第12讲尺规作图、命题与证明-2020中考数学全覆盖总复习硬核精华16讲(解析版)

2020中考数学总复习模块四图形的性质(6)TH

知识点8：尺规作图真题/典题/热点/重点/易错点掌握1．（2019秋?番禺区期末）下列关于几何画图的语句，正确的是()

A．延长射线AB到点C，使2

BC AB

=

B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上

C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角

D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB a

=，BC b

=，则线段AC a b

=+

【解答】解：A．延长射线AB到点C，使2

BC AB

=，

因为射线不能延长，

所以A选项错误，不符合题意；

B．因为直线不能反向延长，

所以B选项错误，不符合题意；

C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角．

C选项正确，符号题意；

D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB a

=，BC b

=，则线段AC a b

=+或a b

=-．

所以D选项错误，不符合题意．

故选：C．

2．（2020?河南模拟）如图，在Rt ABC

?中，90

ABC

∠=?，分别以点A和点B为圆心，大于1

2

AB长为半径

作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，若3

BF=，2

AG=，则(

BC=)

A．5B．43C．25D．213

【解答】解：由作法得GF垂直平分AB，

FB FA

∴=，2

AG BG

==，

FBA A

∴∠=∠，

90

ABC

∠=?，

90

A C

∴∠+∠=?，

90

FBA FBC

∠+∠=?，

C FBC

∴∠=∠，

FC FB

∴=，

3

FB FA FC

∴===，

6

AC

∴=，4

AB=，

2222

6425

BC AC AB

∴=--

故选：C．

3．（2019秋?海港区期末）下列说法正确的是()

A．用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线的过程，是用“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”

B．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边角边”构造了全等三角形

C．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”

D．用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边角边”构造了全等三角形

【解答】解：A．用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线的过程，是用“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上“，

所以A选项正确，符号题意；

B．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边边边”构造了全等三角形，

所以B选项错误，不符合题意；

C．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“是用“边边边”构造了全等三角形，

所以C选项错误，不符合题意；

D．用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边边边”构造了全等三角，

所以D选项错误，不符合题意．

故选：A．

4．（2019秋?霸州市期末）下面是小明设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

如图，已知钝角ABC

?，依下列步骤用尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3：连接AD，交BC延长线于点H，则AH即为所求．

作图依据：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．

【解答】解：根据作图过程可知：

=，

AC CD

=，

AB BD

所以BH是AD的垂直平分线．

所以作图依据为：

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．

故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．

5．（2016?广州）如图，利用尺规，在ABC ?的边AC 上方作CAE ACB ∠=∠，在射线AE 上截取AD BC =，连接CD ，并证明：//CD AB （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：图象如图所示，

EAC ACB ∠=∠，

//AD CB ∴，

AD BC =，AC CA =，

ACD CAB ∴???，

ACD CAB ∴∠=∠，

//AB CD ∴．

6．（2020?南昌模拟）（1）如图1:ABC ?是O 的内接三角形，OD BC ⊥于点D ．请仅用无刻度的直尺，画出ABC ?中BAC ∠的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）如图2:O 为ABC ?的外接圆，BC 是非直径的弦，D 是BC 的中点，连接OD ，E 是弦AB 上一点，且//DE AC ，请仅用无刻度的直尺，确定出ABC ?的内心I ．（保留作图痕迹，不写作法）．

【解答】解：（1）如图1所示，AE 即为BAC ∠的平分线．

（2）如图2所示，点I 即为所求．

7．（2019秋?惠安县期末）如图，ABC

?中，AB AC

=．按要求解答下面问题：

（1）尺规作图：（保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

①作BAC

∠的平分线AD交BC于点D；

②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P；

③连结PB、PC．

（2）根据（1）中作出的正确图形，写出三条线段PA、PB、PC之间的数量关系．

【解答】解：（1）如图，

（2）PA PB PC

==．

理由：AB AC

⊥，

=，AD BC

∴=，即AD垂直平分BC，

BD CD

∴=，

PB PC

EF垂直平分AB，

∴=，

PA PB

PA PB PC

∴==．

8．（2019?江西）在ABC

?中，AB AC

=，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中作弦EF，使//

EF BC；

（2）在图2中以BC为边作一个45?的圆周角．

【解答】解：（1）如图1，EF为所作；

（2）如图2，DBC

∠为所作．

9．（2019?济宁）如图，点M和点N在AOB

∠内部．

（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到AOB

∠两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

【解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到AOB

∠两边的距离也相等；

（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．10．（2019?德州）如图，120

AC=．

∠=?，23

∠=?，点A、C分别在射线PB、PD上，30

BPD

PAC

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．

【解答】解：（1）作法：①过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，

②以O点为圆心，OA为半径作O，

则O为所作；

（2）已知：如图，120

AC=，过A、C

∠=?，23

PAC

∠=?，点A、C分别在射线PB、PD上，30

BPD

分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作O，OA PB

⊥，

求证：PB、PC为O的切线；

证明：120

PAC=?，

BPD

∠=?，30

∴∠=?，

PCA

30

∴=，

PA PC

连接OP，

OA PA

⊥，

⊥，PC OC

∴∠=∠=?，

90

PAO PCO

=，

OP OP

Rt PAO Rt PCO(HL)

∴???

∴=，

OA OC

∴、PC为O的切线；

PB

（3）903060OAP OCP ∠=∠=?-?=?，

OAC ∴?为等边三角形， 23OA AC ∴==，60AOC ∠=?，

OP 平分APC ∠，

60APO ∴∠=?，

32323

AP ∴=

?=， ∴劣弧AC 与线段PA 、PC 围成的封闭图形的面积260(23)122324322360

APCO AOC S S ππ??=-=???-=-四边形扇形．

11．（2018?无锡）如图，60AOB ∠=?，

点P 为射线OA 上的一动点．过点P 作PC OB ⊥于点C ．点D 在AOB ∠内，且满足APD OPC ∠=∠，10DP PC +=．

（1）当6PC =时，求点D 到OB 的距离；

（2）在射线OA 上是否存在一定点M ，使得MD MC =？若存在，请用直尺（不带刻度）和圆规作出点M （不必写作法，但要保留作图痕迹），并求OM 的长；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）作DH OB ⊥于H ，PE DH ⊥于E ，如图1，

10DP PC +=，6PC =，

4PD ∴=，

60AOB ∠=?，

30OPC APD ∴∠=∠=?，

30DPE ∴∠=?，

122

DE PD ∴=

=，易得四边形PCHE 为矩形， 6EH PC ∴==，

268DH DE EH ∴=+=+=，即点D 到OB 的距离为8；

（2）存在．

如图2，延长CP 到D '，使PD PD '=，则10CD PC PD '=+=，

作CD '的垂直平分线交OA 于M ，则点M 为所作； 作MN OB ⊥于N ，如图2，则11052

MN =?=， 在Rt OMN ?中，353ON MN =

=，1032OM ON ∴==．

12．（2018?牡丹江）在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=?，3AB =，4BC =，1CD =．

以AD 为腰作等腰ADE ?，使90ADE ∠=?，过点E 作EF DC ⊥交直线CD 于点F ．请画出图形，并直接写出AF 的长．

【解答】解：如图1中，作AN CF ⊥于N ，DM AB ⊥于M ．

90B C DMB ∠=∠=∠=?，

∴四边形BCDM 是矩形，易证四边形AMDN 是矩形，

1CD BM ∴==，2AM AB BM =-=，4DM BC AN ===，2DN AM ==，

AMD DFE ∠=∠，ADM FDE ∠=∠，DA DE =，

ADM EDF ∴???，

4DF DM ∴==，

2FN DF DN ∴=-=，

在Rt AFN ?中，224225AF =+=．

如图2中，作AN FD ⊥交FD 的延长线于N ．

易证4AN BC ==，ADN DEF ???，

4DF AN ∴==，2DN CN CD =-=，

6FN ∴=，

在Rt AFN ?中，2246213AF =+=．

13．（2011秋?章丘市期中）请在同一个数轴上用尺规作出2-和3分别所对应的点．

【解答】解：A 、B 所对应的点分别是2-、3．

14．（2009?石景山区二模）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；

（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；

（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，5，13．

【解答】解：如图所示：

15．（2019秋?孟津县期末）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，两直角边8AC cm =，6BC cm =．

（1）作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）计算ABD ?的面积．

【解答】解：（1）作图如下：AD 是ABC ∠的平分线．

（2）在Rt ABC ?中，由勾股定理得： 22228610AB AC BC =++=，

作DE AB ⊥，垂足为E ．

90ACB ∠=?，

AD 是ABC ∠的平分线，

CD DE ∴=，

设CD DE x ==，

6DB x ∴=-，

90C AED ∠=∠=?，AD AD =，DC DE =，

Rt ADC Rt ADE(HL)∴???，

8AC AE ∴==，

1082EB AB AE ∴=-=-=，

在Rt DBE ?中由勾股定理得：2222(6)x x +=-，解方程得83x =，14023

S AB DE ∴==．

知识点9：命题与证明 真题/典题/热点/重点/易错点掌握

1．（2020?江津区校级模拟）下列命题正确的是( )

A ．长度为5cm 、2cm 和3cm 的三条线段可以组成三角形

B 3±

C ．无限不循环小数是无理数

D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

【解答】解：A 、因为235+=，则长度为5cm 、2cm 和3cm 的三条线段不能组成三角形，所以A 选项错误；

B 3=，而3的平方根为，所以B 选项错误；

C 、无限不循环小数是无理数，所以C 选项正确；

D 、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以D 选项错误．

故选：C ．

2．（2019?鄂尔多斯）下列说法正确的是( )

①函数y =

x 的取值范围是13

x ． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7． ③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．

④同旁内角互补是真命题．

⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根．

A ．①②③

B ．①④⑤

C ．②④

D ．③⑤

【解答】解：①函数y =x 的取值范围是13

x >-，故错误． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．

④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．

⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根，正确，

故选：D ．

3．（2019?包头）下列命题：

①若214

x kx ++

是完全平方式，则1k =； ②若(2,6)A ，(0,4)B ，(1,)P m 三点在同一直线上，则5m =； ③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；

④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．

其中真命题个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【解答】解：若214

x kx ++是完全平方式，则1k =±，所以①错误； 若(2,6)A ，(0,4)B ，(1,)P m 三点在同一直线上，而直线AB 的解析式为4y x =+，则1x =时，5m =，所以②正确；

等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；

一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．

故选：B ．

4．（2019秋?侯马市期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60?”时，第一步先假设( )

A ．三角形中有一个内角小于60?

B ．三角形中有一个内角大于60?

C ．三角形中每个内角都大于60?

D ．三角形中没有一个内角小于60?

【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60?”时，

第一步先假设三角形中每个内角都大于60?，

故选：C ．

5．（2019秋?裕华区校级期末）下列说法正确的个数( )

①近似数232.610?精确到十分位：

②在22,(2)--，38，|2|--中，最小的数是38

③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+

④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个纯角” ⑤如图②，在ABC ?内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解答】解：①近似数232.610?精确到十位，故本说法错误；

②22,(2)--38|2--中，最小的数是2(2)--，故本说法错误；

③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为110-+

④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中至少有两个纯角”，故本说法错误；

⑤如图②，在ABC ?内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点，故本说法正确； 故选：A ．