教学设计 三个正数的算术-几何平均不等式

三个正数的算术-几何平均不等式

教学目标：

知识与技能：1、掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能

够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数

的最值；

过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,

并推广到三个，n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。

情感态度与价值观：通过学习让学生体会类比学习，培养学生

的知识迁移能力；

教学重、难点

重点：三个正数均值不等式定理的应用；

难点：解题中的转化技巧。

教学过程：

温故知新：两个正数的均值不等式

引入新课：猜想对于3个正数如果+∈R c b a ,,，那么

33

abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）是否成立？

探究1a 、b 、c ∈R +, 那么a 3+b 3+c 3≥3abc , 当且仅当a =b =c 时, 等号成立即可

（参考公式: (a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3; a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)）

证明:

对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到

33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2

a b c abc a b a b ab c abc a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=+--+-=++---⎡⎤=+++-++-++⎣⎦⎡⎤=++++--+-⎣⎦=++++---⎡⎤=++-+-+-≥⎣⎦

定理3 如果+∈R c b a ,,，那么

33

abc c b a ≥++ ，当且仅当c b a ==时取“=” 语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3

)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc 推广： n

a a a n +++ 21≥ n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：

上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最

值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形

多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应

用.

例1：已知x 、y 、z ∈R +, 求(x +y +z )3≥27xyz

例 2 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方

形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边

长为多少？最大容积是多少？

解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为

V,则

3x y z ++≥证明：因为

，所以

3xyz >（x+y+z ），27

327xyz

≥即（x+y+z ）20(,)2(2a x x a x V <<-=)2()2(441x a x a x V -⋅-⋅⋅=27

2]3)2()2(4[413

3a x a x a x =-+-+≤

（师生共同总结此题规律。）

例3 求函数 （x>0）的最小值? 解:f (x )＝2x 2＋3x

＝2x 2

＋32x ＋32x ≥332x 2·32x ·32x ＝32336，

当且仅当2x 2＝32x ＝32x ，即x ＝362时取等号，此时函数取最小值32

336.

（师生共同总结此题规律。）

课堂练习：1．函数y ＝x 2

·(1－5x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值为？ 2.求函数)(,422+∈+=R x x x y 的最小值？

课堂小结:

(1) 定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc (2)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析。

(3)运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相272,6,243max a V a

x x a x ==-=时当且仅当,.,3a b c a b c R a b c +++∈≥==若那么

当且仅当时，等号成立。

232y x x

=+

等”条件相同时，才能取到等号。

课后作业：

1.求函数y＝x2(3－x)(0

2．函数f(x)＝1

x2

＋2x(x>0)的最小值？

3.课本10页12（1）