数字信号处理实验二

数字信号处理实验二
实验二 快速傅里叶变换(FFT)及其应用
一、思考题
(1) 实验中的信号序列
()c x n 和()d x n 在单位圆上的z 变换频谱
()()c j j d X e X e ωω和会相同吗?如果不同，说出哪一个低频分量更多一些，为什
么?
答：设j Z r e ω=⨯ ()()n n G z g n z ∞-=-∞=⨯∑因为为单位圆，故r=1.因为
()()j j n n G e g n e
ω
ω∞-=-∞=⨯∑，故3723456704()(8)23432j j n j n j j j j j j j c n n X e ne
n e e e e e e e e ωωωωωωωωωω---------===+-=++++++∑∑
7235670()(4)43223j j n j j j j j j d n X e n e
e e e e e e ωωωωωωωω-------==-=+++---∑比较可
知频谱不相同，()c X n 的低频分量多。

(2) 对一个有限长序列进行DFT 等价于将该序列周期延拓后进行DFS 展开，因为DFS 也只是取其中一个周期来运算，所以FFT 在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。

如果实正弦信号()sin(2),0.1x n fn f π== 用16点FFT 来做DFS 运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗?为什么?
答：针对原来未经采样的连续时间信号来说，FFT 做出来的永远不会是信号本身的真实频谱，只能够是无限接近。

FFT 频谱泄露问题是一定会存在的，因为毕竟采样率再高，也不能完全达到原来的连续时间信号准确。

原题的采样率是1/10，就是将2*pi 分成10份，即每个正弦波周期进行10次采样，这样的采样率很低，而最后你只截取16个点来做分析，泄露一般会挺严重，看到的频谱，应该是一个上头尖，下面慢慢变宽的尖锥形，而纯正的正弦波的理想频谱应该是在某频点只有一个尖峰。

二． 实验原理：
（1）混叠：采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。

（2）泄露：根据理论分析，一个时间的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。

因此对一个时间有限的信号，应用DFT进行分析，频谱混叠难以避免。

对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在实际运算中，时间总是取有限值，在将信号截断的过程中，出现了分散的扩展谱线的现象，称之为频谱泄露或功率泄露。

（3）栅栏效应：DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就在一定意义上看，用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。

（4）圆周卷积：把序列X（N）分布在N等份的圆周上，而序列Y（N）经反摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。

两圆上对应的数两量两相乘求和，就得到全部卷积序列。

这个卷积过程称做圆周卷积。

（5）互相关函数反映了两个序列X（N）和Y（N）的相似程度，用FFT可以很快的计算互相关函数。

二、上机内容
实验中用到的信号序列:
a) 高斯序列
()
()2
015 0
n p
q
a e n
x n
-
-
⎧
⎪≤≤=⎨
⎪⎩其他
b) 衰减正弦序列
()
()
sin2015 0
an
b e fn n
x n
π
-
⎧≤≤⎪
=⎨
⎪⎩其他
c) 三角波序列
()c n 038n 47
0 n x n n ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他
d) 反三角波序列
()4 03447
0 d n n x n n n -≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他
实验内容思考题：
1、观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa （n ）中参数p=8 ，改变q 的值，使q 分别等于
2、4、8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q 取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性的影响；固定 q=8，改变p ，使p 分别等于8、1
3、14，观察参数p 变化对序列的时域和幅频特性的影响，注意p 等于多少时，会发生明显的泄漏现象， 混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域和幅频特性曲线。

答：时域：当p 固定，q 变化时，由时域波形可知，q 代表了波形以p 为中心向两侧衰减的速度，发现当q 越大时，衰减的速度越快，反之，衰减的速度相对较慢，高频分量越小。

频域：当q 固定，p 变化时，由时域波形可知，p 代表了波形的移序，在频谱上，显而易见，在p 更大的时候产生了更多的高频分量。

右移之后，序列相当于被截断，那么相对应的其频谱泄漏的情况更加的严重，从而出现了高频分量较多的情况。

信号的频谱中高频分量逐渐增加，频谱泄漏逐渐明显，并逐渐出现频谱混叠现象。

当p=16时，能力泄漏至旁边的频率，出现较明显的频谱泄漏与频谱混叠现象。

随着
p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。

2、观察衰减正弦序列xb（n）的时域和幅频特性，a=0.1，f=0.0625，检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠和泄漏现象？说明产生现象的原
因。

答：如图可知满足Nyquist定理时，f≤0.5，f=0.5625时不满足Nyquist定理。

随着f的增大，频谱的谱峰逐渐向右平移，两谱峰逐渐向中间靠拢。

因为0.4375=0.5-0.0625,0.5625=0.5+0.0625，f=0.4375和f=0.5625频谱图关于ω=π对称，造成观察到的频谱完全相同，但实际上表示的意义却不相同。

由于存在泄漏现象，出现了高频分量，虽然在f=0.4375时满足Nyquist定理但实际上已发生了频谱混叠。

3、一个连续信号含有两个频率分量，经采样得xn=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+df)*n) n=0,1,2，···，N-1 已知
N=16，df分别为1/1和1/64，观察其频谱；当N=128时，df不变其结果有何不同，为什么？
答：正三角波和逆三角波的时域波形上的走势是不一样的。

在频域上可以发现，N=8时，两者的fft互为相反数，因为两者的和实际上就
是一个矩形窗函数，rectwin(8)，由于rectwin（8）的fft为80000000，所以除了fft（0）以外，其他都为相反数。

而当N=16时，两者之间的和为一个补零了的rectwin（8），对于N不同时得到的结果发现，实质上同一个序列补零以后的频谱并没有发生太大的变化，补零后的序列相当了有了更多的采样点，在对应位置处的fft值还是相同的，不同的是，当N变大时，补零长度变大时，暴露出来的更多的采样点值可以减轻fft的栅栏效应。

4、一个连续信号含两个频率分量，经采样得
x(n)=sin[2π*0.125n]+cos[2π*(0.125+∆f)n] n=0,1,…N -1 已知N=16，∆f分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，∆f不变，其结果有何不同？
答：由fft频谱图可知，在N=16时，deltaf=1/16时，fft频谱是正确的应该是两个冲激，但是在deltaf=1/64时，此时的信号的带宽减小，由于采样点数是固定的，导致卷积的过程中出现了泄露的情况，因此在第二种情况下出现了谱线扩散的情况。

在N=128时，相当于扩展了加窗的宽度，因而没有出现频谱的泄漏。

源程序：
第一题图：
第二题图：
第三题图：
第四题图：
第五题图：
第六题图：
第七题图：
第八题图：
三、实验总结与分析
（1）利用FFT来估计模拟信号的频率，FFT的点数越多，信号的频谱分辨率越高，利用频谱估计得到的信号频率与实际的误差越小。

要想提高估计精度，应当使FFT点数在允许的范围内尽可能的大。

（2）当信号发生截断效应时，会产生高频分量，这种情况下会出现频谱混叠和频谱泄漏现象，截断效应越明显，泄漏越大。

（3）对信号抽样时，在满足Nyquist定理的情况下，由于频谱泄漏，会发生频谱混叠，因此，采样频率尽量高。

（4）由于栅栏效应使得有些不同的信号的频谱图相同，这种情况可以通过增加FFT点数来判断。

（5）随着p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。