高等代数北大版第5章习题参考答案(供参考)
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第五章 二次型
1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。 1)323121224x x x x x x ++-;
2)2
3322221214422x x x x x x x ++++; 3)3231212
2216223x x x x x x x x -+--;
4)423243418228x x x x x x x x +++; 5)434232413121x x x x x x x x x x x x +++++;
6)4342324131212
422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++; 7)4332212
4232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1)已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=, 先作非退化线性替换
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+=33
212211y
x y y x y y x (1)
则
()2
2
233
3142y y y y ++--=, 再作非退化线性替换
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
==+=3
3223112121z
y z y z z y (2)
则原二次型的标准形为
()2
322213214,,z z z x x x f ++-=,
最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=+-=++=333212321
121212
121z x z z z x z z z x (3)
于是相应的替换矩阵为
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002112
1
210
2110001021021100011011T , 且有
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。
2)已知()=321,,x x x f 2
3322221214422x x x x x x x ++++,
由配方法可得
()()2
322
212x x x x +++=,
于是可令
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=33
3222112x
y x x y x x y ,
则原二次型的标准形为
()2
221321,,y y x x x f +=,
且非退化线性替换为
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+-=33
322321122y
x y y x y y y x ,
相应的替换矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=100210211T ,
且有
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。
(3)已知()3231212
2213216223,,x x x x x x x x x x x f -+--=,
由配方法可得
()()2
322
3212x x x x x +---=,
于是可令
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+-=33
32232112x
y x x y x x x y ,
则原二次型的标准形为
()2
221321,,y y x x x f -=,
且非退化线性替换为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=-=-+=33322321121212321y x y y x y y y x ,
相应的替换矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=10021
21
23211
T , 且有
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--='00001000110
021
210
232
110313*********
302121
001AT T 。 (4)已知()4232432143218228,,,x x x x x x x x x x x x f +++=, 先作非退化线性替换
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=4
4332
2411y x y x y x y y x ,
则
322
3212432124128121218y y y y y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=,
再作非退化线性替换
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+==4
43233
221
1z y z z y z z y z y ,
则
2
32222z z -+,
再令
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
+++===++=432
14332
23211
8385214
345z z z z w z w z w x x z w ,
则原二次型的标准形为
()4321,,,x x x x f 2
42322218222w w w w +-+-=,
且非退化线性替换为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧+-=-=+=+--=4
143233
224321121
434521w w x w w x w w x w w w w x ,
相应的替换矩阵为
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---
-
=100
2
101100110
1434521
T ,