含参导数问题常见的分类讨论

含参导数问题常见的分类讨论

学生

1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:

例1.（１1全国Ⅱ文２１)已知函数f(ｘ)=x 3+3ax 2+(３-6ａ)x+１２a-4 (a ∈R ）. （１)证明:曲线y=f(x)在ｘ＝０处的切线过点(2,2):

(2)若f （x)在x=x ０处取得极小值,ｘ0∈(1,３),求ａ的取值范围.

２．求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论:

例２.（０9辽理)已知函数f(x ）＝0.５x ２-a ｘ+(a-1)ｌnx,a>1.(１)讨论函数f(x ）的单调性；

(2)证明：若5a <，则对任意x 1,x 2∈(0,)+∞,ｘ1≠ｘ2,有1212

()()1f x f x x x ->--。 解:(1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x

--+----'=-+==-------－-－--－-2分

(i)若11a -=，即a=2,则2

(1)()x f x x

-'=,故()f x 在(0,)+∞上单调增加。 (ｉi)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<;

当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。

故()f x 在(1,1)a -上单调减少,在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。

(ii ｉ）若11a ->,即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 --－--－－-－-----－--6分

（2)考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=

-+-+，

则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-, 由于15a <<,故()0g x '>,即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时,

有12()()0g x g x ->,即1212()()0f x f x x x -+->，故1212

()()1f x f x x x ->--;

当120x x <<时，有12211221

()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。-－－－－--－--－-----1２分

3.求导后,对于导数大于或小于零的不等式,两边同除一个代数式,需考虑代数式的正负,从而引发讨论:

例3.(1０辽文21)已知函数f(ｘ)=(ａ+1）l ｎx +ax ２+１．

(１)讨论函数f(x)的单调性;

(2)设a ≤-2,证明:对任意x 1,x ２∈(０,+∞)，｜f （x １)-ｆ（x 2)｜≥４|ｘ1-x 2｜

4． 求导后,导函数等于零有实根,需要判断实根是否在定义域内，从而引发讨论： 例４．(1０天津文2０)已知函数ｆ(ｘ)=ａx 3－3

2ｘ２+1 (x ∈R),其中a>0.

(1)若ａ=1,求曲线y=f(x)在点(2,f （2)）处的切线方程:

（2)若在区间11[,]22-上f(x)＞0，恒成立,求a 的取值范围．