2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1第1课时归纳推理课后

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后篇巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(n∈N*)B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*)C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(n∈N*)D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2(n∈N*),各等式的左边是2n-1(n∈N*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.2.已知不等式1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+122+132+142+152+162<()A.95B.115C.116D.136,第n(n∈N*)个不等式的左边=1+122+132+…+1(n+1)2,右边=2(n+1)-1n+1,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162<116.3.如图是元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所形成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是(),该五角星对角上的两盏灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,则下一个呈现出来的图形是A中的图形.故选A.4.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2n n2+n n(n∈N*),则可归纳猜想{a n}的通项公式为()A .a n =2nB .a n =2n +1 C .a n =1nD .a n =1n +1a 1=1,a 2=2n 12+n 1=23,a 3=2n 22+n 2=432+23=24,a 4=2n 32+n 3=2×122+12=25,……由此可猜想a n =2n +1(n ∈N *).5.设f (x )=1+n1-n ,记f 1(x )=f (x ),若f n+1(x )=f (f n (x )),则f 2 016(2 016)等于( ) A .2 016 B .-12016 C .-10091008D .10081009f 1(x )=1+n1-n ,f 2(x )=-1n ,f 3(x )=n -1n +1,f 4(x )=x ,f 5(x )=1+n1-n ,f 6(x )=-1n,f 7(x )=n -1n +1,f 8(x )=x ,……可得f n (x )是以4为周期的函数,因此f 2016(x )=f 504×4(x )=f 4(x )=x ,故f 2016(2016)=2016.6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,……如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( ) A .6(66-1)6-1只 B .66只 C .63只D .62只,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只),第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只),……故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B .7.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律,依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为( )A.81B.121C.364D.1 093,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形中小三角形个数的3倍加1,设第n 个黑色三角形内去掉小三角形的个数为a n ,则n=1时,a 1=1;n=2时,a 2=3×1+1=4;n=3时,a 3=3×4+1=13;n=4时,a 4=3×13+1=40;n=5时,a 5=3×40+1=121;n=6时,a 6=3×121+1=364.故选C .8.给出若干个数:√2+23,√3+38,√4+415,√5+524,……由此可猜测第n (n ∈N *)个数为 .,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n 个数为√n +1+n +1(n +1)2-1.n +1+n +1(n +1)2-19.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°; ②sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; ③sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°; ④sin 2(-18)°+cos 248°-sin(-18)°cos 48°; ⑤sin 2(-25)°+cos 255°-sin(-25)°cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.选择②式计算如下:sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=34.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证法一:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α(cos30°·cos α+sin30°sin α) =sin 2α+34cos 2α+√32sin αcos α+14sin 2α-√32sin αcos α-12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α=34.故上式成立.证法二:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos2n2+1+cos(60°-2n )2-sin α(√32cos n +12sin n )=1+12[12cos2n +√32sin2n -cos2n ]−√34sin2α-14(1-cos2α) =1-14cos2α-14+14cos2α=1-14=34.故上式成立. 10.已知下列等式成立:122-1=13,122-1+142-1=25,122-1+142-1+162-1=37,122-1+142-1+162-1+182-1=49,……试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.:第1个等式左边有1项,右边为12×1+1;第2个等式左边有2项,右边为22×2+1;第3个等式左边有3项,右边为32×3+1;第4个等式左边有4项,右边为42×4+1,由此可以归纳得出一般性的结论为122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=n2n +1(n ∈N *).以下用数列的方法证明该等式成立:122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n +1) =1211−13+13−15+15−17+…+12n -1−12n +1=12(11-12n +1)=n2n +1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。