2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第一章 §1 归纳与类比

§1归纳与类比 [对应学生用书P2]

归 纳 推 理 问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电． 问题2：由问题1你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电． 问题3：若数列{an}的前四项为2,4,6,8，试写出an. 提示：an＝2n(n∈N＋)． 问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？ 提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．

归纳推理 定义 特征

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的

推理.

类 比 推 理

问题1：试写出三角形的两个性质． 提示：(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的面积等于高与底乘积的12. 问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13. 问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么． 提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．

定义 特征 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理.

类比推理是两类事物特征

之间的推理.

合情推理与演绎推理

1．合情推理的含义 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式． 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理． 2．演绎推理的含义 演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．

1．归纳推理的特点： (1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具； (2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠． 2．类比推理的特点： (1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象； (2)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠； (3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．

[对应学生用书P3] 数与式的归纳 [例1] 已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2；….

根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论． [思路点拨] 观察不等式左边最后一项的分母特点为2n

－1，不等式右边为n2，由此可得一般性结论．

[精解详析] 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n－1，而不等式右端依次分

别为：12，22，32，42，…，n2.

归纳得一般结论：1＋12＋13＋…＋12n－1>n2(n∈N＋)． [一点通] 根据给出的数与式，归纳一般结论的思路： (1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等； (2)提炼出数、式的变化规律； (3)运用归纳推理写出一般结论．

1．已知an＝13n，把数列{an}的各项排成如下的三角形： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 …… 记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝( )

A.1367 B.1368

C.13111 D.13112 解析：该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝13112. 答案：D 2．(陕西高考)已知f(x)＝ x1＋x，x≥0，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 则f2

014(x)的表达式为________． 解析：由f1(x)＝x1＋x⇒f2(x)＝fx1＋x＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，故可猜想f2 014(x)＝x1＋2 014x. 答案：x1＋2 014x 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an1＋2an(n＝1,2,3，…)． (1)求a2，a3，a4； (2)归纳猜想数列{an}的通项公式． 解：(1)当n＝1时，a1＝1，

由an＋1＝an1＋2an(n∈N＋)，得a2＝13，

a3＝a21＋2a2＝15，a4＝a31＋2a3＝17. (2)由a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17， 可归纳猜想an＝12n－1(n∈N＋). 图与形的归纳 [例2] 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求f(5)的值； (2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式； (3)求错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的值． [思路点拨] 先求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值，并归纳出n与f(n)的关系，然后即可解决问题(2)、(3)． [精解详析] (1)f(5)＝41.

(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …… 由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n＋1)＝f(n)＋4n， f(n)＝f(n－1)＋4(n－1) ＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2) ＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4 ＝2n2－2n＋1. (3)当n≥2时，错误!＝错误!＝错误!错误!， ∴错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!

＝1＋1211－12＋1212－13＋…＋121n－1－1n

＝1＋121－1n＝32－12n. [一点通] 解决此类问题可以从两个方面入手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系． (2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．

4．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )

解析：由图可知该五角星对角上亮的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A中所示的图形． 答案：A 5．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0132的格点的坐标为( ) A．(1 006,1 005) B．(1 007,1 006) C．(1 008,1 007) D．(1 009,1 008) 解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 007，1 006)处标2 0132. 答案：B 6．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝____________；当n>4时，f(n)＝______________.(用含n的数学表达式表示) 解析：画图可知，f(4)＝5，当n>4时， 可得递推式f(n)－f(n－1)＝n－1，由 f(n)－f(n－1)＝n－1， f(n－1)－f(n－2)＝n－2， … f(4)－f(3)＝3，叠加可得，

f(n)－f(3)＝12(n＋2)(n－3)，

又f(3)＝2，所以f(n)＝12(n＋2)(n－3)＋2， 化简整理得f(n)＝12(n－2)(n＋1)． 答案：5 12(n－2)(n＋1)． 几何图形的类比 [例3] 找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质． (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C＝πd(d是直径)； (4)圆的面积S＝πr2. [思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面类比体． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质： (1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合． (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形． 通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质. 圆 球

圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面 与圆心距离相等的两条弦长相等 与球心距离相等的两个截面的面积相等 圆的周长C＝πd 球的表面积S＝πd2

圆的面积S＝πr2 球的体积V＝43πr3

[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下： 平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积 面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形 平行六面体 圆 球

7．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( ) A．空间中平行于同一直线的两直线平行 B．空间中平行于同一平面的两直线平行 C．空间中平行于同一直线的两平面平行 D．空间中平行于同一平面的两平面平行 解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比． 答案：D

8．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高2，可推知扇形面积公式S扇等于( )