同角三角函数关系
数学课前导引：同角三角函数的基本关系
§8 同角三角函数的基本关系课前导引问题导入【问题】 角α终边经过点P （x,-2),(x≠0),cosα=63x 。
你能求出sinα,cosα，tanα的值吗?根据求出的结果你能得到什么结论？思路分析:∵r=22+x .又∵cosα=63x ，∴6322=+x x x ，两边平方得3x 2+6=36，∴x=±10。
当x=10时,sinα=66122-=-，cosα=630，tanα=551020102-=-=-.此时sin 2α+cos 2α=3630366+=1，tanα=ααcos sin . 当x=10-时，sinα=66-，cosα=6301210-=-，tanα=55，此时sin 2α+cos 2α=3630366+=1，tanα=ααcos sin 。
我们通过此题得到的结论:sin 2α+cosα2=1，tanα=ααcos sin 。
就是这节课要学习的同角三角函数基本关系. 知识预览 1。
公式(1)sin 2α+cos 2α=1 (2）ααcos sin =tanα2。
公式成立的条件 （1）对x∈R 均成立；(2)仅在α≠kπ+2π（k∈Z )时成立。
3.学习同角基本关系式时,首先要突出“同角"的含义.这里的“同角"应作广义的理解。
如:3π与3π,3α与3α，6β+7π与6β+7π都是同角。
4.注意公式变形及逆用如:sin 2α=1—cos 2α，cos 2α=1-sin 2α,1=sin 2α+cos 2α，sinα=tanα·cosα，cosα=ααtan sin 等等.。
5同角三角函数的基本关系式
sin cos
解题技巧 : 把角看成锐角,利用直角三角形中边的关系求解， 但最后结果还要根据角所在的象限确定符号。
例3.已知 tan 2，求下列各式的值:
(3)可以实现同角不同名三角函数之间的转化.
知其一, 可以求其它.
例1.已知sin 3 , 且是第三象限角,求 cos, tan的值 .
5 变题1 :已知sin 3 , 求 cos , tan的值 .
5
变题2 : 若sin m (| m | 1). 求 cos和tan的值.
例2. 已知tan 2, 求sin与cos的值 .
为sin和 cos， 且 (0,2 ).
(1)求m的 值 ； ( 2)求 方 程 的 两 根 及 此 时的 值.
3
练习: 2
3 ,1 22
或
63
1.已知sin cos 2,求下列各式的值：
(1)sin3 cos3 ；2 (2)sin4 cos4 ；1 (3)sin cos .
由三角函数的定义或三角函数线得： 同角三角函数的基本关系式：
三 角
①平方关系：sin2 cos2 1
恒
等 式
②商数关系：tan sin ( k , k Z )
cos
2
注意:(1)关系式是对于同角而言的.
(2“) sin2 ”读作“sin的平方”,不能将sin2 写成sin 2 .
(1) 4sin 2cos 3cos 3sin
2 3
2sin2 3cos 2 (2) 4sin2 9cos 2
5 7
(3) 1 sin2 2 cos2 sin cos 2
同角三角函数的基本关系
N
P
x
O
M
又知tanα=
y x
,所以
sin cos
tan
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能
不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于形式α，2 ，6α等等都可以.
如sin24α+cos24α=1.
3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的 限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ，k∈Z.
证明：左边 cos x cos x
(1 sin x) cos x
1 sin2 x
(1 sin x) cos x
1 sin x cos x
=右边 ∴原等式成立.
证明等式的常用方法：
1.从等式的一边证得它等于另一边； 2.先证明另外一个等式成立，从而推出需要 证明的等式成立；
3.利用作差(作商)的方法。
1.2.3同角三角函数的基本关系式
在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组 成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值， |OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，
根据勾股定理得sin2α+cos2α=1.
y
又根据三角函数的定
义有sinα= y,cosα= x
r
r
所以sin2α+cos2α=1.
sin cos tan
tan 2
sin2 1 sin2
cos sin tan
tan 2
1 cos2 cos2
例1 已知 sin 4 ，并且α是第二象限角，
5
求α的其他三角函数值．
分析：由平方关系可求cosα的值， 由已知条件和cosα的值可以求tanα的值， 进而用倒数关系求得cotα的值．
同角三角函数的基本关系
1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点 同角三角函数的基本关系式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × )提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1.2．sin 2θ2＋cos 2θ2＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × ) 提示 当α＝π2＋k π，k ∈Z 时就不成立． 4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )题型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 －125解析 ∵sin α＋cos α＝713， ∴(sin α＋cos α)2＝49169， 即2sin αcos α＝－120169<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125. 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 反思感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．跟踪训练2 已知cos α＝－45，求sin α和tan α. 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝925， 因为cos α＝－45<0， 所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35， tan α＝sin αcos α＝－34； 当α是第三象限角时，sin α＝－35， tan α＝sin αcos α＝34. 题型二 齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求值解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式．跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值． (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求三角函数值解 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. 三角函数式的化简与证明典例 (1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α ＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．[素养评析] (1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．(3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值为( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 A解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45， ∴cos α＝－35，tan α＝－43. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35 B ．－15 C.15 D.35考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式化简、求三角函数值答案 A解析 sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 3．(2018·江西上高第二中学高二期末)若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简答案 B解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3. 4．已知tan x ＝－12，则sin 2x ＋3sin x cos x －1的值为( ) A.13B ．2C ．－2或2D ．－2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D5．已知：tan αtan α－1＝－1，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ . 答案 －53解析 由已知得：tan α＝12， ∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数名的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．一、选择题1．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于( ) A ．－55 B ．－15C ．－255D ．－45考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.2．下列四个结论中可能成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α考点 同角三角函数基本关系题点 运用基本关系式求值答案 B3．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A ．－223 B ．－23 C.23 D.223考点 运用基本关系式求值题点 运用基本关系式求值答案 D解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223.4．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α等于() A.45 B.35 C.25 D.15考点 同角三角函数基本关系题点 运用基本关系式求值答案 B解析 由4x 2＋x －3＝0得x ＝－1或x ＝34.又∵α是锐角，∴tan α>0，sin α>0， ∴tan α＝34.又∵tan α＝sin αcos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫43sin α2＝1，解得sin α＝35.5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为() A.23 B ．－23 C.13 D ．－13考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 A解析 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，∴sin 2θcos 2θ＝29，∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ＝23.6．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－310考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 C解析 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 7．若α为第二象限角，化简tan α·1sin 2α－1等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D.12考点 运用基本关系式化简题点 运用基本关系式化简答案 C解析 tan α·1sin 2α－1＝tan α·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α|. 因为α为第二象限的角，所以cos α<0，sin α>0，原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 二、填空题8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝ . 考点 运用基本关系式化简、求值 题点 运用基本关系式化简、求值答案 －13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 9．已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝ . 考点 运用基本关系式化简题点 运用基本关系式化简答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|. 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式＝0.10．(2018·九江高一检测)若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为 ． 考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 2 11．在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝ .考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 π3解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 三、解答题12．化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α2－2sin α2cos α2＋cos 2α2＋sin 2α2＋2sin α2cos α2＋cos 2α2 ＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α2－sin α2>0，cos α2＋sin α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2. 13．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简证明 因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1， 所以1cos 2α＝2cos 2β，即cos 2β＝2cos 2α， 所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.14．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈N *)的值为 ． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 1解析 ∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.15．已知sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求m 及α的值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 因为sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根， 所以Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0且sin α＋cos α＝m ，sin αcos α＝2m －14. 代入(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，解得m ＝1±32. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以sin α·cos α＝2m －14<0，m <12， 所以sin α＋cos α＝m ＝1－32， 所以sin α＝－32，cos α＝12. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以α＝－π3. 所以m ＝1－32，α＝－π3.。
同角三角函数的基本关系
复习引入
y 你能根据圆的几何性质，讨论一下 你能根据圆的几何性质， x
ห้องสมุดไป่ตู้
同一个角的不同三角函数关系。 同一个角的不同三角函数关系。
y ？ sinα=MP x Cosα=OM Tan α =AT
y
α
T α的终边
P(x , y)
A(1,0)
M
O
x
复习引入
想一想
你能根据三角函数的定义推导 出同一个角α的三个三角函数之间 有一些什么关系? 有一些什么关系
讲授新课
同角三角函数基本关系式: 同角三角函数基本关系式 (1) 平方关系： 平方关系：
sin α + cos α =1
2 2
讲授新课
同角三角函数基本关系式: 同角三角函数基本关系式 (2) 商数关系： 商数关系：
sinα tanα = cosα
注意
注意“同角” 至于角的形式无关重要， ⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要， 如sin24α＋cos24α＝1等. 等 ⑵注意这些关系式都是对于使它们有意义 的角而言的. 的角而言的 对这些关系式不仅要牢固掌握， ⑶ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要 能灵活运用（正用、反用、变形用）， 能灵活运用（正用、反用、变形用），
方法小结: 方法小结: (3) 比较法 比较法:
左边 即 明: 左 −右 = 0 或 证 边 边 =1. 右边
将原等式转化为与其等价的式子加以 证明． 证明．
(4) 变式证明法： 变式证明法：
(5) 分析法． 分析法．
练习
小 结：
1. 整体代换 整体代换; 2. “1”的活用 的活用; 的活用 3. 正切化弦 正切化弦.
同角三角函数基本关系
二.新课讲解Biblioteka 1.同角三角函数的基本关系:
(1)平方关系：sin2 cos2 1
(2)商数关系：tan sin ，( k , k Z )
cos
2
文字叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角的正切.
二.新课讲解 思考1：你认为平方关系sin2 cos2 1可作哪些变形？
一.复习引入
问题1：设是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x, y),则角的三角函数是怎样定义的？
(1)sin y；(2) cos x；(3) tan y (x 0)
x 问题2：通过观察三角函数的定义, 你认为同一个角的
正弦sin与余弦cos有什么样的关系？
问题3：你认为同一个角的正弦sin、余弦cos和 正切tan 又有什么样的关系？
题型三：sin cos型求值问题
例3.已知sin cos 1 , (0, ),求：
5
(1) sin cos (2) sin cos
小结：sin cos, sin cos, sin cos三个式子中,
已知其中一个,可以求其它两个,即“知一求二”.
变式：在ABC中,角A满足sin A cos A 1 , 2
3
变式2：已知tan 3 ,求sin , cos的值.
4
三.例题讲解
题型二：弦化切
例2.已知 tan 2,求下面各式的值.
(1) sin cos sin cos
(2)
sin cos sin2 cos2
(3) sin cos
变式：已知sin cos 2,求 tan的值.
三.例题讲解
求sin A cos A和sin A cos A的值.
四.课堂总结
同角三角函数的基本关系
思考2
由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案
∵tan
α＝yx，∴tan
α＝csoins
α α.
答案
梳理
(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1 .
②商数关系：
tan
α＝csoins
α α
(α≠kπ＋π2，k∈Z) .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
√C.－392
9 D.32
解析 由题得(sin α－cos α)2＝1265， 即 sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝2156， 又 sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2156，
∴sin αcos α＝－392.故选 C.
12345
解析 答案
5.已知 sin α＝15，求 cos α，tan α. 解 ∵sin α＝15>0，∴α 是第一或第二象限角. 当 α 为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α
函数值
5 例1 若sin α＝－13，且α为第四象限角，则tan α的值为
12 A. 5
B.－152
5 C.12
D.－152
解析 ∵sin α＝－153，且 α 为第四象限角，∴cos α＝1123， ∴tan α＝csoins αα＝－152，故选 D.
解析 答案
反思与感悟
同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用 途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个 可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
同角三角函数的基本关系
例数题值3：
已知c o s
3 5
，求 角的其他三角函数值。
（142页B组3题）
由 sin2cos21， 得sin1cos2
即sin1（3） 2= 19= 16=4
5
25 25 5
因 为 cos30,所 以 可 能 是 第 一 或 四 象 限 的 角
5
当 是 第 一 象 限 角 时 ： sin=4,cos3,tan4， cot=3,sec5,csc5
基本变形
，且 是第二象限的角，求角的余弦和正切值。
由sin2cos21，得cos 1sin2 因为是第二象限的角，所以cos0
所 以 c o s 1 (4 )2 1 1 6 9 3
5
2 5 2 5 5
tansin
4 5
cos 53
4141页A组习题1：（1）（2） 3
141页A组习题1：
(1)由 siin2cos2
cos2
cos2
csoins22(1cos2)
tan2sin2
tan2sin2右边
即： tan2sin2=tan2sin2成立
（ 3） 作 差 法 ：142页A组习题3
因为
1
cos x sin
x
1
sin cos x
x
=
cos2
x (1 sin x)(1 （1 sin x）cos
新课：
1、平方s关 in2系 c o2s1 1ta2ns e2c 1c o2t c s2c
2、商数关系 tan sin c os
c 三角恒等式 ot c os sin
3、倒数关t系 ancot 1 sincsc 1 cossec 1
sin2cos21
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同角三角函数关系
倒数关系：
； ；
商的关系：
；
平方关系：
； ；
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角－α与α的三角函数值之间的关系：
公式四：π－α与α的三角函数值之间的关系：
公式五：2π－α与α的三角函数值之间的关系：
公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。[3]
和差角公式
和差化积
积化和差
倍角公式
二倍角
半角公式
（正负由所在的象限决定）
万能公式
正弦定理
正弦定理(1)：在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
其中，R为△ABC的外接圆的半径。
正弦定理（2）：在△ABC中，S=½a*b*sinC=½b*c*sinA=½a*c*sinB
其中，S为△ABC的面积。
余弦定理
余弦定理：在△ABC中，
a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos B
c^2=b^2+a^2-2ab·cos C