10.4重积分的应用
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《重积分应用举例》PPT课件
b
对 y 轴 的 转 动 惯 量 为 o a x
Iy x2dxd,y D
整理课件
20
bdya(1by)x2dx 1 a3b.
00
12
同 理 ： 对 x 轴 的 转 动 惯 量 为
Ix Dy2dxdy112ab3.
整理课件
21
三、引力
设空间一物体对物体外一点 P0 x0, y0, z0 处的
zdvdzzdxdyahzdvydydxxoy平面上有设有一平面薄片占有xoy面上的闭区域的转动惯量为薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量设一均匀的直角三角形薄板两直角边长分别为ab求这三角形对其中任一直角边的转动惯量
第四节 重积分应用举例
❖一、曲面的面积 ❖二、质心和转动惯量 ❖三、引力
整理课件
曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A
1 yz
2 y x
2dz.dx
Dzx
整理课件
8
例 1求 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 ， 含 在 圆 柱 体 x 2 y 2 a 内 部 x 的 那 部 分 面 积 .
则有 dAds.
整理课件
6
d为dA 在xo面 y 上的 , 投 d 影 dA co , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxd
Dxy
整理课件
7
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
单位质量质点的引力为 F Fx, Fy , Fz
《重积分的应用举例》PPT课件
§7.4 重积分的应用举例
1. 重积分的几何应用
计算面积与体积
n
S
1d
D
lim 0 i1
i
n
V
1dV
lim 0
i 1
Vi
例1 求两曲面 z x2 3y2 与 z 8 x2 y2 所围区域的体积.
解 所求体积为 V dv, 将往oxy面上投影
z x2 3y2
z
(称为面积元素)
z
n
SP
o
x
d y
nz
dS P d
故有曲面面积公式
S D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
S
1 ( z )2 ( z )2 d xd y
D
x y
若光滑曲面方程为
x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
若光滑曲面方程为
面积.
解 由已知条件得
S EG F 2 drd r 2 h2 drd
D
D
2
a
d
r 2 h2 dr [a
a2 h2 h2 ln( a
0
0
a2 h2 )].
h
2. 重积分的物理应用
(1) 质
量平面薄片的质量 M x, yd ,
D
x, y是薄片 D 在 x, y处的面密度.
2r.
V 2 (4 4r2 cos2 4r2 sin2 ) 2 2rdrd
D
16 2
2
d
1 4r(1 r 2 )dr 8
2.
0
0
曲面的面积
设曲面S的方程zf(x, y)在区域D上具有连续的一阶偏导数, 则曲面S的面积为
1. 重积分的几何应用
计算面积与体积
n
S
1d
D
lim 0 i1
i
n
V
1dV
lim 0
i 1
Vi
例1 求两曲面 z x2 3y2 与 z 8 x2 y2 所围区域的体积.
解 所求体积为 V dv, 将往oxy面上投影
z x2 3y2
z
(称为面积元素)
z
n
SP
o
x
d y
nz
dS P d
故有曲面面积公式
S D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
S
1 ( z )2 ( z )2 d xd y
D
x y
若光滑曲面方程为
x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
若光滑曲面方程为
面积.
解 由已知条件得
S EG F 2 drd r 2 h2 drd
D
D
2
a
d
r 2 h2 dr [a
a2 h2 h2 ln( a
0
0
a2 h2 )].
h
2. 重积分的物理应用
(1) 质
量平面薄片的质量 M x, yd ,
D
x, y是薄片 D 在 x, y处的面密度.
2r.
V 2 (4 4r2 cos2 4r2 sin2 ) 2 2rdrd
D
16 2
2
d
1 4r(1 r 2 )dr 8
2.
0
0
曲面的面积
设曲面S的方程zf(x, y)在区域D上具有连续的一阶偏导数, 则曲面S的面积为
重积分的运用举例
三. 物体的质量
解：
先求该物体的体密度
由题意
且
Hw p199 2,3(2).
Apr. 23 Mon. Review
重积分应用
1.几何应用：
2.物理应用：
2.物理应用：
四. 物体的质心
，质量元素为
当薄片是均匀的，质心称为形心.
解：
解：
以球心为原点，以物体的对称轴为z轴，建立坐标系，形状对称，故质心在z轴上，即
同理可得
若光滑曲面方程为隐式
则
1.
x
y
z
o
1
1
x
y
z
o
1
1.
x
y
z
o
1
1
D
S
.
.
.
.
.
.
.
1.
2.
a
y
x
z
o
2.
x
y
z
o
D
S =
共同的 D :
.
2
x
z
y
3.
o
3.
x
z
y
2
问题： 曲面向哪个坐标面投影？
.
o
只能向xoz平面投影
x
z
y
2
得 z = 2
Dxz
.
3.
o
其中，
x
z
y
2
Dxz
b
引理成立.
a
注：这里 即 两平面法矢量的夹角.
证毕
二. 曲面的面积
x
z
y
0
z = f (x,y)
D
(xi , yi)
Pi
解：
先求该物体的体密度
由题意
且
Hw p199 2,3(2).
Apr. 23 Mon. Review
重积分应用
1.几何应用：
2.物理应用：
2.物理应用：
四. 物体的质心
，质量元素为
当薄片是均匀的，质心称为形心.
解：
解：
以球心为原点，以物体的对称轴为z轴，建立坐标系，形状对称，故质心在z轴上，即
同理可得
若光滑曲面方程为隐式
则
1.
x
y
z
o
1
1
x
y
z
o
1
1.
x
y
z
o
1
1
D
S
.
.
.
.
.
.
.
1.
2.
a
y
x
z
o
2.
x
y
z
o
D
S =
共同的 D :
.
2
x
z
y
3.
o
3.
x
z
y
2
问题： 曲面向哪个坐标面投影？
.
o
只能向xoz平面投影
x
z
y
2
得 z = 2
Dxz
.
3.
o
其中，
x
z
y
2
Dxz
b
引理成立.
a
注：这里 即 两平面法矢量的夹角.
证毕
二. 曲面的面积
x
z
y
0
z = f (x,y)
D
(xi , yi)
Pi
重积分的应用78864-32页PPT文档资料
F y (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) y 2 ( y (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
F z (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) z 2 ( z (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
y 1
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
例3 设平面薄板由yxaa((1tcsiontts))，(0t2)
与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
D
b
3h
12
.
设 物 体 占 有 空 间 有 界 闭 区 域 ,在 点 (x ,y ,z)处
的 体 密 度 为 (x ,y ,z),(x ,y ,z)在 上 连 续 ,则
对于 x轴的转动惯量
Ix(y2z2)(x,y,z)dv,
对于y轴的转动惯量
Iy(x2z2)(x,y,z)dv.
对于 z轴的转动惯量
Iz(x2y2)(x,y,z)dv.
五、引力
空间一物体对物体外一点p0(x0,y0,z0)处的
单位质量质点的引力为: F
km1m2 r3
r
F x (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 x )2 ( x (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
第五节重积分的应用
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,
故
连续体的转动惯量可用积分计算.
设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元
对 z 轴的转动惯量为
因此物体 对 z 轴 的转动惯量:
类似可得:
对 x 轴的转动惯量
对 y 轴的转动惯量
对原点的转动惯量
如果物体是平面薄片, 面密度为
(用极坐标)
由题意知
令
得
(小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100 小时.
三、物体的质心
设空间有n个质点,
分别位于
其质量分别
为
由力学知, 该质点系的质心坐标
为
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 公式 , 即:
将 分成 n 小块,
在第 k 块上任取一点
将第 k 块看作质量集中于点
系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.
即 若光滑曲面方程为
则有
若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式
则有
且
则
例2. 计算双曲抛物面
出的面积 A .
解: 曲面在 xoy 面上投影为
被柱面
所截 则
例3. 计算半径为 a 的球的表面积.
解: 方法1 利用球坐标方程. 设球面方程为 球面面积元素为
方法2 利用直角坐标方程. (见书 P167)
则转动惯量的表达式是二重积分.
例6.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直 径
的转动惯量. 解: 建立坐标系如图,
半圆薄片的质量
例7.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.
高等数学重积分应用
设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
该物体位于(x , y , z) 处的微元
因此物体 对 z 轴 的转动惯量:
对 z 轴的转动惯量为
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,
故
连续体的转动惯量可用积分计算.
类似可得:
对 x 轴的转动惯量
对 y 轴的转动惯量
对原点的转动惯量
如果物体是平面薄片,
(用极坐标)
由题意知
令
得
(小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
பைடு நூலகம்小时.
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
对区域具有可加性
从定积分定义出发 建立积分式
用微元分析法 (元素法)
分布在有界闭域上的整体量
3. 解题要点
画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
定出积分限、计算要简便
2. 用重积分解决问题的方法
一、立体体积
曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
若光滑曲面方程为
则有
即
若光滑曲面方程为
若光滑曲面方程为隐式
则
则有
且
例2. 计算双曲抛物面
被柱面
所截
解: 曲面在 xoy 面上投影为
则
出的面积 A .
三、物体的质心
设空间有n个质点,
其质量分别
由力学知, 该质点系的质心坐标
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
公式 ,
分别位于
为
为
即:
采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心
— 对 y 轴的 静矩
该物体位于(x , y , z) 处的微元
因此物体 对 z 轴 的转动惯量:
对 z 轴的转动惯量为
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,
故
连续体的转动惯量可用积分计算.
类似可得:
对 x 轴的转动惯量
对 y 轴的转动惯量
对原点的转动惯量
如果物体是平面薄片,
(用极坐标)
由题意知
令
得
(小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
பைடு நூலகம்小时.
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
对区域具有可加性
从定积分定义出发 建立积分式
用微元分析法 (元素法)
分布在有界闭域上的整体量
3. 解题要点
画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
定出积分限、计算要简便
2. 用重积分解决问题的方法
一、立体体积
曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
若光滑曲面方程为
则有
即
若光滑曲面方程为
若光滑曲面方程为隐式
则
则有
且
例2. 计算双曲抛物面
被柱面
所截
解: 曲面在 xoy 面上投影为
则
出的面积 A .
三、物体的质心
设空间有n个质点,
其质量分别
由力学知, 该质点系的质心坐标
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
公式 ,
分别位于
为
为
即:
采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心
— 对 y 轴的 静矩
第十章-重积分的应用
第十章-重积分的应用第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。
尤其是在几何和物理两方面。
几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。
物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。
在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。
2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。
3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。
如图： y 1=xy （2，2）)21,2(O 1 2 x[错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S yDσ[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。
问题在于区域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。
[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y Ddx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。
[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。
高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案
性质6（估值定理） 设, 分别是在闭区域上的最大值与最小值, 是的面积, 则
.
性质7（二重积分中值定理）设在闭区域上连续, 是的面积, 则在上至少存在一点, 使.
性质8（对称性质）设闭区域 关于 轴对.
（1）若被积函数关于变量为奇函数, 即, 则.
（2）若当被积函数关于变量为偶函数, 即时, 则.
性质9（轮换对称性）设闭区域关于轴对称,则.
注 （1）曲顶柱体的体积是函数在上的二重积分, 即＝.
（2）平面薄片的质量是面密度在薄片所占平面区域上的二重积分, 即.
（3）如果在闭区域上连续, 则在闭区域上的二重积分必定存在.
（4）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续, 则在上可积.
（5）二重积分的几何意义: 当时, 就是曲顶柱体体积; 当时, 柱体在面的下方, 此时二重积分是曲顶柱体体积的相反数; 如果在的若干部分是正的, 而在其他部分都是负的, 则我们可以把面上方的曲顶柱体体积取成正, 面下方的曲顶柱体体积取成负, 则在上的二重积分就等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和.
-型区域的特点是:在区域内, 任意平行于轴的直线与的边界至多有两个交点, 且左右边界的曲线方程是的函数.如果一个区域既是-型区域又是-型区域, 称为简单区域.
3.混合型区域 若有界闭区域, 它既不是-型区域又不是-型区域, 则称之为混合型区域.
其特点是:在区域内,存在平行于轴和轴的直线与的边界交点多于两个.
;
(3) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )为的变化范围, 即
.
(4) 将三重积分写成关于变量 的三次积分
.
一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或者扇形区域,被积函数含有或()时, 用柱面坐标计算比较简单.
.
性质7（二重积分中值定理）设在闭区域上连续, 是的面积, 则在上至少存在一点, 使.
性质8（对称性质）设闭区域 关于 轴对.
（1）若被积函数关于变量为奇函数, 即, 则.
（2）若当被积函数关于变量为偶函数, 即时, 则.
性质9（轮换对称性）设闭区域关于轴对称,则.
注 （1）曲顶柱体的体积是函数在上的二重积分, 即＝.
（2）平面薄片的质量是面密度在薄片所占平面区域上的二重积分, 即.
（3）如果在闭区域上连续, 则在闭区域上的二重积分必定存在.
（4）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续, 则在上可积.
（5）二重积分的几何意义: 当时, 就是曲顶柱体体积; 当时, 柱体在面的下方, 此时二重积分是曲顶柱体体积的相反数; 如果在的若干部分是正的, 而在其他部分都是负的, 则我们可以把面上方的曲顶柱体体积取成正, 面下方的曲顶柱体体积取成负, 则在上的二重积分就等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和.
-型区域的特点是:在区域内, 任意平行于轴的直线与的边界至多有两个交点, 且左右边界的曲线方程是的函数.如果一个区域既是-型区域又是-型区域, 称为简单区域.
3.混合型区域 若有界闭区域, 它既不是-型区域又不是-型区域, 则称之为混合型区域.
其特点是:在区域内,存在平行于轴和轴的直线与的边界交点多于两个.
;
(3) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )为的变化范围, 即
.
(4) 将三重积分写成关于变量 的三次积分
.
一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或者扇形区域,被积函数含有或()时, 用柱面坐标计算比较简单.
重积分的 计算 及应用 小结
2
D1
( x y) d
( x y) d x
6
4
dy y 2
2
12 y
( x y) d x
4
dy y 2
2
4 y
543 15
11
6、
a
证明:
y m( a x )
0 d y 0 e
f ( x)d x
0 (a x)e
a
m( a x )
1 2 0
2
y ) d xd y 0
1 3
D
d r d r
0
4
o
1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,
利用对称性 , 得
D2 D1 x y
2 2
xye
d xd y
xye
x
x y
2
2
y yx o D2 1 x D1
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性等简化计算
3. 消去被积函数绝对值符号
1、
计算二重积分
所围成的闭区域.
y r R cos
其中D 为圆周 提示: 利用极坐标
0 r R cos D: 2 2
o
D
R x
原式
2 3
R
3
0
2
(1 sin ) d
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点)
D1
( x y) d
( x y) d x
6
4
dy y 2
2
12 y
( x y) d x
4
dy y 2
2
4 y
543 15
11
6、
a
证明:
y m( a x )
0 d y 0 e
f ( x)d x
0 (a x)e
a
m( a x )
1 2 0
2
y ) d xd y 0
1 3
D
d r d r
0
4
o
1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,
利用对称性 , 得
D2 D1 x y
2 2
xye
d xd y
xye
x
x y
2
2
y yx o D2 1 x D1
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性等简化计算
3. 消去被积函数绝对值符号
1、
计算二重积分
所围成的闭区域.
y r R cos
其中D 为圆周 提示: 利用极坐标
0 r R cos D: 2 2
o
D
R x
原式
2 3
R
3
0
2
(1 sin ) d
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点)
第四节重积分的应用资料
0
5 . 6
所求形心坐标为
(a,
5 6
)
.
2、平面薄片的转动惯量
设 xoy平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 ) ，, ( xn , yn ) 处，质量分别 为m1 , m2 ,, mn ．则该质点系对于x 轴和y 轴
的转动惯量依次为
n
n
I x mi yi 2 ， I y mi xi 2 .
例 2 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长
a b 分 别 为 、 ， 求 这 三 角 形 对 其 中 任 一 直 角 边 的
转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在
y
x轴和y 轴上，如图
b
对 y 轴的转动惯量为
o
a
x
I y x2dxdy, D
b
dy
0
a (1
y b
)
xLeabharlann 所求引力为0, 0, 2fa
1 R2
a2
1 a
.
三、利用对称性化简重积分（补充内容）
1、利用对称性化简二重积分：（偶倍奇零）
约定：若f (x, y) f (x, y),则称f (x, y)关于x为奇函数；
若f (x, y) f (x, y),则称f (x, y)关于x为偶函数。
见P167---例1
例6. 计算双曲抛物面
被柱面
所截
出的面积 A .
解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x2 y2 R2 , 则
A
D
1
zx2
z
2 y
5 . 6
所求形心坐标为
(a,
5 6
)
.
2、平面薄片的转动惯量
设 xoy平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 ) ，, ( xn , yn ) 处，质量分别 为m1 , m2 ,, mn ．则该质点系对于x 轴和y 轴
的转动惯量依次为
n
n
I x mi yi 2 ， I y mi xi 2 .
例 2 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长
a b 分 别 为 、 ， 求 这 三 角 形 对 其 中 任 一 直 角 边 的
转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在
y
x轴和y 轴上，如图
b
对 y 轴的转动惯量为
o
a
x
I y x2dxdy, D
b
dy
0
a (1
y b
)
xLeabharlann 所求引力为0, 0, 2fa
1 R2
a2
1 a
.
三、利用对称性化简重积分（补充内容）
1、利用对称性化简二重积分：（偶倍奇零）
约定：若f (x, y) f (x, y),则称f (x, y)关于x为奇函数；
若f (x, y) f (x, y),则称f (x, y)关于x为偶函数。
见P167---例1
例6. 计算双曲抛物面
被柱面
所截
出的面积 A .
解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x2 y2 R2 , 则
A
D
1
zx2
z
2 y