2.5 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 备课素材

标准 文案 第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根

素材一 新课导入设计 情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣 情景导入 [师]上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系，请思考(出示画板课件)： 如图2－5－22，你能说出一元二次方程x2＋x－2＝0与二次函数y＝x2＋x－2的关系吗？

图2－5－22 [生]一元二次方程x2＋x－2＝0的根是二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴交点的横坐标． [师]很好，我们还可以根据二次函数与x轴的交点情况，判断一元二次方程根的情况． 这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

[说明与建议] 说明：通过一道简单的题目，让学生进一步理解体会二次函数与一元二次

方程的关系，同时又训练了学生数形结合的能力，渗透了数学中“数形结合”的思想，符合新课标要求．建议：学生掌握了二次函数与一元二次方程的关系，可以利用二次函数与x轴的交点求一元二次方程的近似根． 置疑导入 如何利用二次函数的图象求一元二次方程3x2－x＝1的近似根？ 标准 文案 图2－5－23 方法一：(1)原方程可变形为__3x2－x－1＝0__；

(2)用描点法作二次函数__y＝3x2－x－1__的图象； (3)观察估计二次函数__y＝3x2－x－1__的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在__－1__与__0__之间，另一个在__0__与__1__之间，分别约为__－0.4__和__0.8__； (4)确定方程3x2－x－1＝0的解：由此可知，方程3x2－x－1＝0的近似根为x1≈__－0.4__，x2≈__0.8__． 方法二：(1)用描点法作二次函数y＝3x2－x的图象；

图2－5－24 (2)作直线y＝1； (3)观察估计抛物线y＝3x2－x和直线y＝1的交点的横坐标；由图象可知，它们有两个交

点，其横坐标一个在__－1__与__0__之间，另一个在__0__与__1__之间，分别约为__－0.4__和__0.8__； (4)确定一元二次方程3x2－x＝1的解：由此可知，方程3x2－x＝1的近似根为x1≈__－0.4__，x2≈__0.8__． [说明与建议] 说明：由于解题方法的多样性，可以考查出不同层次学生的思维能力，观

察问题是否仔细、全面．教学中先给学生独立思考的时间，再小组议论，借此培养 学生合作探究、相互交流、取长补短的合作意识．建议：以探究的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正．

素材二 考情考向分析 标准 文案 [命题角度] 利用函数图象估算方程的根 在用图象估算方程根时，一定要画出尽量精确的图象，还要注意题目要求精确到的精确

度． 例1 [枣庄模拟] 小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x2－4x＋5的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找其值为1时的x的值，小亮负责找其值为0时的x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是(C) A．小明认为只有当x＝2时，x2－4x＋5的值为1 B．小亮认为找不到实数x，使x2－4x＋5的值为0 C．小梅发现x2－4x＋5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值 D．小花发现当x取大于2的实数时，x2－4x＋5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值 例2 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根．

[解析] 由于y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2

＋2x－3＝－8的近似根，故可通过作出函数图象来估算方程的近似根．

图2－5－25 解：在平面直角坐标系作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图2－5－25所示．

由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标． 左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间． (1)先求交点横坐标在－1与－2之间的根，利用计算器进行探索． x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25

因此，x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根．

(2)另一根也可类似地求出． 标准 文案 x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25

因此，x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根． 故一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根为x1＝－1.4，x2＝3.4.

现在我们用求根公式来验证一下． 对于方程－x2＋2x－3＝－8，整理得x2－2x－5＝0.

∴x＝2±4＋202＝2±242＝1±6. ∴x1＝3.449≈3.4，x2＝－1.449≈－1.4.

因而利用图象法求得方程－x2＋2x－3＝－8的近似根x1＝－1.4，x2＝3.4是完全正确的．

素材三 教材习题答案 P52随堂练习 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h＝－4.9t2＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间． (1)作出函数h＝－4.9t2＋19.6t的图像； (2)当t＝1，t＝2时，足球距地面的高度分别是多少？ (3)方程－4.9t2＋19.6t＝0，－4.9t2＋19.6t＝14.7的根的实际意义分别是什么？你能在图像上表示出来吗？ 解：(1)列表如下： x … 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … y … 0 8.575 14.7 18.375 19.6 18.375 14.7 8.575 0 …

通过列表、描点、连线可得图像如图所示．

(2)当t＝1时，h＝14.7, 当t＝2时，h＝19.6. (3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根是指使函数h＝－4.9t2＋19.6t的函数值h＝0时， t的值．它们是t＝0及t＝4. 方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根是指使函数h＝－4.9t2＋19.6t的函数值h＝14.7时， t的值．它们是t＝1及t＝3. 标准 文案 图像略． P52习题2.10 1．求下列二次函数的图像与x轴的交点的坐标，并画草图验证：

(1)y＝12x2－x＋3；(2)y＝－2x2＋20x－49.

解：(1) 抛物线y＝12x2－x＋3与x轴没有交点(图略)． (2) y＝－2x2＋20x－49＝－2(x2－10x)－49＝－2(x2－10x＋25－25)－49， ∴y＝－2(x－5)2＋1， ∴令－2(x－5)2＋1＝0，

解得x1＝5＋22， x2＝5－22.

图像与x轴的交点坐标为5＋22，0， 5－22，0(图略)． 2．一元二次方程x2－6x＋4＝1的根与二次函数y＝x2－6x＋4的图像有什么关系？试把方程的根在图像上表示出来． 解：一元二次方程x2－6x＋4＝1的根就是二次函数y＝ x2－6x＋4的图像与直线y＝1的交点横坐标． 把x2－6x＋4＝1变成x2－6x＋9＝6，则(x－3)2＝6，解得x1＝3＋6， x2＝3－6(图略)． 3．二次函数y＝－x2＋3x＋4的图像与一次函数y＝2x－1的图像相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标．

解：相交，12＋212，21，12－212， )－21.

4．一元二次方程x2＋bx－1＝0(b为常数)的根与二次函数y＝x2＋bx－1(b为常数)的图像有什么关系？ 解：一元二次方程x2＋bx－1＝0的根就是二次函数y＝x2＋bx－1与x轴的两个交点的横坐标． P55随堂练习 利用二次函数的图像求一元二次方程－2x2＋4x＋1＝0的近似根．

解：x1≈2.2，x2≈－0.2. P57习题2.11 1．利用二次函数的图像求下列一元二次方程的近似根： (1)2x2＋x－15＝0; (2)3x2－x－1＝0. 标准 文案 解：(1)x1＝－3，x2＝2.5； (2)x1≈0.8，x2≈－0.4. 2．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出

的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋74(x>0)．柱子OA的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

解：柱子OA的高度为74 m，半径至少为2＋112 m. 3．利用二次函数y＝2x2与一次函数y＝x＋2的图像，求一元二次方程2x2＝x＋2的近似根． 解：x1≈1.3，x2≈－0.8. P58复习题 1．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图像描述乘积与因数之间的关系． 解：(1)设其中一个数为x, 另一个数为6－x，积为y.则有y＝x(6－x)． ∴y＝－ x2＋6x.列表如下：

x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 0 5 8 9 8 5 0 … 根据列表、描点、连线，可得图像如图所示．