四年级-数学笔记-上

一、大数的认识

【计数单位】一、十、百、千、万、……

相邻两个计数单位之间的进率都是十。

【数位】在用数字表示数的时候，计数单位要按一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫数位。

【数级】

【读数】

其它数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。

【比较大小】 (1) 位数不同时，位数多的数大于位数少的数；

(2) 位数相同时，从最高位比起；同数位上的数大的那个数就大；

如果同数位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直到比较出大

小为止。

整万数： 4个0可换成一个“万”字；如：90000 = 9万

整千数： 3个0可换成一个“千”字；如：6000 = 6千

【四舍五入法】

关键是找准省略的尾数部分的最高位（即省略到哪一位，就看那一位的下一位）。

比如：要求省略到万位，那么要看万的下一位：千位。千位是省略的尾数部分的最高位。

659230，要省略到万位，就要判断千位上的数字9≥5，所以要“五入”， 659230 ≈ 660000

43482，要省略到千位，就要判断百位上的数字4<5，所以要“四舍”， 43482 ≈ 43000

【自然数】表示物体个数的0、1、2、3、4、5、……都是自然数。0也是自然数。

所有的自然数都是整数。最小的自然数是0；没有最大的自然数，自然数

的个数是无限的。

【十进制计数法】每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫十进制计数法。

一般情况下，进率是几，就叫几进制。

【计算工具】

算盘：是中国古代发明的传统计算工具。1颗上珠表示5, 1颗下珠表示1。

二、公顷和平方米

边长是100米的正方形面积是1公顷。

1cm x 1cm = 1cm2

100m x 100m = 10000m2 = 1公顷

1km

1平方公里 = 1km x 1km =

1000m x 1000m = 1000000m2

= 100公顷

1公顷 = 10000平方米 1平方千米 = 100公顷 = 1000000平方米

400米跑道围起来的面积大约是1公顷。因为：400米是跑道的周长，可看成边长100米的正方形，其面积恰好是1公顷。

一套三居室的楼房面积大约是100米2。

房屋面积通常用平方米表示。广场、园区等面积通常用公顷表示。城市、国家面积通常用平方公里表示。

三、角的度量

从一点出发可以画无数条射线；

经过一点可以画无数条直线；

经过两点只能画一条直线；

【角】

从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。边

这个点叫做角的顶点；两条射线叫做角的边。顶点 1

角用符号“∠”表示，如上图的角记作“∠1”，读作“角1”。边

注意符号“∠”和小于号“<”的区别：角符号下边是平的，小于号下边是斜的。【度】人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。根据这一原理，制作了度量角的工具---量角器。

【量角器】把半圆分成180等份，每一份所对的角都是1°

量角器上有两圈刻度，分为：内圈刻度（逆时针方向）和外圈刻度（顺时针方向）。

【度量方法】两重合，一对应：量角器的重心与角的顶点重合；量角器的0度线与角的一条边重合；另一条边所对应的刻度就是角的度数。（注意：要从与0度线重合的那条边开始读取度数）

【时钟钟面的角度】时钟上的时针和分针构成角的两条边，1点~12点组成了360°的圆，共分为12等份，所以每两个数字之间（1个大格）是360 ÷12 = 30°

查看时针和分针夹角的度数，可以简单转化为查看时针和分针之间有几个大格，再乘以30°，即可计算得出时针和分针夹角度数（不用量角器测量）。

注意：时针和分针之间的夹角分为两个方向：较小的夹角和反向的较大的夹角。通常不做特别说明时指的是较小的夹角。

【角的分类】

直角：直角的两条边相互垂直。1直角 = 90°

平角：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。 1平角 = 180°注意：平角并不是一条直线，而是两条边在同一直线上的角。

周角：一条射线绕它的端点旋转一周，行程的角叫做周角。 1周角 = 360°注意：周角看起来是一条射线，其实是角的两条边重合在一起了。

锐角：小于90°的角叫做锐角。

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

1周角 = 2平角 = 4直角锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角

四、三位数乘两位数

1 4 5

x 1 2

_______________

2 9 0 ……先用12个位上的2乘145，表示2个145

1 4 5 ……再用12十位上的1乘145，表示10个145（注意数位对齐）

_______________

1 7 4 0 ……最后把两次乘得的积加起来，表示12个145

【数位对齐】用第二个因数哪一位上的数去乘第一个因数，积德末位就要和第二个因数的哪一位对齐。

例如：第二个因数12，当用2去乘145时，乘积290要和2对齐；当用1去乘145时，乘积145要和1对齐。

【因数末尾有0的乘法】先把0前面的数相乘，再看两个因数的末尾一共有几个0，就在积德末尾添上几个0。

例：计算 21600 x 130。

2 1 6 0 0

x 1 3 0

_____________________ ……把因数末尾0前面的数对齐，先进行乘法运算

6 4 8

2 1 6

_____________________

2 8 0 8 0 0 0 ……两个因数末尾一共有3个0，添加到积的末尾

【积的变化规律】

一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）相同的数。

例如： 12 x 3 = 36 120 x 3 = 360 12 x 30 = 360

两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时除以（或乘）相同的数，它们的积不变。这就是积不变的规律。

例如： 12 x 3 = ( 12÷ 4 ) x ( 3x 4 ) = 3 x 12 = 36

【总价问题】

单价：每件商品的价钱；（相当于每份数）

数量：购买了多少；（相当于份数）

总价：一共用的钱数；（相当于总数）

总价 = 单价 x 数量单价 = 总价÷数量数量 = 总价÷单价

【路程问题】

速度：每小时（或每分钟等）行的路程；（相当于每份数）

时间：行了几小时（或几分钟等）；（相当于份数）

路程：一共行了多长的路；（相当于总数）

路程 = 速度 x 时间速度 = 路程÷时间时间 = 路程÷速度

五、 平行四边形和梯形

长方形

是平行四边形的特殊情况（相邻两条边相互垂直的平行四边形） 平行四边形是四边形的特殊情况（两组对边分别平行的四边形） 梯形是四边形的特殊情况（只有一组对边平行的四边形） 不相交 ------

相互平行 【同一平面内两条直线间的关系】 垂直 相交

不垂直

【平行线】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。也可以说这两条直线互相平行。

【互相垂直】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

平行线间的距离处处相等

直线a 与b 互相平行， 记作a//b ，读作a 平行于b 直线a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ，读作a 垂直于b

【点到直线的距离】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 点A 到直线的距离是AC 线段。

【平行四边形】

两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。

【高】从平行四边形一条边上的一点，向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫

做平行四边形的高。

【底】垂足所在的边叫做平行四边形的底。

平行四边形的特性：

1.具有不稳定性

2.两组对边分别平行

3.两组对边分别相等

4.两组对角分别相等

5.平行四边形能画出无数条高

6.同一底边上的高的长度都相等

7.高与底是相对应的（同一组对边的高相同；相邻两条边做底时对应的高不同）

【梯形】只有一组对边平行的四边形。

【等腰梯形】两腰相等的梯形。

【直角梯形】有一个角是直角的梯形。

【底】互相平行的一组对边。下底

【上底】通常把较短的底叫上底。

【下底】通常把较长的底叫下底。

【腰】不平行的一组对边。

六、除数是两位数的除法

【试商】除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整

十数来试商。通常来说，用“四舍”估计的商容易偏大；用“五入”估计的商容易偏小；具体需要根据估计出的商来灵活调整。

例如：计算197 ÷ 28时，除数28是两位数，可按四舍五入临时看成是30；

先计算197 ÷ 30，比较容易得出商是6（30 x 6 = 180很接近197），

接下来197 ÷ 28就可以从6开始试商，发现6小了，改商为7。只要两次即

可确定正确的商（如果从1开始试商需要试7次才能找到准确的商），提高了效率。【除法简化】如果被除数和除数末尾都有0，那么被除数和除数同时去掉相同个数的0，商不变（相当于抵消）。注意：一定是去掉相同个数的0。

例如：800 ÷ 20 = 80 ÷ 2 = 40

被除数800去掉1个0，除数20同时也去掉1个0。

【两位数除数的除法的计算方法】

(1)从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果前两位数比除数小，再

试除前三位数；

----除数好比是来了几位敌人，先派出和敌人一样的人数对阵，打不赢（不够除）的话就再拉一个帮手去对阵；

(2)除到被除数的哪一位，就在那一位的上面写商；

----被除数就是己方部队，哪一位帮手加入战斗打赢（够除）时，战果（商）就要挂在那一位帮手头上；

(3)每求出一位商，余下的数必须比除数小；

【商不变规律】

被除数和除数都乘一个相同的数（0除外），商不变。

被除数和除数都除以一个相同的数（0除外），商不变。

例如：60 ÷ 30 = (60 ÷ 10) ÷ (30 ÷ 10) = 6 ÷ 3 = 2

被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，商不变；但如果有余数的话，余数会发生变化：去掉几个0，余数的末尾就要加上几个0。

例如： 8400 ÷ 500

= 84 ÷ 5 ---- 被除数和除数的末尾都去掉2个0

= 16 … 400 ---- 本来84 ÷ 5的商是16，余数是4；

---- 但本例中被除数和除数末尾都去掉了2个0，

---- 商保持16不变，但余数需要在4后面补上2个0；

七、条形统计图

【条形统计图的意义】

条形统计图是用一个单位长度表示一定的数据，根据数据的多少画出长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。

【读条形统计图】

横轴和纵轴分别表示信息和数据。

【统计数据的不同表达方式】

例：正字计数，需要数出笔画数，不够直观。

晴阴多云阵雨

条形统计图，可以清楚、直观地反映出各种数据的多少，便于比较。

绘制条形图时根据情况来确定1格代表几个单位。数据大时，1格可代表多个单位。

八、数学广角 --- 优化

【合理安排时间的步骤】

（1） 确定完成一项工作要做哪些事情（例如下图中沏茶需要做6件事情）； （2） 分析每件事情各需要多长时间；

（3） 合理安排每件事情的工作顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可同时做；

【沏茶问题】

【烙饼问题】 已知条件：

锅每次最多只能烙2张饼；饼的两面都要烙，每面需要3

分钟；一共要烙3张饼。

时间：

3分钟 3分钟 3分钟

时间： 3分钟 3分钟 3分钟 3分钟

烙饼问题的方法技巧：保证锅中烙饼始终或者尽可能满，这样可以最大限度节省时间。

【对策论问题（田忌赛马）】

田忌的马，同等级别下都弱于齐王的马。田忌是较弱的一方。

齐王的马较强，田忌的智慧较强。只要谋略得当，扬长避短，就能够做到以弱胜强。

田忌赛马策略的成功实施有两个前提条件：

（1）齐王先出马，田忌后出；

（2）田忌需要全盘考虑，做到局部放弃，最后整体取胜；

这两个条件缺一不可。