异面直线的判定练习题及答案

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异面直线成角的练习题[1]

第1页，总2页异面直线练习题一、选择题：1.已知,a b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形的各边中点，所成的四边形是 A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形3．正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，异面直线AA ′与BC 所成的角是（） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 90° 4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与B 1C 所成的角是（） A ． 30° B ． 45° C 60° D ． 90° 5空间四边形ABCD 中，,M N 分别是AB 和CD 的中点，6,32AD BC MN ===, 则AD 和BC 所成的角是 A.︒120B.︒90C.︒60D.︒306．（2003•北京）如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE 、DE 的中点．将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 0°7．（2007•福建）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、BC 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（）A ． 45°B ． 60°C ． 90°D ． 120° 8．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（）A ．B ．C ．D ．9．如图，正方体AC 1中，E 、F 分别是DD 1、BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成的角余弦值是（）．第2页，总2页A ．B ．C ．D ．10．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线A 1D 与直线B 1M 所成角大小为（）A ． 300B ． 450C ． 600D ． 900二、填空题：11.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为A ．2πB ．52π C ．4π D ．5π12一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm )如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm 2.13在空间四边形ABCD ,,M N 分别是,AB CD 的中点,6, 33AD BC MN ===,则AD 与BC 所成的角的大小是___________.三、解答题：14.如图，正三棱柱111ABC A B C -的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，,M N 分别是BC 和11AC 的中点求MN 与1CC 所成角的余弦值.BM ACNC 1A 1B 1俯视图正(主)视图 855 8侧(左)视图855。

异面直线所成的角测试题(含答案).docx

一、单选题（共10道，每道10分）1.如图，E, F分别是三棱锥P-ABC的棱AP, BC的中点，PC=& AB=6, EF=5,则异面直线AB 与PC 所成的角是（）A.30°B.60°C.90°D.120°答案：C解题思路：如图，取刖中点G,连接GE GF,•・・E, F分别是丸匕EC的中点，PC=& AB=6, GEII AB, GFII PC, GE=3, GF=4,异面直线•仞与PC所成的角即为/EGF,在ZkEFG 中，满足GE2^GF2 =EF2,/- AEFG是直角三角形，且Z£GF=90。

，即异面直线肋与PC所成的角是90。

・故选C.2.如图，在长方体曲仞一40&。

1中，羽= 2"="°, G是cq的中点，则直线4G与EG所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.120°答案:C解题思路：如图,取44］的中点E,连接EG, BE,易证，EG,・・・直线4G与PG所成的角可转化为EG与BG所成的角，即ZBGE,T AA X— 2AB = 2AD , G是CQ 的中点，/. /\BGE是等边三角形，••厶GE=6g即直线赵C芍BG所成的角是60。

・故选C.试题难度：三颗星知识点：界面直线及其所成的角3.如图，在正方体曲CD-40iCi£）i屮，点p在线段上运动，则异面直线CP与牌所成的角&的取值范围是（）A.O。

<^<90°B 0° GW 90°C.0。

W0W 60°D 0°60°答案:D解题思路：如图，连接川C, CD1,则码II CD,,异面直线CP与码所成的角即为CP与C®所成的角, 即e=ZPCD\,•・• △zpc是等边三角形，・•・当点P和点加重合时,扫60。

异面直线的习题

2018年5月22日数学试卷一、选择题（共11小题；共55分）1. 下列四个结论中，正确的个数为①平行于同一平面的两条直线平行；②平面外的直线平行于平面内的一条直线，那么直线；③若两平行直线中的一条与平面有公共点，那么另一条也与平面有公共点；④直线与平面内的无数条直线相交，那么．A. B. C. D.2. 设、、、是空间中四个不同的点，则下列命题中不正确的是A. 若与共面，则与共面B. 若与是异面直线，则与是异面直线C. 若，，则D. 若，，则3. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线A. 不存在B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有无数条4. 设表示一个点，，表示两条直线，，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是①②③④A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④5. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有A. 个B. 个C. 个D. 个6. 已知，是异面直线，，，，则直线与，A. 都相交B. 都不相交C. 至少有一条相交D. 至多有一条相交7. 已知，是异面直线，直线平行于直线，那么与A. 一定是异面直线B. 一定是相交直线C. 不可能是平行直线D. 不可能是相交直线8. 若点是两条异面直线外的任意一点，则A. 过点有且仅有一条直线与，都平行B. 过点有且仅有一条直线与，都垂直C. 过点有且仅有一条直线与，都相交D. 过点有且仅有一条直线与，都异面9. 如图，在正方体的面对角线中，与成角的异面直线有A. 条B. 条C. 条D. 条11. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是A. B.二、填空题（共4小题；共20分）12. 下列推理错误的是．（填序号）①；②；③；④．13. 是两异面直线，外一点，过可作个平面同时与，平行．14. 下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则平行于内所有的直线；④若，，，则．其中正确命题的序号是．15. 如图，空间四边形的两条对棱，的长分别为和，则平行于两条对棱的截面四边形在平移过程中，周长的取值范围是．三、解答题（共2小题；共26分）16. 已知，，，，，分别为正方体的棱，，，，，的中点．（1）求证：四边形为等腰梯形；（2）求证：和是异面直线；（3）求异面直线和所成的角的度数．17. 如图，在正方体中，点在上，点在上，且．求证：．。

异面直线所成的角专项练习

异面直线所成的角专项练习异面直线是不在同一个平面上的两条直线。

它们所成的角度可以用三角函数来计算。

以下是关于异面直线所成角的专项训练。

1.异面直线的定义与取值范围异面直线是不在同一个平面上的两条直线。

它们所成的角度的取值范围是0到90度之间。

2.求两条异面直线所成角的步骤：1) 找到两条异面直线的公共点。

2) 找到两条直线在平面上的投影线，计算它们的夹角。

3) 用三角函数计算两条异面直线所成的角度。

类型一、以正方体和长方体为载体的异面直线所成的角1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为多少？解析：首先，找到两条异面直线的公共点，即点D。

然后，找到它们在平面上的投影线，即线段BC和线段A1D。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=1/√3，因此θ=30度。

答案为A。

2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C的中点，则直线EF与GH所成的角是多少？解析：同样地，找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段EF和线段GH。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=√2/2，因此θ=45度。

答案为B。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点C1.找到它们在平面上的投影线，即线段DC1和线段BE。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=-1/√10，因此θ=104.48度。

答案为B。

4.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段A1B和线段AD1.计算它们的夹角，可以得到cosθ=4/√73，因此θ=67.22度。

答案为D。

5.点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是多少？解析：根据题目描述，点P在正方形ABCD所在平面外，因此可以找到两条异面直线，即线段PB和线段AC。

异面直线所成角练习

. ....... .1．如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．90 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．故选：D ．考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（） A ．63．147 C ．155 D ．105【答案】B 【解析】试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-，112,7AC A D ∴==， 11111114cos ,AC A D AC A D AC A D⋅<>==。

考点：空间向量的集合运算及数量积运算。

3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（）A ．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60°考点：异面直线所成角4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（） A．510- D．【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1DC F ∠为异面直线所成角，设边长为2，11C F DC DF ∴===1cos DC F ∴∠=考点：异面直线所成角5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（）A 、910B 、45C 、710D 、35【答案】A 【解析】试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB =,在''A BC ∆中''''AC AB BC ===''9cos 10A BC ∴∠=考点：异面直线所成角6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是. ....... . A ．︒60 B ．︒90 C ．︒45 D ．︒30 【答案】A 【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，．所以PB 与AC 所成的角就是FEA ∠，由题意可知：2===AF AE EF ，所以 60=∠FEA ．考点：异面直线的位置关系．7．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A 1与→1DC 所成角的余弦值为（）A.62-B.62C. 1010-D.1010【答案】A 【解析】试题分析：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由棱长为1，则111(0,0,0),(1,0,1),(0,,0),(0,1,1)2D A M C ,所以111(1,,1),2A MDC (0,1,1),故11cos ,A M DC 10122322，故选A. 考点：空间向量所成角的余弦值.8．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为A ．23 B ．33 C ．22 D ．21 【答案】D 【解析】试题分析：联结AC 、1B C 则1B AC ∠ 即为所成的角。

11.3.1 平行直线与异面直线练习(2)(原卷版)

11.3.1平行直线与异面直线

一、选择题1．在三棱锥SABC中，与SA是异面直线的是()A．SBB．SCC．BCD．AB2．已知∠BAC＝40°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝()A．40°B．140°C．40°或140°D．大小无法确定3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．全等或相似4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1

的中点，则下列结

论正确的是()A．直线GH和MN平行，GH和EF相交B．直线GH和MN平行，MN和EF相交C．直线GH和MN相交，MN和EF异面D．直线GH和EF异面，MN和EF异面5．（多选题）2．a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（）

A．若//ab，//bc，则//ac

B．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交

C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面

D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面

6．（多选题）．下列说法中正确的是()A．某平面内的一条直线和这个平面外的直线是异面直线B．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线必平行C．若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直D．某平面内一定存在一条直线和这个平面外的直线相互垂直二、填空题7．在长方体1111

ABCDABCD中，

直线1

AB与直线1BC的位置关系是_______________；

8．如图，在三棱柱111ABCABC中，,EF分别是,ABAC上的点，且::AEEBAFFC，则EF与11

的位置关系是______.

9．如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．

异面直线所成角习题集答案精编版

一．选择题1.没有公共点的两条直线的位置关系是( )(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交3.两条异面直线指的是( )(A)(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C) (D)不同在4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( )(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB和CC1；(2)A1C和BD1；(3)A1A和CB1；(4)A1C1和CB1；(5)A1B1和DC；(6)BD1和DC.答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面；6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()32 ((()()55A B C D答案：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；7.如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )105(()20A B答案：(A)，延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N．8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)010.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线(A)不一定存在(B)总共只有一条B1(第6题)A1A BC1D1CD(第7题)F1ABCD1C1A1B1B1(第6题)A1A BC1D1CDMN(C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条 11.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°答案：8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；三．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值四.如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值五.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M 、N 分别是BC 和A 1C 1MN 与CC 1所成角的余弦值。

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异面直线的判定练习题及答案(总
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异面直线的判定
1.已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的
三等分点（如图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG
必交于一点，且交点在AC上．

是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异
面直线；

3.已知：平面α∩平面β=a，b?α，b∩a=A，c?β且c∥a，求证：b、c是异面直线．
4.已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD
与BC是异面直线．

5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．
小结：常用方法是反证法
（
1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在

平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．
：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线．
（2）∵E、H分别是AB、AD的中点所以EH平行且等于1/2BD, 又F、G分别是BC、DC的三等分点，
EG平行等于2/3BD，．∴EH∥FG，且EH＜FG．∴FE与GH相交
设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．同理，O在平面ABC内．从而O在平面ADC与平面ABC的交线
AC上．
2.（1）假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，得到A、B、C、D在同一平面内，矛盾．
3.（1）证明：用反证法．设EF与BD不是异面直线，
4.则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，
5.所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．
6.故直线EF与BD是异面直线．
7.3.证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交，证明b∥c或b与c相交都是
不可能的，从而证明b、c是异面直线证明：用反证法：
8.若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交
9.（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b这与a∩b=A矛盾；
10.（2）若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b=A，
11.∴A∈β∴AB?β，即b?β这与b∩β=A矛盾
12.∴b，c是异面直线．
4.证明：法一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，
5.那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，
6.假设不成立，∴AD和BC是异面直线．
7.法二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，
8.设为α，由已知C?平面α，B∈平面α，AD?平面α，B?AD，∴AD和BC是异面直线．
9.证明：用反证法，
10.假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．
11.设直线CD1与BC1共面α．
12.∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α ∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，∴C，B，C1∈平面BB1C1C．
13.∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．
14.因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线