122同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。
同角三角函数的基本关系式
sin cos 原式 = sin 1
cos
= (sin cos ) cos sin cos
= cos
化简
(2)
2 1
cos2 1 2 sin 2
1换为sin2 cos2
解：2cos2 1 1 2sin2
2cos2 (sin2 cos2 ) (sin2 cos2 ) 2sin2
交流总结证明一个三角恒 等式的方法,注意选择最优解
例6 求证：sin4 cos4 sin2 cos2 恒等式证明常用方法?
分析：由左往右证
证明：左边 sin4 cos4
(sin 2 cos2 )(sin 2 cos2 )
sin 2 cos2 1
sin2 cos2 右边
5
解：tan sin 12 ..............................................(1) cos 5
sin2 cos2 1.............................(2)
由(1)得 : sin 12 cos..............................(3)
1.2.3
复习：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x2 y2 0
y
y
sin
﹒Px, y
r x
r
cos r
o
﹒ Mx
tan
y x
探讨新知
同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系:
tan sin cos
( k , k Z )
2、已知sin 3 ,是第四象限角，则tan的值为C
(完整word版)同角三角函数的基本关系-知识点与题型归纳汇总(良心出品必属精品)
1●高考明方向1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝tanα. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．★备考知考情同角关系式和诱导公式中的π±α，π2±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、2 和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.一、知识梳理《名师一号》P47知识点一 同角三角函数的基本关系平方关系：;1cos sin 22=+αα商数关系：sin tan cos =ααα注意：《名师一号》P50 问题探究 问题1在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？利用同角三角函数基本关系式化简求值时， 涉及两个同角基本关系sin 2α＋cos 2α＝1和tanα＝sinαcosα，它们揭示同一角α的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌握．尤其是利用sin2α＋cos2α＝1及变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要注意符号判断．知识点二诱导公式记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限!注意：《名师一号》P50 问题探究问题2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有34 关？无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一、三、四，二、一、二象限角．二、例题分析：（一) 求值例1．(1)《名师一号》P50 对点自测 4 （09全国卷Ⅰ文）o 585sin 的值为(A) 2-(B)2(C)2-2答案：A例1．(补充)（2）17cos 3⎛⎫-π ⎪⎝⎭的值为5 答案：12例1．(补充)（3）()tan 1665︒-的值为答案：1-注意：(补充)求任意角的三角函数值：负化正→正化主[)0,2π→主化锐例1.(4)《名师一号》P51 高频考点 例2(1)(2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－126解:(1)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.练习:(补充)（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<7【答案】Csin168sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80︒︒︒︒︒︒︒︒=-==-=由于正弦函数sin y x =在区间[0,90]︒︒上为递增函数，因此sin11sin12sin80︒︒︒<<，即sin11sin168cos10︒︒︒<<。
同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系倒数关系：tanα²cotα=1 sinα²cscα=1cosα²secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α*cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA²cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2 (a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα²sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα²cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a ²tan(π/3+a)²tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1) cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa (cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 现列出公式如下: sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan²( α)) cos2α=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
同角三角函数的基本关系(公开课)
具体形式
sin(x) = cos(x - π/2)， cos(x) = sin(x + π/2)， tan(x) = sec(x) - 1， cot(x) = csc(x) - 1等。
意义
同角三角函数是三角函数 的基本关系之一，是解
同角三角函数具有周期性， 其周期为2π。
同角三角函数的和差公式
定义
总结词
同角三角函数的和差公式是三角函数 中重要的基本公式之一，用于描述两 个同角三角函数值之间的关系。
详细描述
同角三角函数的和差公式表示为 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny和 cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，其中x 和y为角度，sin和cos为正弦和余弦函 数。
具体形式
sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]、
cos(x/2) = ±√[(1+cosx)/2]、
tan(x/2)
=
±√[(1-
cosx)/(1+cosx)]。
性质
奇偶性
半角公式具有奇偶性，即当角度加上或减去180度时，其对应的半 角函数值会变成相反数。
周期性
半角函数具有周期性，其周期为180度，即当角度增加或减少360 度时，其对应的半角函数值不变。
物理应用
在物理中，同角三角函 数的基本关系可以用来 描述一些物理现象，例 如振动、波动等。
THANKS
感谢观看
y = cos(ax + b)，其中 a、b为常数。
y = tan(ax + b)，其中 a、b为常数。
y = cot(ax + b)，其中a、 b为常数。
02
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
第一章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系
2sin α（1＋sin α） 1＋sin α
＝
＝右边．
2sin αcos α
cos α
∴原式成立． 法二：左边—右边＝
所以，左边＝右边，原式成立．
[巧妙解法] 由 cos2α＝1－sin2α得 －cos2α＝(sin α＋1)(sin α－1),
sin α＋1 －cos α
2．三角函数式化简技巧： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数， 从而减少函数名称，达到化繁为简的目的； (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全 平方式，然后去根号达到化简的目的．
[变式训练]
化简： sin
sin2x x－cos
x－sitnanx2＋x－cos1
x .
解：原式＝ sin
所以 sin α－cos α>0，
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝197，
所以 sin
α－cos
α＝
17 3.
归纳升华
三角函数求值的常用方法
1．若已知 tan α＝m，求其他三角函数值，其方法
tan α＝m， 是解方程组
求出 sin α和 cos α的
sin2α＋cos2α＝1，
[变式训练] 已知 tan α ＝43且角 α 在第三象限，求
sin α ，cos α 的值.
解：由
tan
α
＝csions
α α
＝43，
得 sin α ＝43cos α .
又 sin2α ＋cos2α ＝1，
所以196cos2α＋cos2α ＝1.即 cos2α ＝295.
又角 α 在第三象限， 所以 cos α ＝－35， 所以 sin α ＝43cos α ＝－45.
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§1.2.2 同角三角函数的基本关系（1）
学习目标
1. 掌握同角三角函数的三个基本关系式；
2. 掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值.
3. 能够利用三角函数的基本关系式化简三角函数式，并证明有关的三角恒等式
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 21~ P 22，找出疑惑之处）
复习1：任意角的三个三角函数是怎样定义的？
复习2：初中研究锐角的三个三角函数，它们有怎样的关系式？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：同角三角函数的基本关系
问题：从三个三角函数的定义，你能发现哪些三角函数有平方关系？哪些三角函数与其他三角函数有商数关系？
新知：平方关系22sin cos 1αα+=；
商数关系sin tan cos α
αα
=.
试试：利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系.
反思：
① 上述两个关系式，在一些什么情况下成立？
② “sin 2α＋cos 2β＝1”对吗？
③ 同角三角函数关系式可以解决哪些问题？
※ 典型例题
例1已知cos α＝－3
5
，并且它是第三象限的角，求sin α，tan α的值.
练1. （1）已知sin α＝
5
13
，求cos α，tan α的值. （2）已知tan α=3，求sin α，cos α．
小结：① 定义法；基本关系式法. 如果是填空、选择，还可以走捷径求解. ② 注意符号（象限确定）及同角三基本式的运用（分析联系）；知一求二.
例2 化简21
tan 1sin αα
-，且α在第二象限.
练2. 化简：
（1）21cos 1100-︒； （2）12sin 40cos 40-o o . （3）已知α是第二象限角，化简： 1sin 1sin 1sin 1sin αα
αα+--
-+.
例3、三角恒等式的证明
问题：用多种方法证明1sin cos x x +＝cos 1sin x
x
-
新知：证明三角恒等式的方法. （1）直接证明左边等于右边
师生补记
（2）由其它等式而转化，例如先证交叉乘积相等； （3）或证和（差），或证商，即比较法； 练3. 求证：sin 2x tan 2x =tan 2x －sin 2x .
三、总结提升
※ 学习小结 1. 给值求值：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.
2. 化简的要求（化简后的式子，三角函数的种类最少；分母不含根式；项数最少；能求出值的求出值） ※ 知识拓展
“同角”是指表达形式相同的角，而不是终边相同的角. 22sin cos 1
αα+=对一切实数α成立；sin tan cos ααα=在()2
k k Z π
απ≠+∈时成立. 以上两式属
三角恒等式，注意各自成立的条件. 它们是三角函数中求值、化简、证明时要用到的基本公式，要注重灵活选用和公式变形使用.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 化简21sin 40-o 为（ ）. A. cos40︒ B. sin40︒ C. cos40-︒ D sin40-︒
2. 若4
cos 5
α=-，且α在第三象限，则tan α=（ ）.
A. 34
B. 34-
C. 43
D. 4
3
-
3. 若tan α=3，且3
22παπ<<，则sin α=（ ）.
2
22cos 1
4=
12sin αα
--、化简 5. 求证4422sin -cos sin cos αααα=-
课后作业
1. 已知12 sin α+5 cos α=0，求sin α、cos α的值.
2.已知1
sin cos (0)5
αααπ+=<<，求tan α.
3. 已知tan α为非零实数，用tan α表示sin α，cos α．
4. 已知tan α=2，求下列各式的值：
（1）cos sin sin cos αααα
+-；
（2）223sin 4sin cos cos αααα-+.。