三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：三角函数的综合应用

三角函数的综合应用
1．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S = ．
2．（2017浙江）已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，则||||++-a b a b 的最小值 是 ，最大值是 ．
3．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．
设OC 与MN 所成的角为θ．
(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
4．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均
为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为
cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，
11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中
部分的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中
部分的长度．
N
M P
O
A B C D
答案
1．2
【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以
61611sin 602S =⨯⨯⨯⨯=o ．
2．4,,a b r r 的夹角为θ，由余弦定理有：
a b -==r r ，
a b +==r r
则：
a b a b ++-=r r r r
令y =[]21016,20y =+，
据此可得：()()max min 4a b a b a b a b ++-==++-==r r r r r r r r ，
即a b a b ++-r r r r 的最小值是4，最大值是
3．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．
过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=，
故40cos OE θ=，40sin EC θ=，
则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，
CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2
θθθθθ⨯⨯-=-． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈． 当0[,)2π
θθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，
所以sin θ的取值范围是1
[,1)4．
答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为
1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4
． (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >，
则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯- 8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2
πθθ∈． 设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2π
θθ∈，
则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+．
令()0f θ'=，得π6θ=
， 当0(,
)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数； 当(,)62
ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数， θH E K G N
M P
O A B C D
因此，当π6θ=
时，()f θ取到最大值． 答：当π6
θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 4．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，
所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．
记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．
因为AC =40AM =．
所以30MN ==，从而3sin 4
MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC
==∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ，
所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG .
同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G .
记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.
过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32.
因为EG = 14，11E G = 62，
所以1KG =
6214242
-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==∠∠. 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25
β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25
β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠
42473(35)525255
=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，
故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEG
Q =∠. 答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)。