概率论课程教学大纲

概率论》课程教学大纲( Probability Theory )

适用专业：数学与应用数学、统计学、应用统计学、经济统计学

课程学

时：

68 学时

课程学

分：

4 学分

一、课程的性质、目的与任务概率论是研究随机现象统计规律的一门数学学科，应用性很强，为数学与应用数学专业的专业必修基础课之一，且为数理统计课程的理论基础。学习该课程需先修数学分析和高等代数的相关知识。

通过本课程的学习，使学生掌握概率论的基本概念、理论知识及其在实际生活中的一些应用，为学习后继课程作必要的准备，同时培养学生能综合利用所学知识分析和解决一些实际问题的能力。

二、课程的内容与基本要求本课程内容主要包括随机事件及其概率；一维随机变量；多维随机变量；随机变量的数字特征；特征函数；大数定律与中心极限定理。

第一章事件与概率本章内容是概率论的基础知识，有大量的基本概念和计算公式，因此在教学中要讲清概念，突出重点，突破难点，要逐步使学生学会运用概率语言描述概率问题。

重点内容：事件间的关系与运算，概率的性质，概率的加法公式，乘法公式，全概率公式和逆概公式，事件的独立性，古典概型，几何概型，贝努利概型。难点内容：古典概型和几何概型的计算，概率的性质。

§ 1.1 随机事件和样本空间

了解随机试验、样本空间和随机事件、基本事件等概念；掌握事件间的关系和运算。

§ 1.2 概率和频率理解概率的定义和性质及频率的稳定性。

§ 1.3 古典概率掌握古典概型、几何概型的计算公式并能解决一些相关问题。

§ 1.4 概率的公理化定义及概率的性质理解概率的公理化定义及其性质，掌握概率性质中的几个重要公式，会用概率性质解决相应的概率问题。

§ 1.5 条件概率，全概率公式和贝叶斯公式

理解条件概率的定义，掌握条件概率的计算及乘法公式的使用；掌握全概

率公式与贝叶斯公式，并会利用这些公式解决实际问题。

§ 1.6 随机事件的独立性理解事件的独立性的概念；掌握相互独立事件的性质及其有关计算。

§ 1.7 贝努利概型掌握贝努利概型和二项概率的计算。

附注：第一次课介绍概率论发展史；可以根据课时情况安排实践环节：做浦丰投针

试验并介绍monte-carlo 方法，高尔顿模型，约会试验，抽签试验。

第二章离散型随机变量本章与第三章主要是通过引入随机变量把随机试验的结果数量化，从而随机事件的概率能够用随机变量及其分布函数来表示，以便使用微积分等数学工具来研究随机现象。

重点内容：一维和二维离散型随机变量及其概率分布列，二维离散型随机变量的

边际分布与联合分布的关系，离散型随机变量的独立性，随机变量函数的分布列，离散型随机变量的数学期望与方差的定义与性质，条件分布与条件数学期望。

难点内容：求随机变量函数的分布；求条件分布与条件数学期望。

§ 2.1 一维随机变量及分布列理解随机变量的概念及其分布的定义，理解离散型随机变量及其概率分布，掌握单点分布，两点分布，二项分布，泊松分布，几何分布，超几何分布，巴斯卡分布，并能利用这些分布求有关概率。

§ 2.2 多维随机变量、联合分布列和边际分布列理解二维离散型随机变量及其联合分布列，了解多维离散型随机变量及其联合分布的概念；了解边际分布，掌握边际分布的计算。

§ 2.3 随机变量函数的分布列掌握一些特殊离散型随机变量函数的分布列的计算，理解随机变量相互独立的概念，掌握相互独立的随机变量的性质与意义。

§ 2.4 数学期望的定义与性质掌握离散型随机变量数学期望的定义与性质，掌握常见的随机变量的数学期望（单点分布、两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布），会利用定义和性质求解一般随机变量的数学期望，了解随机变量函数的数学期望的求法。

§ 2.5 方差的定义与性质掌握离散型随机变量方差的定义与性质，掌握常见的随机变量的方差（单点分布、两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布），会求一些随机变量的方差，了解随机变量函数的方差的求法。

§2.6 条件分布与条件数学期望了解条件分布与条件数学期望的定义及其有关计算方法。

附注: 介绍数学家贝努利、泊松生平；可以根据课时情况安排建模环节：进货量

问题，平均利润最大化问题等

第三章连续型随机变量

重点内容：连续型随机变量及其概率密度；二维连续型随机变量的边际分布与联

合分布的关系，由联合分布确定边际分布，随机变量的独立性。连续型随机变量的数学期望与方差的定义及其性质，协方差与相关系数的概念和性质，条件分布

与条件数学期望，特征函数。

难点内容：求连续型随机变量函数的分布；由联合分布确定边际分布；求条件分布与条件数学期望，特征函数。

§ 3.1 随机变量及分布函数理解连续型随机变量的概念及其分布函数的性质。

§ 3.2 连续型随机变量

掌握概率密度的性质及有关计算；掌握均匀分布，指数分布，正态分布的性质与有关计算。

§ 3.3 多维随机变量及其分布了解多维连续型随机变量及其联合分布的定义；掌握

二维均匀分布，二维正态分布；了解边际分布的概念及其与联合分布的关

系，掌握边际分布的计算。

§ 3.4 随机变量函数的分布掌握一些特殊随机变量函数的分布的计算。了解随机变量相互独立的概念，掌握相互独立的随机变量的性质及意义。

§ 3.5 随机变量的数字特征掌握连续型随机变量的数学期望与方差的概念和性质及其计算方法；掌握常见的连续性随机变量的数学期望与方差（均匀分布、指

数分布、正态分布等）；了解随机变量函数的数学期望与方差的求法，掌握

切比雪夫不等式。了解协方差与相关系数的概念及其性质；了解随机变量不

相关与独立的关系；掌握二维正态分布的协方差与相关系数。

§ 3.6 条件分布与条件期望、回归与第二类回归了解条件数学期望的概念及其与条件分布的关系；了解回归与第二回归。

§ 3.7 特征函数

了解特征函数的概念及其基本性质；掌握一些常见的随机变量（如：单点分布、两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）的特征函数。

附注：介绍数学家切比雪夫，可以根据课时情况安排关于正态分布的建模问题。

第四章大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理统称为概率论的极限理论，它是建立概率论与数理统计的桥梁。理解大数定律与中心极限定理的定义，掌握大数定律与中心极限定理的几种形式；大数定律与中心极限定理的简单应用、解决一些实际问题是本章的重要内容。

重点内容：常见的大数定律与中心极限定理及其简单应用；随机变量的两种收敛。

难点内容：验证随机变量序列服从大数定律与中心极限定理。

§ 4.1大数定律

了解大数定律的概念；掌握常见的大数定律（如马尔可夫大数定律、切比雪

夫大数定律、贝努利大数定律、欣钦大数定律）。

§ 4.2随机变量序列的两种收敛性

理解随机变量的两种收敛的定义、性质及其相互关系。

§ 4.3中心极限定理

了解中心极限定理的概念；掌握常见的中心极限定理（隶莫弗一拉普拉斯中

心极限定理、林德贝格—勒维中心极限定理）。

§ 4.4中心极限定理（续）

了解林德贝格中心极限定理及费勒条件。

附注：介绍数学家马尔可夫生平。可以根据课时情况安排建模环节：隶莫弗-

拉普拉斯中心极限定理、林德贝格—勒维中心极限定理在生活中的应用题。

说明：

1、了解部分的内容时间不够可不讲。

2、附注部分介绍有关史料知识和数学家的生平可以根据课时自定。

3、本课程拟开设五个个上机实验（若不具备条件暂不开设），它们是：