 线相交的分段光滑闭曲线. f x ()0,11)3(f x ≤≤三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续，且 .证明： 11 14 1) 3f (x )dx dx (f x ?≤≤? . 四 (本题满分12分)计算三重积分 22 ??? x +y ()dV （V ） （V ），其中是由222x +y +(z -2)≥4，222x +y +(z -1)≤9，0z ≥所围成的空心立体. 五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域D M ≤，11(,)A x y ，22(,)B x y 是D 内两点，线段AB 包含在D 内。证明：1122|(,)(,)|||f x y f x y M AB -≤，其 AB ||AB 中表示线段的长度. )0(f x >六(本题满分14分) 证明：对于连续函数，有1 1 ln f (x )dx ≥? ?ln f (x )dx . 第二届全国大学生数学竞赛（辽宁赛区）通知根据全国大学数学竞赛委员会工作安排，第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010 年10 月30日（星期六）上午9：00—11：30 举行，决赛于2011 年3 月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。现将辽宁省赛区竞赛的具体事宜通知如下： 一、参赛对象： 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容： 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人，各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发（参赛名单统一按Excel格式，见附件）； 2、报名费为每人60元，由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号（收到款后开发票）： 单位: 辽宁师范大学 开户行：中国建设银行大连市分行，沙河口支行(辽） 帐号： 四、考点设置 根据辽宁省高校的分布情况，我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间：2010年11月6—7日。 2、阅卷地点：另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师：每参赛５０人推荐1名阅卷教师（不足５０人按５０计算）；并注明阅卷科目，同一个学校阅卷教师要分布在不同科目（分析、代数、几何、高等数学）；阅卷教师推荐名单１０月２０日前用电子邮箱发给韩友发（名单统一按Excel格式，见附件）；由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 韩友发联系方式 电话： 邮箱： （收到此通知后务请回复） 辽宁省数学会历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
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