高数同济7.3齐次微分方程【PPT】
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高数微分方程PPT课件
Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
湘潭大学数学与计算科学学院
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第21页/共53页
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
四、设圆柱形浮 筒,直径为 0.5m , 铅直放在水中, 当 稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的 周期为 2s ,求浮筒的质量 .
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第18页/共53页
练习题答案
一、1、 y C1 C2e4 x ；
2、
x
(C1
C2t
)e
5t 2
；
3、 y e 3 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ；
Dn
a Dn1 1
an1 D an
是D
的多项式
可进行相加和相乘的运算．
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第10页/共53页
3、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 若是k重根r
4、 y C1e2 x C2e2 x C3 cos 3 x C4 sin 3 x .
二、1、
y
e
x 2
(2
x)；
2、 y e2 x sin 3 x .
三、 y y 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解)
四、M 195kg.
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难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
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设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
四、设圆柱形浮 筒,直径为 0.5m , 铅直放在水中, 当 稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的 周期为 2s ,求浮筒的质量 .
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练习题答案
一、1、 y C1 C2e4 x ；
2、
x
(C1
C2t
)e
5t 2
；
3、 y e 3 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ；
Dn
a Dn1 1
an1 D an
是D
的多项式
可进行相加和相乘的运算．
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3、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 若是k重根r
4、 y C1e2 x C2e2 x C3 cos 3 x C4 sin 3 x .
二、1、
y
e
x 2
(2
x)；
2、 y e2 x sin 3 x .
三、 y y 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解)
四、M 195kg.
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《同济高数》课件
极限的定义与性质
总结词
极限是数学分析中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。极限具有一些重要的性质，如唯一性、局部 有界性、局部保号性等。
详细描述
极限的定义是指，对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当自变量的绝对值小于δ时，函数的值与极限 值的差的绝对值小于ε。极限的性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性和收敛性等。这些性质在研究函数的 性质和变化趋势时非常重要。
04
一元函数积分学
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在闭区间上离散和的极 限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加性、常数性质、比较性质等 。
定积分的几何意义
定积分表示的是曲线与x轴所夹的面积。
定积分的计算
微积分基本定理
定积分的计算主要依赖于微 积分基本定理，即牛顿-莱布 尼茨公式。
换元法
当被积函数或积分分法
当被积函数是两个函数的乘 积时，可以使用分部积分法 。
定积分的应用
变速直线运动的路程
通过定积分可以计算变速直线运动的路程。
曲线的长度
定积分可以用来计算曲线的长度。
液体压力问题
在液体压力的计算中，定积分也有着重要的 应用。
05
《同济高数》ppt 课件
目录
• 引言 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 一元函数积分学 • 常微分方程 • 多变量函数微积分
01
引言
高数课程的重要性
高等数学是大学理工科专业的重要基础课程，为后续专业课程的学习提供数学基础 。
高数在科学研究、工程技术和实际生活中有着广泛的应用，是解决复杂问题的必备 工具。
总结词
理解多重积分的概念，掌握计算多重积分的 方法。
高数第七章齐次方程
A
y
d
x
O h
( C , 0)
2
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为 d2 d2 y2 z2 x 4h 16h
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作业
P309 1 (4), (6) ; 2 (2), (3) ;
3;
第四节
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结束
dx 1 分离变量得， 1- du x u
两端积分得，u ln u C ln x
ln xu u C
y y u代入上式得，ln y C x x
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结束
例2. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性 能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线， 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程. 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设
y
由光的反射定律: 入射角 = 反射角 可得 OMA = OAM =
M
T
y
A O P 从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y 2 2
x
OM x y
于是得微分方程 :
y x x2 y2 y
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例2. 解微分方程
dy y y 2 解: 方程变形为 dx x x 2u u2 则有 u xu
y , 令u , x
2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln 即 ln x ln C , u u
y
d
x
O h
( C , 0)
2
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为 d2 d2 y2 z2 x 4h 16h
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作业
P309 1 (4), (6) ; 2 (2), (3) ;
3;
第四节
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dx 1 分离变量得， 1- du x u
两端积分得，u ln u C ln x
ln xu u C
y y u代入上式得，ln y C x x
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例2. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性 能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线， 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程. 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设
y
由光的反射定律: 入射角 = 反射角 可得 OMA = OAM =
M
T
y
A O P 从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y 2 2
x
OM x y
于是得微分方程 :
y x x2 y2 y
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例2. 解微分方程
dy y y 2 解: 方程变形为 dx x x 2u u2 则有 u xu
y , 令u , x
2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln 即 ln x ln C , u u
高数微分方程PPT
应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。
《同济版高数》课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
多元函数的极限与连续性
总结词
理解多元函数的极限与连续性的 概念和性质，掌握判断多元函数 极限与连续性的方法。
多元函数的极限
理解极限的定义，掌握计算多元 函数极限的方法，如分别求极限 、累次极限等。
多元函数的连续性
理解连续性的概念，掌握判断多 元函数在某点或某区域的连续性 的方法。
极限的概念与性质
总结词
极限是高数的核心概念，理解极限的概念和性质是学习高数的关键。
详细描述
极限是指当自变量趋近某一值时，因变量的变化趋势。极限的性质包括唯一性 、局部有界性、局部保序性等。这些性质在高数的各个章节中都有重要的应用 。
极限的运算规则
总结词
掌握极限的运算规则是解决极限问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的解法
总结词
掌握一阶常微分方程的解法是解决这类问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的一般形式是dy/dx = f(x, y)，可以 通过分离变量法、积分因子法、公式法等求解。
高阶常微分方程的解法
总结词
理解高阶常微分方程的解法一般形式是y''(x) + p1(x)y'(x) + p2(x)y(x) = f(x)，可以通过降 阶法、变量代换法、积分因式分解法等求解
则更加注重应用和与其他学科的交叉融合，不断涌现出新的分支和领域。
高数与其他学科的联系
要点一
总结词
高数与其他学科有着密切的联系，如物理、工程、计算机 科学等。这些学科在高数的理论和方法的基础上不断发展 。
要点二
详细描述
高数与物理学的联系尤为紧密，许多物理问题的解决需要 高数的理论和方法。例如，在力学、电磁学、光学等领域 中，高数的微积分和向量分析被广泛应用。在工程领域中 ，高数的理论和方法也是解决实际问题的关键工具。计算 机科学在高数的基础上发展出了算法设计和数据结构等重 要领域。此外，经济学、统计学等领域也与高数有着密切 的联系。
同济大学高等数学高阶线性微分方程
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定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程
无关特解, 的通解为
是对应齐次方程的 n 个线性 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
Y (x) y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
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例3. 设线性无关函数
都是二阶非齐次线
性方程 y P(x) y Q(x) y f (x)的解, C1,C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
d 2uC d t2
2
d uC dt
02uC
0
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例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
齐次微分方程
(齐次方程)
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
y 2 2y v y 2 2 1 故有 ( v ) 1 v C C C2 C 2 得 y 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
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2
2
*2、可化为齐次方程的方程
2 ( c 2 c1 0)
a1 b1 1.当 时 , 作变换 x X h , y Y k ( h, k 为待 a b 定常数), 则 d x d X , d y d Y , 原方程化为
a h bk c a1h b1k c1
练习:
1.求方程 4 xdx 3 ydy 3x2 ydy的通解。
dy x 1 y2 2.求定解问题 dx y 1 x2 y (1) 1
例6. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
xm 两边积分得： ( xm x) x dx adt
即： ln x ln( xm x) at C1
xm 整理得：x(t ) at e 1 C
其中C eC1为任意常数
将初值条件x(t0 ) x0代入上式得： C 所以特解为： x(t ) xm xm a ( t t0 ) 1 ( 1)e x0 1 xm at0 ( 1)e x0
2
x
y 将 u 代入得到原方程的通解为 x y arcsin ln x C (C 为任意常数) x u 1时，即 y x 和 y x 均为原方程的奇解。
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
y 2 2y v y 2 2 1 故有 ( v ) 1 v C C C2 C 2 得 y 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
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2
2
*2、可化为齐次方程的方程
2 ( c 2 c1 0)
a1 b1 1.当 时 , 作变换 x X h , y Y k ( h, k 为待 a b 定常数), 则 d x d X , d y d Y , 原方程化为
a h bk c a1h b1k c1
练习:
1.求方程 4 xdx 3 ydy 3x2 ydy的通解。
dy x 1 y2 2.求定解问题 dx y 1 x2 y (1) 1
例6. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
xm 两边积分得： ( xm x) x dx adt
即： ln x ln( xm x) at C1
xm 整理得：x(t ) at e 1 C
其中C eC1为任意常数
将初值条件x(t0 ) x0代入上式得： C 所以特解为： x(t ) xm xm a ( t t0 ) 1 ( 1)e x0 1 xm at0 ( 1)e x0
2
x
y 将 u 代入得到原方程的通解为 x y arcsin ln x C (C 为任意常数) x u 1时，即 y x 和 y x 均为原方程的奇解。
齐次方程线性.ppt
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 , dx
z e 2xdx[ xex2e 2xdxdx C]
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C). 2
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.
第四节
第十二章
一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
dx dx 代入原式 du 1 1 ,
dx u 分离变量法得 u ln(u 1) x C,
将 u x y 代回, 所求通解为 y ln(x y 1) C, 或 x C1ey y 1
另解 方程变形为 dx x y. dy
第三节
齐次方程
第十二章
微分方程的初等解法: 初等积分法.
化为
求解微分方程
求积分
介绍若干能有初等解法的方程类型及其求解 的一般方法
第二节
第十二章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
dx
齐次微分方程
齐次微分方程是一类可化为可分离变(y/x)，其中f是已知的连续方程。求解该类方程的关键在于作变换u=y/x，即y=ux，从而将原方程转换为关于u与x的可分离变量的方程。通过代入原方程，我们得到可分离变量的方程u+xu'=f(u)，进而分离变量并积分即可求得结果。需要注意的是，在求解完成后，应将u=y/x代入，并进行必要的变形。齐次微分方程的特点在于其右端项是以变元的连续函数。求解步骤包括：作变换将齐次方程转化为分离变量的微分方程，求解该分离变量的微分方程，以及进行变量还原得到原方程的通解。此外，还需注意特定情况下方程的解。本文通过两个典型例题详细展示了齐次微分方程的求解过程，包括令y=ux进行变换、分离变量、积分以及最后的变量还原等步骤。