中学数学变式教学论文
数学变式教学研究
数 单调 性 的概 念 ， 生 通过 复述 策 略记 住 了概 念 ： 学
对于非空数集 ， 上的任意两数 ，：设 。 ， ， ＜ ：如 果有Ａ 。 ＜ 。 ， ） ） 就说 ） ， 是 上增 函数 ， 这个 概念 如 果 只 作 为 陈 述 性 的 知 识 储 存 在 记 忆 中 ， 不
一
定 的解 题思路 ． 问题 解 决是 教 育 界一 直 关 注 的问题 ， 国数 学 美
少年讲 授知识 ． 直 观 的将 中 国数学 教 学 归结 为 “ ” 简 单 练 习” “ 械 灌 输 ” 将 “ 复教 学 ” 与 机 ， 重 简化 为 “ 简 单 教学 ” 事 实 上 ， 如 您 到 中学 去 听课 ， 会 发 现 ． 假 就 这些 “ 复 ” 重 不仅 仅是 “ 简单 的 ” 械工 作 ， 会发 现 机 你
问题 的本质 就是 情 境 的变化 产 生 的 ， 同的情 不 境 可 能产生 不 同的 问题 ， 同 的情境 也 可 能 出 现不 相 同 的问题 ． 中学数学 中的问题 就是在 一些 概念 、 原理
２ 变式与数学教学 中几个重要活动的关 系考辩
２ １ 变式与概 念教 学 ．
变式 概 念 的提 出最 初 就 是 从 概 念 教 学 的方 式
《 数学之友》
２０ ０ ８年娟
（ 南京师范大学教师教育学院 ，１０ ７ ２ ０９ ）
就 能够 使 这些 知 识转 化 为 程序 性 知识 ．
１ 变 式 与数 学 教 学
《 教育大辞典》 把变式定义为在教学 中使学生 确 切掌握 概念 的方 法 之 一． 即在 教 学 中用 不 同形 式
例谈概念性变式与过程性变式
例谈概念性变式与过程性变式作者：周丹莉来源：《中学课程辅导·教学研究（上）》 2018年第10期摘要：本文从数学教学的角度简要地介绍了变式教学的主要教学模式，从概念性变式及过程性变式两个方面展开。
以中学数学课堂教学实例，说明概念性变式与过程性变式，以期将变式教学理论与实际教学进一步结合，发挥理论对实践的指导作用，提高课堂有效性。
关键词：变式教学；概念性变式；过程性变式中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2018)10-0102一、变式教学变式教学是促进课堂教学有效性的重要方式，在课堂教学中，主要表现为概念性变式和过程性变式这两类模式，明晰变式教学的两种模式对变式教学大有裨益。
二、变式教学主要教学模式1. 概念性变式概念性变式就是在概念教学中使用变式，它是针对相对独立、静态的数学对象进行的，通过变换其非本质属性或本质属性，旨在揭示该对象的本质，明晰该概念的外延。
概念性变式可分为两类：概念变式与非概念变式。
(1)概念变式它是将概念外延所包含的对象作为变式，其特点是保持本质属性不变，变换概念的某些非本质属性，通过类化不同变式的共同属性来突出概念的本质属性。
例如，在学习“三角形的高”时，有经验的教师往往会分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的高(如图1-1、1-2、1-3)，又将这些三角形的位置稍加变换，同样做出它们的高(如图1-4、1-5)。
学生通过观察、比较这一组图形后，容易发现三角形高的一些共同特征(如经过三角形的一个顶点，垂直于该顶点所对的边)。
这种概念变式就是通过变换数学概念中的某些非本质属性(如三角形的类别和三角形的放置位置)，突出该概念的本质属性，从而使学生领悟该概念的实质。
非概念变式是将不属于概念外延集合的对象作为变式，其特点是变换概念中的本质属性，但又与概念有某些共同的非本质属性。
同样以三角形高的概念为例。
在完成了上述的概念变式后，也许部分学生还不能完整领悟到三角形的高即是经过三角形的一个顶点，并垂直于该顶点的对边所在的直线。
简析高中数学变式教学的原则及应用
简析高中数学变式教学的原则及应用作者：何惠萍来源：《新课程研究·中旬》2019年第05期摘要：在高中数学教学中应用变式教学，可以有效提升课堂教学效率、增强教学效果，提升学生的数学综合能力和逻辑思维能力。
文章在阐明变式教学的基本概念和价值的基础上，结合教学典型案例与教学实践经验，提出在高中数学教学中应用变式教学需遵循的原则以及策略，为优化高中数学教学提供参考。
关键词：变式教学;高中数学;逻辑思维作者简介：何惠萍，浙江省义乌市第三中学教师，研究方向为高中数学教学。
（浙江 ;义乌 ;322000）中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2019）14-0114-02变式教学是一种常见的教学手段，在高中数学教学中运用变式教学，对于巩固学生的数学基础知识、提高数学综合能力有十分积极的推动作用。
变式，即对某种固定范式做出改变，通过不同角度看问题并得出不同结论。
本文中的变式教学是指在教学过程中，结合各种教学方法，改变题目给出的已知条件或结论，以改变问题的形式，促使学生灵活运用所学知识，找到最巧妙的解决方法。
在数学教学中运用变式教学，可以有效提高数学教学的质量和教学效率。
1. 适用性和针对性原则。
学生是教学活动的主体，任何教学活动的开展都应充分考虑学生现有的认知水平和学习需求。
在高中数学中运用变式教学，教师要因材施教，全面考察学情，由简到难、逐步推进，保障学生的学习成效。
在选择变式内容方面，教師要从学生的最近发展区出发，选择与学生思维水平大致相仿的内容。
2. 目标导向性原则。
教学目标是教学活动的引领，直接影响教学内容的确定和教学进程。
任何教学活动都要以教学目标为导向，并时刻围绕着教学目标进行，变式教学也是如此。
在教学之前，教师应制订详细的教学目标，并根据教学目标选择变式内容。
需要注意的是，教学目标不宜过多，过多目标超出了学生的接受能力，会让学生找不到学习的重点。
3. 主体参与性原则。
变式教学的示例及思考
【 ３ 在讲授 两角和余 弦公式之后 ， 例 】 可以提供 以
下 公ห้องสมุดไป่ตู้式 变形 ．
有效途径． 张光鉴在 《 相似论 》 中指出 ， 如果 在 问题求 解
时 ， 个 偶 然 的 机 会 ， 似 块 与 问 题 求 解 的 信 息 度 达 到 某 相
变式 １ 用 一 代 换 ， ＣＳ 口 ） ＣＳＣ ＋ ： 得 Ｏ （ 一卢 一 Ｏ￣Ｏ
ｓｎ ｓ ｎ ｉ ａ ｉ ；
高度 的相似结 合与相似 匹配 ， 产生 了某种共振状态 ， 信
息 的 幅度 就 会 大大 增 加 ． 此 ， 某 种 意 义 上 说 ， 式 教 因 在 变 学 的过程就是相似信息的共振 过程 ， 或者说是 由相似信 息 的共 振 引起 的． 这样 的教 学 设 计 完 全 摆 脱 了学 生 机 械
三 、 练 习中变 式 在
【 １ 在 映射 的 教 学 中 ， 校 生 对 其 概 念 的 理 解 例 】 职 是一 个 难 点 ， 们 可 以 由浅 人 深 设 计 适 当 的 变 式 训 练 ， 我 帮助 学 生 的理 解 ． 断下 列 各 题 中 的对 应 法 则 是 不 是 给 判
［学教 学 参 考 ｆ Ｉ
教学 时空
变 式 教
学 的 示 例 及
思 考
浙江 宁波行知 中等职业 学校 （ １ ３ ０ 毛洪杰 ３ ５０）
顾泠沅教授 曾说 过 ：变式 教学是 我 国中学数学课 “
堂 教学 的一 大 法 宝． 在 数 学 课 堂 中恰 当 地 运 用 变 式 教 ” 学 可 以有 效促 进 学 生 对概 念 本 质 的 理 解 ， 养 学 生 思 维 培
（） ２ 已知 向 量 （ 一 （ ， ） ｏＢ一 （ ， ） ＡＢ一 ２Ａｅ， ２０ ， ４２ ，
中学数学变式创新模式的课堂教学评价研究
中学数学变式创新模式的课堂教学评价研究赵自转肖凌戆(广州市第八十六中学510700)摘要：中学数学变式创新模式的课堂教学评价，以中学数学变式创新模式和新课程倡导的发展性评价理念为依据，确立了该模式下“一堂好课”的标准：教学目标明确具体、多元生成、操作性强，教学活动合理有序、变式有效、关注个性，学习活动状态优良、参与充分、注重创新。
构建了“五类课型”(概念课、命题课、解题课、复习课、评讲课)的课堂评价表及相关的调查问卷、课堂观察表和自我评价表。
关键词：变式创新模式，变式探究，课堂评价。
一、研究课题的提出中学数学变式创新模式研究是广州市教育科学“十五”规划课题，在黄埔区不同生源组的三所中学(市86中，市87中和市123中)开展研究，历时三年的课题研究已取得较有影响的研究成果（有20篇相关文章发表或获奖）。
为使研究成果在较大范围内推广，迫切需要构建该教学模式的评价体系，结合广州市教研室开展第三阶段教学设计和实施活动——发展性教学评价，我们确定了本研究课题。
二、研究的理论依据（一）中学数学变式创新模式的基本理念[]1中学数学变式创新模式是“以问题为起点，以变式探究为重点，以培养创新意识为目标”的教学模式；其基本理念是：学生具有创新的潜能和欲望，学生在变式探究中能够自主创新，教师是学生数学学习活动的引路人，教师在积极营造变式探究的教学氛围中能够帮助学生改进数学学习方式，促进学生创新意识的发展。
其基本教学过程是，问题－范式－变式－创新－评价；其基本学习过程是，提出问题－整理范式－变式练习－变式探究－形成观点－自我评价。
（二）新课程教学评价倡导的基本理念[]2新课程教学评价以“多元智能理论”、“建构主义思想”和“人本主义思想”为依据，积极倡导发展性教学评价理念。
1、关注学生发展课堂教学评价要体现促进学生发展这一基本理念。
这一理念首先体现在教学目标上，既要完成知识、技能等基础性目标，又要注意学生发展性目标的形成。
高中数学课堂中变式教学的案例分析
高中数学课堂中变式教学的案例分析摘要：实践表明，多进行变式教学，能帮助学生更加深刻地认识到数学问题的本质特征，有利于培养学生的数学能力。
只要在恰当的时机选择好变式教学问题，就能达到很好的数学课堂教学效果。
本文阐述了变式教学应追寻的原则，并给出了变式案例分析。
关键词：高中数学变式教学案例分析随着我国新课程改革的不断深入，传统的教学方法已经不能满足现代教学的需要，因此必须探究新的教学手段来适应新课程标准。
事实证明，变式教学是提高数学教学效率的有效手段之一。
现阶段许多数学教师仍是沿用“题海战术”的教学方法，使学生苦不堪言，新时期如何减轻学生的学习负担，同时又能提高课堂的教学效率，是每一个高中数学教师急需解决的问题。
因此，教师应当积极探索心的教学方法，在教学中引用变式教学手段，灵活多变的进行数学教学，以提高学生分析、解决问题的能力和归纳问题的能力，从而达到提高教学质量，进而减轻学生的课业负担。
笔者根据自己的教学经验，总结了变式教学中需要遵循的原则，给出了变式教学的案例分析。
一、数学变式教学中应遵循的原则（一）整体优化原则课堂教学是学生获取知识的主要途径，也是教师与学生互动的过程。
教师在课堂教学中首先要让学生掌握获取知识的方法和技能，其次让他们在学习的过程中在情感态度和价值观上去的进步，最后他们的综合素质得到提高。
从而发挥知识应有的功能，通过科学合理的选择，将知识与技能、情感态度和价值观充分的发展到最佳的高度。
进一步优化我们的教学，使教学的各个环节都有所改善，帮助学生更好的学习。
（二）目标导向原则在教学前教师应当根据实际教学内容和学生的具体情况，制定比较切合实际、针对性较强的教学目标。
在实际课堂教学中，对要学的知识进行适当的变式，教师通过对学生正确的启发、引导，高标准完成制定好的教学木匾。
（三）启迪学生的数学思维原则众所周知，数学最能锻炼人的思维能力，从这一层面讲，数学教学在某种角度上说也是思维活动的教学。
变式教学
（4）变式教学是适应现代教学的需 要
如今各省市高考数学试题，以思维能力为核心，考查 对三基理解的深刻性，不再是课本习题的简单再现，而是 取于课本，加以变式得到，这就要教师在教学中，对课本 中的定理、公式、例题、习题不能再停留在照搬照用和模 仿水平上，而应以课本为依据，进行变式教学，从而达到 启发、训练学生的思维品质。
联系实际
联系实际是将数学问题与日常生活中常见的问题联系 起来，这要求教师要有丰富的生活经验和数学应用意识， 教师在教学过程中，要创设情景，引起或指引学生进行联 想，让学生知道数学与生活是紧密联系，不可分割的，很 多数学问题在生活中都能找到模型。 例如：已知抛物线的焦点是F（0，8），准线方程是y=8，求抛物
（2）实施变式教学是提高课堂教学效率, 减轻学生负担的需要
（3）变式教学是培养学生创新能力,全 面实施素质教育的需要
变式教学要求学生在课堂上展示知识的发生、发展以 及形成过程，有利于培养学生研究、探索问题的能力， 久而久之，可以培养学生的创新能力，从而全面提高数 学素质。在变式分析中，让学生加深对概念的理解和应 用，做到一图多变、一题多解、一设多问，以达到事半 功倍的效果。
4、 参与性原则 在变式教学中，教师不能总是自己变题，然后让学 生练，要鼓励学生主动参与变题，然后再练习，这 样能更好锻炼学生的思维能力。
研究问题：变式教学在高中数学教学中的应 用研究
变式教学方法举例
变换条件或结论 变换条件或结论是将原题的条件或结论进行变 动或加深，但所用的知识不离开原题的范围。 例如：在学习函数的单调性时，老师可以讲解这样的例题：判 断函数在指定区间内的单调性。y=x2，x∈(0，+∞)。变式1：y=x2， x∈（-∞，0）可让学生练习。变式2：y=x2，将后面的条件都去掉， 问学生此时函数的单调性，学生要认真思考，会发现此时这个函数 不具备单调性。
初中数学变式练习的设计策略
初中数学变式练习的设计策略摘要：变式训练不仅可以帮助学生了解其知识的实质，而且还可以帮助他们灵活地发展思想，让他们的思想发散，保证他们在变式训练中充分掌握和加强他们的数学知识，培养他们的数学思考能力，进而培养他们的整体能力。
此外，变化式训练还可以帮助老师对传统的数学教育方式进行变革，使复杂的数学知识的内容更加简单、更加容易地进行。
关键词：变式练习；初中数学；策略引言：在新课程的实施过程中，初中数学老师们也在进行着自己的探索与革新，这种方式不但可以有效地改善课堂的课堂教学，而且可以将那些繁杂的问题简化，让他们真正体会到了数学的快乐与魅力，激发了他们的数学学习热情，激发了他们的数学热情，进而提高了他们的数学水平。
一、变式教学法在教学中应用的原则(一) 启迪思维原则在初中数学课堂上，要时时激发同学们转换思路的能力。
老师期望能指导同学们进行思考，并能设计出相应的变化，从而提高他们的思维活动。
因此，在实施初中数学的过程中，必须做好创编工作，使之与学生的心理期望相适应。
通过对问题的分析，使其能够更好地发挥其在解题过程中的作用。
(二)“暴露”过程原则数学问题的解决要求学生理解问题的思路，从而提高他们的参与意识。
当学生在新的知识中找到了一种满足的感觉，那么他们的学习热情也会得到极大的提高。
在“变式”教学中，老师要把自己的数学思考的整个历程告诉给学生，把概念的推论和理解的过程结合起来，从而使他们能够更好地了解和理解这些知识。
在此阶段，学生逐步明了理论意义，老师根据不同的范例，做适当的变式，可以有效地拓展学生的思考空间，增强他们的解题能力。
(三) 探索创新原则老师们采用新颖的教学方式，力求挖掘出新的内容，从而提高学生的积极性和学习的积极性。
同时依托老师的细心创设题目，对其进行仔细的考察，提高其探究和创造的能力，逐步激发其智力，引导其不断提高。
另外，在培养具有一定基础参量认识和掌握基础知识的基础上，也可以使他们摒弃传统思维方式，进行创造性思维，从而促进其开拓和创造的发展。
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中学数学变式教学的研究
摘 要 系统地介绍了变式教学的基本内容、理论指导和教学原
则，讨论了数学变式的方法和途径。对中学数学教育改革有一定的
指导意义。
关键词 数学 变式教学 基本方法
一、变式教学简介
变式是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，
含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，就
是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征
不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式有
多种形式，如“形式变式”“内容变式”“方法变式”等。变式是模
仿与创新的中介，是创新的重要途径。
“变式教学”的基本内容包括知识形成过程中的问题设计；基
本概念辨析型变式；定理、公式的深化变式、多证变式和变式应用；
例题、习题的一题多解、一法多用、一题多变、多题归一；教法、
学法的切换等。
二、数学变式的基本方法
数学变式的基本思想是：运用不同的知识和方法，借鉴科学家
发明创造的思想方法和数学问题的编拟手法，对有关数学概念、定
理、公式及课本上的习题进行不同角度、不同层次、不同情形、不
同背景的变化，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”
的本质，从“不变”中探求规律，逐步培养学生灵活多变的思维品
质，增强其应变能力，激发其学习数学的积极性和主动性，提高其
数学素质，培养其探索精神和创新意识，从而真正把对能力的培养
落到实处。概括地讲，数学变式可分为概念变式、定理（公式）变
式、解题思维（例题、习题）变式。
（一）数学概念变式
从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成
过程，其内涵、外延的提示过程，比数学概念的定义本身更重要。
数学概念变式主要包括以下几种方法。
1.概念引入变式。所谓概念引入变式，就是在教授一个新的概
念时，将概念还原到客观实际（包括变式题组）之中，撷取部分含
有些新概念的萌芽或雏形的实际现象进行引入，通过变式移植概念
的本质属性，使实际现象数学化，达到展示知识形成过程，促进学
生概念形成的目的。
2.概念辨析变式。所谓概念辨析变式，就是在引进概念后，针
对概念的内涵与外延设计辨析型问题，通过对这些问题的讨论，达
到明确概念本质、深化概念理解的目的。
3.概念深化变式。所谓概念深化变式，就是探求概念的等价形
式或变式含义，并探讨等价形式及变式含义的应用，达到透彻理解
概念、灵活应用概念的目的。
（二）定理、公式变式
1.定理、公式的形成变式。与概念的引入变式类似，定理公式
的形成变式，就是在教授一个新的定理或公式时，将其还原到客观
实际之中，通过一些实际现象抽象其本质属性；或者通过题目变式，
使学生从认知结构中原有的观念出发，随着教学逐步展开，循序渐
进，由此及彼，通过知识迁移而形成新知。
2.定理、公式的多证变式。所谓定理公式的多证变式，就是在
提出定理、公式后，引导学生对定理、公式实施多角度的观察与思
考，探求其证明、推导方法，通过观察角度的变换，各种不同方法
的比较，帮助学生培养探索意识和创新能力。定理公式的多证变式，
其目的不在于探求共有多少种证明方法，而在于通过这些方法的探
索，锻炼思维，总结规律，发展技能、技巧，促成知识方法的迁移，
提高数学能力。
3.定理、公式的变形变式。所谓定理、公式的变形变式，就是
探求定理、公式的变形与推广形式，并用其解决相关问题。每个定
理、公式都可以有许多变式，这些五彩缤纷的变式，为我们培养学
生的应变能力提供了广阔的天地。同时，由于在定理、公式的变式
过程中，可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学定理、公式
的转化和简化功能，从而有利于学生更深刻地理解数学定理、公式
的本质，有利于培养学生的逆向思维、发散思维、联想思维和辩证
思维，形成良好的思维品质。通过探求定理、公式变式的应用，可
以培养学生简捷思维、快速解题的能力。
（三）例题、习题变式
例题、习题教学是数学教学的重要组成部分，是把知识、技能、
思想和方法联系起来的一条纽带。在例题、习题教学中，当学生获
得某种基本解法后，应通过改变题目的条件、探求题目的结论、改
变情境等多种途径，强化学生对知识方法的理解、掌握和变通，帮
助他们对问题进行多方向、多角度、多层次的思考，使思维不局限
于固定的理解和某一固定的模式，从而提出新问题或获得同一问题
的多种解答或多种结果。
例题：习题变式主要包括一题多解（证）变式、一题多变变式、
多题一解（一法多用）变式。
1.一题多解（证）变式。所谓一题多解（证）变式，就是对同
一个数学问题，引导学生在所学的知识范围内尽可能地提出不同的
解题构想和方法，从而达到培养学生发散思维和创新意识，总结规
律、方法，提高数学能力的目的。通过对习题全方位的探讨，可培
养学生的观察力、想象力及跨学科的综合能力。
2.一题多变变式。所谓一题多变变式，就是通过对某一题目进
行条件变换、结论探索、逆向思考、图形充数化、类比、分解、拓
展等多角度、多方位的探讨，使一个题变为一类题，达到举一反三、
触类旁通的目的，进而培养学生良好的思维品质及探索、创新能力。
其又分为条件变式、结论变式、逆向变式、图形变式、分解变式、
拓展变式等。
3.多题一解（一法多用）变式。数学中有许多不同的分支，同
一分支内又常被划分为若干个单元。不同分支之间或同一分支的不
同单元之间，常常会出现许多内容上的相互转换与渗透。据此我们
可以将某一单元的题目改变表达形式而变为另一单元的题目，但题
目本质不变，解答方法相同。另外，通过互为逆否命题转换而得到
的等价命题，不同题型之间的转换，如选择题变为填空题，解答题
变为证明题、探索开放题等，都属多题一解的范围。一法多用变式
具体又可分为等价变式、题型变式等。
变式教学以现代教育理论为指导，以精心设计问题、引导探索
发现、展现形成过程、注重知识建构、摒弃题海战术、提高应变能
力、优化思维品质、培养创新精神为基本要求，以知识变式、题目
变式、思维变式、方法变式为基本途径，遵循目标导向、启迪思维、
暴露过程、主体参与、探索创新等教学原则，深入挖掘教材中蕴涵
的变式创新因素，努力培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。