高一数学空间几何体的表面积与体积PPT教学课件 (2)
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高中数学课件--空间几何体的体积
空间几何体的体积
知识回顾：
多面体表面积：S表 S底 S侧
旋转体表面积：
S圆柱表 2r 2 2rl 2r(r l)
S圆锥表 r 2 rl r(r l)
S圆台表 (r2 r 2 rl rl)
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？这种关系是巧合还是存在必然联系？
r O
l
O
S柱 2r(r l)
r'O’ l
rO
r’＝r
r’＝0
l
r
O
S锥 r(r l)
S台 (r2 r 2 rl rl )Байду номын сангаас
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的 体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
3
3
1 Sh 1 Sx 1 S 'x 3 33
1 Sh 1 (S S ' ) h s'
33
s s'
1 Sh 1 ( s s' )h s' 1 h(s ss' s' )
33
3
想 柱体、锥体、台体的体积公式之间有 一 什么关系？ 想 ？
上底扩大
上底缩小
球的表面积：s 4r 2
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积
柱体V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体V 1 Sh
3
球的体积公式：V 4 r 3
3
作业
知识回顾：
多面体表面积：S表 S底 S侧
旋转体表面积：
S圆柱表 2r 2 2rl 2r(r l)
S圆锥表 r 2 rl r(r l)
S圆台表 (r2 r 2 rl rl)
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？这种关系是巧合还是存在必然联系？
r O
l
O
S柱 2r(r l)
r'O’ l
rO
r’＝r
r’＝0
l
r
O
S锥 r(r l)
S台 (r2 r 2 rl rl )Байду номын сангаас
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的 体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
3
3
1 Sh 1 Sx 1 S 'x 3 33
1 Sh 1 (S S ' ) h s'
33
s s'
1 Sh 1 ( s s' )h s' 1 h(s ss' s' )
33
3
想 柱体、锥体、台体的体积公式之间有 一 什么关系？ 想 ？
上底扩大
上底缩小
球的表面积：s 4r 2
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积
柱体V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体V 1 Sh
3
球的体积公式：V 4 r 3
3
作业
高一数学必修2课件：1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积
先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图 所示．
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
高一数学课件—第一章 空间几何体的表面积与体积
解析 ∵圆锥 SO 的高为 4，体积为 4π， ∴4π＝43πr2，∴r＝ 3.
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于____6____．
解析 由正视图知，其侧面的底边长为 2，高为 1，故 其侧面积 S＝2×1×3＝6.
5.已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求 所得几何体的表面积及体积．
V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r2·AD－13πr2AD ＝π×3× 6－13×π×3× 6 ＝2 6π(cm3).
探究 3 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB，以 l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
解 如题图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 (1)柱体、锥体、台体的体积公式之间的内在关系为
V 锥体＝13Sh. (2)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD，再由 h＝S△3BVCD求得．这种方法就是用 等体积法求点到平面的距离，其中 V 一般用换顶点法求解， 即 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是 V 易求， 且△BCD 的面积易求．
A.1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2
解析 ∵G 为 PB 的中点， ∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC ＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC. 又多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴S△ABC＝12S△ACD. ∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC. ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于____6____．
解析 由正视图知，其侧面的底边长为 2，高为 1，故 其侧面积 S＝2×1×3＝6.
5.已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求 所得几何体的表面积及体积．
V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r2·AD－13πr2AD ＝π×3× 6－13×π×3× 6 ＝2 6π(cm3).
探究 3 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB，以 l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
解 如题图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 (1)柱体、锥体、台体的体积公式之间的内在关系为
V 锥体＝13Sh. (2)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD，再由 h＝S△3BVCD求得．这种方法就是用 等体积法求点到平面的距离，其中 V 一般用换顶点法求解， 即 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是 V 易求， 且△BCD 的面积易求．
A.1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2
解析 ∵G 为 PB 的中点， ∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC ＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC. 又多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴S△ABC＝12S△ACD. ∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC. ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个
圆柱的体积可能是
√288 A. π
cm3
√192 B. π
cm3
C.288π cm3
D.192π cm3
解析 当圆柱的高为 8 cm 时，V＝π×122π2×8＝2π88(cm3)， 当圆柱的高为 12 cm 时，V＝π×28π2×12＝1π92(cm3).
V柱 Sh
V柱
1 3
Sh
1 V台 3 (S
SS' S' )h
复习 棱柱、棱锥、棱台的表面积：
围成它们的各个面的面积的和，即侧面积+底面积
我们知道了多面体的表面积，那你认为旋转体——圆柱、圆锥、圆 台、球的表面积又是怎样的呢？
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的面积和,即 侧面积+底面积
变式2 (1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°， 轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.
解析 设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D， 则A1D＝3，∠A1AB＝60°， 又∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°，
1 3
Sn
R
1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
因为 S 4πR2 所以球的体积为 V 4 R3
3
Si
hi
Vi
Si
R
O
Vi
2
PART TWO
题型探究
题型一 求圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.
【课件】圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例析
例2 如右图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆
柱的体积之比.
解:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径
为R，高为2R.
4 3
因为 V球
R ,V 圆柱
R2 2R 2 R3
3
所以 V球 : V圆柱
2
3
问题：球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？
R O
练习
题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1 ，2 ，过直线1 2 的平面截该圆
）
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形. （
答案：√，×.
辨析2：若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为(
A.2
答案：D.
B.3
C.
D.4
).
）
新知探索
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推
导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.
他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的
∴ = 5，∴ = × (2 + 6) × 5 + × 22 + × 62 = 40 + 4 + 36 = 80.
练习
题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积
例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积
之比是(
).
A.1
B.1：2
C. 3：2
D.3：4
的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体
积为_____.
解：设上、下底面半径，母线长分别为，，.
作1 ⊥ 于点，则1 = 3，∠1 = 60°.
又∠1 = 90°，∴∠1 = 60°，∴ =