李贤平 第2版《概率论基础》第一章答案
李贤平概率论基础 2.2
点构成:(正,红)，(正,白)，(正,黑)，(
反 , 红 )， ( 反 ,白 )， ( 反 ,黑 )。
定义：
“与第k次试验有关的事件”：这种事 件发生与否仅与第k次试验的结果有关。
因此判断某一样本点是否属于这个事 件，只需察看它的第k个分量。 必然事件与不可能事件可以认为与所 有的试验有关。
定义 Ak ——与第k次实验有关的事件全体。 若对于任意的
练习：某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架 敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率击 中它，则需配备此型号火炮多少门？ 解 设需配备 n 门此型号火炮 设事件 Ai 表示第 i 门火炮击中敌机
P( Ai ) 1 1 P( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
例4 甲、乙两人进行乒乓球 比赛, 每局甲胜的 概率为 p ( p 1 2) , 问对甲而言 , 采用三局二胜制 有利, 还是采用五局三胜制有 利. 设各局胜负相 互独立.
解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜,
胜局情况可能是 :
“甲甲”, “乙甲甲”,
“甲乙甲”;
由于这三种情况互不相容,
于是由独立性得甲最终 获胜的概率为 :
p1 p2 2 p2 (1 p).
采用五局三胜制 ,甲最终获胜, 至少需比赛 3 局,
且最后一局必需是甲胜 , 而前面甲需胜二局.
例如, 比赛四局, 则甲的胜局情况可能是:
“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相容, 于是由独立性得 :
在五局三胜制下 ,甲最终获胜的概率为:
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件.
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立
定义：称无穷多个事件相互独立，如果其中任意 有限多个事件都相互独立。
概率论答案 - 李贤平版 - 第二章
第二章 条件概率与统计独立性1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。
4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。
5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。
6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。
9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。
以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。
试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。
10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。
若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
概率论基础(复旦版)李贤平第一章ppt
例如： 例如： 例1.1的样本空间 Ω = {ω1 , ω2 ,⋯, ω6 } ，其中ω1表示: X = x,1.50 ≤ x ≤ 1.90} ，其中 X 表示所抽到学生的身高。
频率稳定性 Def 设将试验 E 进行了 n 次，其中m 次发生了事件A， A 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 则称m / n 为事件 A 发生的频率，记为fn( A ，即 ) A
确定该批小麦种子的发芽率。0.892 0.910 0.913 0.893 发芽率 1 0.8 0.9 0.857 解：从表内的资料可看出，随着做试验种子粒数的增加， 0.903 种子发芽的频率在0.9附近摆动，参与发芽试验的种子粒数 愈大附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大概应在 0.9这个数值上。 注意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。 请大家思考概率的统计定义与下列极限过程有何区别？也即 概率的统计定义能否理解为下式成立：
事实上因为件次品件中恰好取出远小于远小于几何概型def设有一个可度量的区域直线上的区间平面上的区域空间的立体通称向区域任意投一点该点落于区域内任意小区域里的可能性大小只与小区域度量的大小有关而与小区域的位置形状无关这样的随机试验称为几何概型这时样本空间几何概型如图14所示具有下列特点
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
A1 = {X : 1.50 ≤ X < 1.60} A2 = {X : 1.60 ≤ X < 1.70} A3 = {X : 1.70 ≤ X ≤ 1.90}
A 1
3
图1.1
则 A1 , A2 , A3 形成一个互斥事件完备群，如图1.1所示。 显然，互为对立的两个事件一定形成一个互斥事件完 备群。因此，互斥事件完备群是对立事件概念的推广。互 斥事件完备群形成样本空间的一个分割。后面将要遇到的 概率计算中，，利用互斥事件完备群在一些情况下可以化 简复杂事件概率计算。
《概率论基础》(李贤平)第三版-课后答案
第一章事件与概率1、解：(1) P｛只订购A 的｝=P{A(B∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P｛只订购A 的｝=0.30,P｛只订购B 的｝=P{B-(A∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P｛只订购C 的｝=P{C-(A∪B)}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4)P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5)P｛至少订购一种报纸的｝= P｛只订一种的｝+ P｛恰订两种的｝+ P｛恰订三种的｝=0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.2、解：（1）ABC =A ⇒BC ⊃A( A BC ⊂A显然) ⇒B ⊃A且C ⊃A ，若A发生，则B 与C 必同时发生。
（2）A ∪ B ∪ C =A ⇒B ∪ C ⊂A ⇒B ⊂A且C ⊂ A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。
（3）AB ⊂C ⇒A与B 同时发生必导致C 发生。
（4）A ⊂BC ⇒A ⊂B ∪ C ，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。
3、解： A1 ∪ A2 ∪…∪ A n =A1 + ( A2 -A1 ) +… + ( A n -A1 -… -A n-1 )(或)＝A1 +A2 A1 +…+A n A1 A2 … A n-1 ．4、解：（1）ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
概率论基础答案李贤平
第一章 事件与概率1、解：(1) P ｛只订购A 的｝=P{A(B ∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P ｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C ｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P ｛只订购A 的｝=0.30,P ｛只订购B 的｝=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P ｛只订购C 的｝=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4) P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5) P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝ =0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P ｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.A C AB A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(2、解：（1）ABC ，若A 发生，则B 与C 必同时发生。
（2），B 发生或C 发生，均导致A 发生。
A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且AB AC B A C B A ∪∪∪（3）与B 同时发生必导致C 发生。
A C AB ⇒⊂C B A BC A ∪⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。
（4）n A A A ∪ ∪∪21)()(11121−−−−++−+=n n A A A A A A 3、解：121121−+++n n A A A A A A A ． (或)＝C AB 4、解：（1）={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；C B A ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
李贤平《概率论基础》第三版课后答案
边}= 2 + 2 − 1 = 7 . 5 5 10 10 （4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 P = 1− 7 /10 = 3/10 （5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以 P = 1× 4 !/ 5 != 1/ 5
1
A + C = {1,2,3}。
6、解：（1）{至少发生一个}= A ∪ B ∪ C ∪ D . （2）{恰发生两个}= ABC D + ACBD + ADBC + BC AD + CD AB + BDAC .
（3）{A，B 都发生而 C，D 都不发生}= ABC D . （4）{都不发生}= ABC D = A ∪ B ∪ C ∪ D .
4、解：（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC = A ⇒ BC ⊃ A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C ⊂ B 成立。
（4）A=B 及 A = C ⇒ A = B = C ，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也
（2）在上式中令 x=-1 即得所欲证。
（3）要原式有意义，必须
0
≤
r
≤
a
。由于
C a−r a+b
=
C b+r a+b
,
Cbk
=
C b−k b
，此题即等于
a
∑ 要证
C C k +r b−k ab
=
C b+r a+b
概率CH1-习题课
考虑顺序
0.9
18
22、设有甲、乙两袋，甲袋中装有 n 只白球、m 只红球； 今从甲袋中任意取一只 乙袋中装有 N 只白球、 只红球。 M 球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。 求从乙袋中取到白球的概率。 解：设A=“从甲袋中取出白球一只”， B=“从乙袋中取到白球”. 用全概率公式: P ( B） P ( AB) P ( A B)
(1) P ( AB)最大，即P ( A B)最小， 显然A B时，P ( A B)最小，此时，P(AB)=1.3-0.7=0.6。
(2) P ( AB)最小, 也即P ( A B)最大，
当AB 时, P ( AB) 0最小。
应为 P ( A B ) 1,
因为 若P ( AB) 0，则P ( A B) P ( A) P ( B) 1.3 1
解
:设事件Ai=“第i次取到正品”（i=1，2，3）。
法一： 直接用古典概型公式来做
考虑顺 序
样本空间S取为100个零件取3个的所有情形.
2 1 A10 A90 81 P ( A1 A2 A3 ) 0.00834 ; 3 A100 99 98 2 1 A99 A90 P ( A3 ) 0. 9 3 A100
C C A A
1 4 1 8 2 8
3 9
种.
1 1 2 3 C 4 C 2 A8 A9 41 P ( A) 4 A10 90
9
10、求10人中至少有两人出生于同一月份的概率。
解：记Ａ： “10人中至少有两人出生于同一月份”
10 A12 则 : P ( A) 1 10 =0.996 12
第一章_概率论基础
注2
随机变量概念的理解
1） 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, 随机变量 X可理解为 从样本空间 Ω到实数集 Rx的一个映 射.
A
B
易知 A+= A+=A
n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生 是一个事件, 称为事件的和, 记作： A1+A2+…+An 或 A1A2…An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作
A
i 1
i
或
A
i 1
i
事件的交(积)
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一 个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A 又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB
事件间的关系及其运算
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 即属 于A的每一个样本点都属于B，则称事件B包含事 件A或称事件A含于事件B，记作： BA或AB
A
B
易知 A=A A=
对立事件
事件"非A"称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成 的集合. 记作 A
显然
AA , A A , AA
A
A
事件的差
事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B 的那些样本点构成的集合. 记作 AB
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题•、选择题1、下列关系正确的是（）A、oB、{0}C、{0}D、{0} 答案：C2、设P 2 2(x,y)x y 1 ,Q(x,y) x12 3y2 4，则（）A、P QB、P QC、P Q与P Q都不对D、4P Q答案：C16个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________ 排法。
答案：6! 72025个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有种。
答案：723编号为1, 2, 3, 4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中，每一个盒至多可放一球，则不同的放法有种。
答案：(6x5x4x3x2) = 7204、设由十个数字0, 1, 2, 3, 9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是答案：⑹个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有______________ 种不同的排法。
答案： /> =7! = 50406、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定____ 个三角形。
答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有____________ 种分工方法？答案: 5! = 1208、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位 1 人。
则分配方法有_______ 种。
答案：(6 5 4 3) 3609、平面上有12 个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________ 条不同的直线。
答案：6610、编号为1，2，3，4，5 的 5 个小球，任意地放到编号为A， B ，C ， D ，E， F ，的六个小箱子中，每个箱子中可放0 至 5 个球，则不同的放法有___________ 种。
答案：65 三、问答1、集合A有三个元素即A {a,b,c},集合A的非空子集共有多少个，并将它们逐个写出来。
概率论(第二版)
一、退化分布 二、两点分布 三、n个点上的均匀分布 四、二项分布 五、几何分布 六、超几何分布 七、泊松(Poisson)分布
一、退化分布
退化分布 一个随机变量X以概率1取某一常数, 即 P{X=a}=1, 则称X服从a处的退化分布. 说明 由定理2.3的推论3知, X服从退化分布的充要条件是 DX=0. 且若X服从a处的退化分布, 则EX=a. 退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定 的, 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数.
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为 P{X = k}= Ck pk (1− p)n−k , k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅ n. (2.45) n 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 并记作 X~b(n, p), 且记 b(k; n, p) = Ck pk (1− p)n−k . n
≈ 0.9298
七、泊松分布
泊松分布(Poisson) 如果一个随机变量X的概率分布为
k! 其中λ>0为参数, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ).
λk e−λ , k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅, P{X = k} =
(2.60)
泊松分布的期望和方差 EX =λ, DX=λ. 提示
∞ ∞ λk e−λ = λ ∑ λk −1 e−λ = λ ∑ λk e−λ = λ . EX = ∑ k k =0 ∞
(2.42)
n个点上的均匀分布的期望和方差
n 1 ∑ x =def= x , EX = i = n i =1 n 1 ∑( x − x )2 . DX = n i =1 i
(2.43)
(2.44)