常微分方程教程(丁同仁李承治第二版)第四章奇解
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第四章 奇解
习题4-1
1．求解下列微分方程：
（通解）
特解）（特解）解：2
212
22
)(22222
2
222
2)(2101.(42202..
0)1)(2(0)2()2(2222);
(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x
x p p p x px y p x px p y x C x dx
dp dx dp dx dp dx dp dx dp
dx dp p dx
dy ++-
=
⇒++-+=
⇒+-=⇒-=⇒=+-=+-=⇒-=⇒=+=++⇒=+++⇒+++=++=
=++=+-
2
2
4ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..
0))(2(ln 22)1(ln ln );
(,)(ln ).2(2
2
2
C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x
C x
C x
C
dx dp x x x x x x x x
x dx dp dx
dp dx dp dx
dy
+=⇒+=
⇒=⇒=+-=+-=⇒-+-=⇒-=⇒-=⇒=+=++⇒++++==+=（特解）
解：
dy
dq q
y
q
y y dy dq q y dy
dx p
y
p p y q y q y q x q y x y p y xp 3
2
2
2
222cos 2)
sin (cos 22
2cos 12
cos 123sec tan ,
tan ,
,tan .cos tan 22).3(-++=+
==
=
+=+=-令解：
y
y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y
y y t y
y
y
y
y q
y C dy
dq
dy dq q y dy dq dy dq
q y dy dq dy
dq q
y
q
y
y dy dq 3
2
32
32
32sin 2cos 23
13
133
22
32
323
2
2
sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0
))(tan tan (0)tan ()tan (tan 0
tan tan 23212
cos sin cos sin cos sin cos 3
cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+
=
⇒=
⇒=
⇒=-
+
=⇒=⇒-=⇒=+=-+⇒=+-+⇒=-+
+⇒-（通解）
2．用参数法求解下列微分方程：
（特解）当当由解：令21cos 0sin )]
(cos[2)](cos[
20sin .sin ,
,sin ,cos 2,sin ,cos 4
)(52)1(52
5
102
102
10sin sin 2)
cos 2(sin 5
525
525
2222
25
525
525
52±=⇒±=⇒=+-=+-=⇒+-
=⇒-
==
⇒
=⇒≠=
=
+∞<<-∞=
====+y t t b C x C x y C
dt x dt dx t a t
p x t p t y t p t y y t
tdt
t d t
dy
dx
dy
dx dy
故
解：令dt t
sh xht d sht dx sht dy sht dx dy e e sht e e cht sht
p cht x dx
dy x t
t t t 3)(3332,2,3
,.1)(
3).2(22
2===⇒=-=
+==
==---
C
t t sh C
t e e C t d e e C
dt t sh y t t t t +-=+-+=
+-+=+=--⎰
⎰)224
1(31)4(381
)2()2(381
322222
C
dt t t t C
dt t
t t v dt
v v t t vt u t vdv du v u vdu vdv udu pdx dy v u y v p u x x y t
t t v
dv t t
t dv dt
t dv dt
t dv
vdt tdv t vdt
tdv dv
v u v
u v
v u du
dv
dx
dy v
u v u
++---=++--==
⇒=
⇒=+⇒=
⇒
=
-=⇒
===
-==
⇒
=-⇒=-=-====-+⎰⎰
+---+---+-+--2
21
2221
2ln ,,2)2(22,,,.0)).(3(2222121
2221
22
1221
1221222
122222
222令齐次方程
解：令