高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
解析几何课程教案
解析几何课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念，如点、直线、圆等；（2）掌握坐标系中直线、圆的方程的求法与应用；（3）了解解析几何在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入解析几何的概念，培养学生的空间想象能力；（2）运用代数方法研究直线、圆的方程，提高学生解决问题的能力；（3）利用数形结合思想，分析实际问题，提升学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生克服困难的意志，提高自主学习能力；（3）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
二、教学内容1. 第一课时：解析几何概述（1）点的坐标；（2）直线的方程；（3）圆的方程。
2. 第二课时：直线的方程（1）直线的一般方程；（2）直线的点斜式方程；（3）直线的截距式方程。
3. 第三课时：圆的方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程；（3）圆的方程的性质。
4. 第四课时：直线与圆的位置关系（1）直线与圆相交的条件；（2）直线与圆相切的条件；（3）直线与圆相离的条件。
5. 第五课时：解析几何在实际问题中的应用（1）线性方程组的解法；（2）最大（小）值问题；（3）几何最优化问题。
三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论，探索解析几何的基本概念和性质；2. 利用数形结合思想，引导学生将几何问题转化为代数问题，提高解决问题的能力；3. 注重实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 课后实践：鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，提升学生的应用能力。
五、教学资源1. 教材：人教版《高中数学》解析几何部分；2. 教辅：同步练习册、习题集等；3. 教学软件：几何画板、数学公式编辑器等；4. 网络资源：相关教学视频、课件、论文等。
数学竞赛知识点总结高中
数学竞赛知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种对应关系，将定义域中的元素映射到值域中的元素，通常用f(x)表示函数。
1.2 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.3 函数的性质函数的奇偶性、周期性等性质对于解题非常重要。
1.4 函数的图像函数的图像对于理解函数的性质和解题都具有重要意义。
二、不等式2.1 不等式的表示不等式通常表示为a>b、a≥b、a<b、a≤b等形式。
2.2 不等式的解法解不等式通常通过分析不等式的性质、代数方法和图像法进行。
2.3 不等式的应用不等式在优化问题、绝对值不等式、三角不等式等问题中常常出现。
三、集合与映射3.1 集合的基本概念集合是由各种对象的总体，通常用大写字母表示集合。
3.2 集合的运算包括交集、并集、差集等。
3.3 映射的概念映射是一种元素之间的对应关系，通常用f:A→B表示从集合A到集合B的映射。
三、多项式和方程4.1 多项式的定义多项式是由多个项的代数式，通常表示为P(x)。
4.2 多项式的运算多项式包括加减乘除等基本运算。
4.3 多项式的因式分解因式分解是将多项式表示为若干个不可约的因式乘积。
4.4 方程与不等式方程和不等式是基于多项式的等式与不等式。
四、数列与数学归纳法5.1 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
5.2 数学归纳法的基本思想数学归纳法用于证明递推关系的性质。
五、排列与组合6.1 排列的基本概念排列是从n个元素中取出m个元素进行排列的方式。
6.2 组合的基本概念组合是从n个元素中取出m个元素进行组合的方式。
6.3 排列组合的性质排列组合问题通常包括排列数、组合数、二项式定理等内容。
六、数论7.1 整数的性质奇数、偶数、素数、合数等是数论中的基本概念。
7.2 最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中的重要概念。
自招竞赛课程数学讲义：二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程(1)【讲师版】
自招竞赛数学“二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（1）”讲义编号：这是解析几何中应用做广的知识点，在高考压轴题中也会经常出现，如果能熟练掌握，不仅仅对于自招竞赛有好处，对于高考做题的速度也有促进作用。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（1）重在知识梳理和初步的知识应用（例1-例3）。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（2）重在知识进一步的应用（例4-例7）和练习巩固。
Tips：例1作为例题的同时也作为知识梳理前的诊断题。
学生如果高三复习得好，用一般的高考常用解题思路也能完成这三题，只是计算量大，只有让他们先体会下按照原来的做法去做这类题目的艰辛才能更好的感受到上完此次课的收获。
2个小时的讲义授课安排建议为：诊断题（一题为高考题、一题为后面会讲解的例1）让学生尝试花时间40分钟（两道题都在40分钟内要有所尝试和思路），先看看学生的诊断题解题思路，只讲解诊断题1（按教学提示多角度讲解，耗时15分钟左右），题2不讲解。
接下来，花30分钟时间给学生讲解本节讲义的核心内容——知识梳理部分；最后剩下的时间讲解例题，例题讲解过程中注意分析学生之前在做的时候计算量大在哪里，新的知识给解题带来的方便。
诊断题1与例3类似的感觉，让学生体会高考与竞赛的联系和差别。
估计3道例题时间会来不及，视学生情况安排时间，讲不完的例题给学生提示思路，留作作业。
1.（2013年高考数学陕西卷理科第20题）已知动圆过定点(4,0)A，且在y轴上截得的弦MN的长为8。
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)∠B-，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P Q、，若x轴是PBQ 的角平分线，证明直线l过定点。
教学提示：尝试多角度解题。
（1）解法1：设00(,)C x y ，则圆C 的方程为22220000()()(4)x x y y x y -+-=-+，令0x =，得20028160y y y x -+-=，所以0y y =8MN ==，即2008y x =，故轨迹C 的方程为28y x =。
高考数学 备考资料 解析几何专题研究课件(1)
① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置 的几何要素． ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率计算公式． ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． ④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种 形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次 函数的关系． ⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． ⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求 两条平行直线间的距离．
2012
2013 2014
2015
第 20 题 平面向量坐标运算、动点 轨迹、直线与抛物线相切、点线距 离公式 第 20 题 圆的方程、抛物线定义、 直线与抛物线位置关系、点到直线 距离公式、平行直线 第 20 题 圆的方程、 圆与圆的内切、 第 4 题 双曲线离心率、 渐近线等性质 椭圆定义、直线与圆相切、点线距 第 8 题 直线与椭圆相交的中点问题 离公式、直线与椭圆相交及弦长 第 4 题 双曲线焦点到渐近线距离 第 20 题 椭圆方程及几何性质、直 第 10 题 抛物线方程与性质、 向量数乘 线与椭圆相交问题及三角形面积 第 5 题 双曲线方程及焦点坐标、 平面 第 20 题 抛物线的切线、直线与抛 向量数量积坐标运算 物线的位置关系、相交问题的方程 第 14 题 椭圆方程与顶点等性质、圆 组及韦达定理 的标准方程
考试说明 具体要求
直 线 与 方 程
相同
一、2015年全国卷考试大纲与说明
内 容 圆 与 方 程
空 间 直 角 坐 标 系
2015年全国高考考试大纲要求 ① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方 程． ② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关 系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系． ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第25章九点圆定理汇总
第25章 九点圆定理九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆． 如图25-1，设ABC △三条高AD ，BE ，CF 的垂足分别为D 、E 、F ，三边BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，又AH 、BH 、CH 的中点分别为P 、Q 、R ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、O 、R 九点共圆．HO QL RN MP F E DCBA 图25-1证法1联结PQ ，QL ，LM ，MP ，则12L M B A Q P∥∥，即知L M P Q 为平行四边形，又LQ CH AB LM ⊥∥∥，知LMPQ 为矩形．从而L 、M 、P 、Q 四点共圆，且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L 、M 、N 、P 、Q 、R 六点共圆，且PL ，QM ，NR 均为这个圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠∠=∠=︒=，知D ，E ，F 三点也在这个圆上，故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法2如图25-1，由11801802NQD BQD BHD ∠=︒-∠=︒-∠，以及注意到DE 是N 与R 的公共弦，知NR DE⊥，有12N R D D R E C ∠=∠=∠，亦即180NRD EHD ∠=︒-∠，从而知()360180NQD NRD BHD EHD ∠+∠=︒-∠+∠=︒．因此，N 、Q 、D 、R 四点共圆．同理，Q 、L 、D 、R 四点共圆．即知N 、Q 、L 、D 、R 五点共圆．同理，L 、D 、R 、M 、E 以及R 、M 、E 、P 、F ；E 、P 、F 、N 、Q ；F 、N 、Q 、L 、D 分别五点共圆．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆． 证法3如图25-1．联结PL 、PN 、PQ 、PF 、LQ 、LF 、QN 、FL ，则90PDL ∠=︒．注意到PN BH ∥，NL AC ∥，BE AC ⊥，则PN NL ⊥，即90PNL ∠=︒．又PQ AB ∥，QL CH ∥，而CH AB ⊥，则QL PQ ⊥，即90PQL ∠=︒．注意到PF PH =，则PFH PHF CHD ∠∠∠==． 由LF LC =，有CFL HCD ∠∠=．因90CHD HCD ∠+∠︒=，则90PFL PFH CFL ∠∠+∠︒==．同理，PM L ∠、PEL ∠、PRL ∠皆等于90︒．即D 、N 、Q 、F 、M 、E 、R 各点皆在以PL 为直径的圆周上．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法4如图25-1，注意到LQHR 为平行四边形，QP BA ∥，RP CA ∥，则么180180QLR QHR A QPR ∠=∠︒-∠︒∠==-，即知L 、Q 、P 、R 四点共圆．又180180QDR QDH RDH QHD RHD QHR A QPR ∠∠+∠∠+∠∠︒∠︒-∠====-=（注意QP BA ∥，RP CA ∥），则知D 、Q 、P 、R 四点共圆．即知D 、L 在PQR 上．同理，E 、M 、F 、N 也在PQR 上．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法5设ABC △的外心为O ，取OH 的中点并记为V ，联结AO ，以V 为圆心，12AO 为半径作圆V ，如图25-1所示．由12VP OA ∥，知P 在圆V 上．同理，Q 、R 也在圆V 上．由12OL AH ∥（可由延长AO 交ABC △的外接圆于K ，得HBKC 为平行四边形，此时L 为KH 的中点，则OL 为AKH △的中位线即得），知OL PH ∥．又OV VH =，知O L V H P V △≌△，从而12VL VP OA ==，且L 、V 、P 共线，故L 在圆V 上． 同理，M 、N 在圆V 上．由L 、V 、P 共线知LP 为圆V 的一条直径．又90LDP ∠︒=，90MEQ ∠=︒，90NFR ∠=︒，知D 、E 、F 在圆V 上． 故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆．显然，正三角形的九点圆即力其内切圆． 由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：推论1ABC △九点圆的圆心是其外心与垂心所连接线段的中点，九点圆的半径是ABC △的外位圆半径的12． 注意到PQR △与ABC △是以垂心H 为外位似中心的位似形，位似比是12H P H A =∶∶，因此，可得． 推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是12∶的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连线段被九点圆截成相等的两部分． 注意到欧拉定理（欧拉线），又可得推论3ABC △的外心O ，重心G ，九点圆圆心V ，垂心H ，这四点（心）共线，且12OG GH =∶∶，13GV VH =∶∶，或O 和V 对于G 和H 是调和共轭的，即OG OHGV HV=． 推论4ABC △的九点圆与ABC △的外接圆又是以ABC △的重心G 为内位似中心，位似比为1∶2的位似形．事实上，因G 为两相似三角形LMN △与ABC △的相似中心，而LMN △的外接圆即ABC △的九点圆． 推论5一垂心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆．另外，我们还可推知如下结论：结论1三角形的四个切圆（内切圆和三个旁切圆）与其九点圆相切，垂心组有四个三角形，故有16个切圆与此九点圆相切．结论2垂心组的两个三角形的外心与已知垂心组各点，关于九点圆圆心V 对称．三角形的垂心组与其外心构成的垂心组有同一九点圆．结论3垂心组的九点圆与此重心所成的另一垂心组的九点圆同心． 下面，运用九点圆定理处理一些问题：例1（2001年全国高中联赛题）如图25-2，ABC △中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ，求证： （1）OB DF ⊥，OC DE ⊥． （2）OH MN ⊥．VMO H F E DCB A图25-2证明（1）设ABC △的外接圆半径为R ，由相交弦定理，有 22R OF AF FB -⋅=，22R OD BD DC -⋅=．从而22OF OD BD DC AF FB -⋅-⋅=． 由A ，F ，D ，C 四点共圆，有 BD BC BF BA ⋅=⋅，即()()BD BD DC BF BF FA ⋅+=+， 亦即2222BF BD BD DC AF FB OF OD -=⋅-⋅=-． 故OB OF ⊥．同理，OC DE ⊥．（2）由九点圆定理的推论1，知OH 的中点V 为△DEF 的外心．又由D ，E ，A ，B 及D ， F ，A ，C 分别四点共圆，有M D M E M B M A ⋅⋅=，AD NF NC NA ⋅=⋅．由此，即知M ，N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等，从而M ，N 在这两个外接圆的根轴上，即有MN OV ⊥，故MN OH =． 例2（第31届IMO 预选题）如图25-3，ABC △中，O 为外心，H 是垂心，作CHB △，CHA △和AHB △的外接圆，依次记它们的圆心为1A ，1B ，1C ，求证：111ABC A B C △≌△，且这两个三角形的九点圆重合．OM HA 1C 1B 1K CBA图25-3证明则()()1809090180C H B B C B C A ∠=︒-︒-∠-︒-∠=∠+∠=︒-∠，知C H B △外接圆的半径和CAB △外接圆的半径相等，从而，有1A 是O 关于BC 的对称点．设M 是BC 中点，则知2AH OM =，即1AH OA =．又1AH OA ∥，则联结1AA 与OH 的交点K 为1AHAO 的中心，即1AA 与OH 互相平分于K ． 同理，1BB ，1CC 也经过K 且被它平分，从而111A B C △与ABC △关于K 中心对称，故 111A B C ABC △≌△．显然，K 是ABC △九点圆的圆心．因此，这个圆关于K 作中心对称时不变，它也是111A B C △的九点圆． 例3（1994年亚太地区数学奥林匹克题）给定非退化的ABC △，设外心为O ，垂心为H ，外接圆的半径为R ，求证：3OH R <．证明设G 是ABC △的重心，V 是九点圆的圆心，O 和V 对于G 和H 是共线且调和共轭的，考察以点O 为起点的向量，则33333OA OB OC OH OG OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭．因此3OH OA OB OC R ++=≤．仅当A B C ==时等号成立，这是不可能的，故3OH R <．例4（第30届IMO 试题）如图25-4，锐角ABC △中，A ∠的平分线与三角形的外接圆交于另一点1A ，点1B ，1C 与此类似．直线1AA 与B ，C 两角的外角平分线交于0A ，点0B ，0C 与此类似，求证： （1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的2倍． （2）000A B C △的面积至少是ABC △的面积的4倍．B 0A 0C 0C 1A 1B 1IC BA图25-4证明（1）令ABC △的内心为I （000I AA BB CC =∩∩），则I 又是000A B C △的垂心（内、外角平分线互相垂直）．显然，ABC △的外接圆是000A B C △的九点圆，即知1A ，1B ，1C 分别为0A I ，0B I ，0C I 的中点，于是得012A BI A BI S S =△△，012A CI A CI S S =△△． 从而012A BIC A BIC S S =四边形四边形．同理012B CIA B CIA S S =四边形四边形，012C AIB C AIB S S =四边形四边形． 故0001112A B C AC BA CB S S =△六边形． （2）由（1），有()11100022A BC B CA C ABA B C ABCABCS S S S S S ++=+△△△△△△．故只要证 1111A BC B CA C ABABCS S S k S ++=△△△△≥．记2BAC α∠=，2ABC β∠=，2BCA γ∠=，则()1111sin 180221sin 22A BC ABCA B AC S S AB AC αα⋅⋅︒-=⋅⋅△△ 2sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2ααααγβαβγ⋅⋅==⋅⋅⋅． 同理12sin sin 2sin 2B CA ABC S S βαγ=⋅△△，12sin sin 2sin 2C AB ABC S S γαβ=⋅△△． 于是222sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2k αβγβγαγαβ=++⋅⋅⋅≥()233cos cos cos 4αβγ-=⋅⋅≥ 223cos cos cos 3cos 14343αβγαβγ--++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．例5（第23届IMO 试题）如图25-5，123A A A △是一非等腰三角形，它的边长分别为1a ，2a ，3a ，其中()1,2,3i a i =是i A 的对边，i M 是边i a 的中点．123A A A △的内切圆圆I 切边i a 于点i T ，i S 是i T 关于i A ∠平分线的对称点，求证：11M S ，22M S ，33M S 三线共点．3211A 图25-5证明由题设，知1221M M A A ∥，下面证1121S S A A ∥． 由1T 和1S ，2T 和3T 分别关于直线1A I 对称，有1231TT T S =． 同理 1232TT T S =． 故有 3132T S T S =． 即3T 是等腰312T S S △的顶点，有 312T I S S ⊥．从而1221S S A A ∥．同理2332S S A A ∥，3113S S A A ∥．又1221M M A A ∥，2332M M A A ∥，3113M M A A ∥，于是123M M M △和123S S S △的对应边两两平行，故这两个三角形或全等或位似．由于123S S S △内接于ABC △的内切圆，而123M M M △内接于ABC △的九点圆，且123A A A △不为正三角形，故其内切圆与九点圆不重合，所以123S S S △与123M M M △位似，这就证明了11M S ，22M S ，33M S 共点（于位似中心）．例6（2007年台湾数学奥林匹克题）给定ABC △及其外接圆．证明：ABC △的外接上对径的两点对应的西姆松线相互垂直，且它们的交点在ABC △的九点圆上．证明如图25-6，设P 、P '为ABC △的外接圆O 的对径点，这两点的西姆松绒DEF 与DE F '''交于点K ． 因为KDP ECP AP P '∠=∠=∠，9090KD D E P C ACP APP AP P KDP ''''''∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，所以，180D KD KD D KDD '''∠=︒-∠-∠ ()1809090KD D KDP '=︒-∠-︒-∠=︒．F图25-6记P 、P '的西姆松线分别为1l ，2l ，则12l l ⊥于K ．由西姆松线的性质1，知1l 知PH （H 为ABC △的垂心）的中点N ，2l 过PH'的中点N '，即知NN PP ''∥．又外心O 为PP '的中点，则NN '过OH 的中点V ，且V 为九点圆圆心故NN '为九点圆直径．因为90NKN '∠=︒，所以，点K 在ABC △的九点圆上．综上所述，欲证结论获证．例7求证：三角形的外心至各顶点联结线的中点所连成的三角形，与原三角形的中点三角形有共同的九点圆．（三角形三边中点所连成的三角形为原三角形的中点三角形．）证明如图25-7，因O D B C ⊥，BC EF ∥；OE CA ⊥，CA FD ∥；OF AB ⊥，AB DE ∥，所以O 为DEF△的垂心，于是OD 、OE 、OF 与A B C '''△三边的交点所得D E F '''△的外接圆是DEF △的九点圆． 又D '，E '，F '分别是B C ''，C A ''，A B ''的中点，所以D E F ''' 又是A B C '''△的九点圆，故DEF △与A B C '''△有共同的九点圆．C 'B'A'O DA BCE F 图25-7例8设O 是ABC △的外心，连AO 、BO 、CO 分别交BC 、CA 、AB 于X 、Y 、Z ，则直径分别为AX 、BY 、CZ 的圆同切于ABC △的九点圆． 证明如图25-8，设H 为垂心，则ABC △的九点圆圆心V 在OH 的中点．设直径为AX 的圆的圆心为Ox ，D 为A 在BC 边的射影，则D 在V 上，也在x O 上．VO x QYF DG P X Z O CBA 图25-8作OP BC ⊥于P ，VG BC ⊥于G 且交AX 于Q ，连DV 交AX 于xQ '，则12OP AH QV ==，从而VP AX ∥，即有xx x O X O D O A '''==，即x O '为AX 的中点，亦即x O '与x O 重合． 此时，x x x x O V O Q O A QA O D VD ==-=-，即x O 与V 相切．同理，以BY 、CZ 为直径的圆亦与V 相切．例9在ABC △中，AD 是边BC 上的高，M ，N 分别是CA 、AE 过点A ，命BC 在l 上的射影为B C ''，联结B N '与C M '设交于点P 圆，且圆心O 与P 同在ABC △的九点圆上．证明如图25-9，B D '、C D '，则由B '、B 、D 、A ；A 、D 、C 、C '分别四点共圆，知180P PB C PC B ''''∠=︒-∠-∠ 180BAB CAC ''=︒-∠-∠ 9090BAB CAC ''=︒-∠+︒-∠ABB ACC ADB ADC ''''=∠+∠=∠+∠B DC ''=∠，即知点P 在DMN 上（DMN 即为九点圆）．PDQ R lC 'B'OM NCB A图25-9联结MD 、ND ，则知MAD △、NAD △均为等腰三角形，分别过M 、N 作DC '、DB '的垂线交于点O ，则180180180MON ROQ RDQ C DB P ''∠=∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠，而P 在DMN 上，从而点O 在DMN 上．例10四点（没有三点共线）两两连成四个三角形，它们的九点圆共点．证明如图25-10，A 、B 、C 、D 为没有三点共线的四点，1C ，2C ，3C ，4C 分别是BCD △、CDA △、DAB △、ABC △的九点圆．C 4C 2C 3JIC 1HGFO DCBA图2510设AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD 的中点分别为E 、F 、G 、H 、I 、J ．由九点圆定义知，1C 过点F 、G 、J 三点，3C 过H 、E 、J 三点．既然1C 与3C 已有一个交点J ，它们应当有第二个交点O ．联结OG 、OH 、OJ 、FG 、FJ 、EH 、EJ ，则 GOH JOG JOH JFG JEH ∠=∠+∠=∠+∠．①但JFGD 和JEHD 都是平行四边形，因而JFG JDG ∠∠=且JEH JDH ∠∠=，代入①得 COH JDG JDH CDH ∠∠+∠∠==．②联结IG ，IH ，即知GDHI 也为平行四边形，于是GDH GIH ∠∠=以此代入②，便有GOH GIH ∠∠=． 这说明点G 、H 、I 、O 四点共圆，即2C 通过点O ． 同理，4C 也通过点O ．故1C ，2C ，3C ，4C 相交于一点O ．注：当A 、B 、C 、D 中有三点共线时，那么有一个九点圆变态为一直线．这时结论仍成立，但四点共线就没有意义了． 练习题二十五1．设G 是ABC △的重心，P 是这个三角形的外接圆上任一点，联结PG 并延长至Q ，使12GQ PG =，则点Q 在ABC △的九点圆上．2．试证：ABC △的垂心H 与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分．3．设I ，O 分别为ABC △的内心和外心，P 为由三个旁心所组成的A B C I I I △的外心，则I ，O ，P 三点共线．4．设ABC △的边BC ，CA ，AB 的中点分别为A '，B '，C '，从A 向BC 作垂线AH 和ABC △的九点圆相交于点K ，再作AH 关于A ∠的平分线AP 对称的线段AW ，则KA AW '∥．5．设ABC △的A ∠的平分线为AP ，从P 作内切圆的切线PF ，其切点为F ，设BC 的中点为A '，延长A F '和这个圆的另一交点为L ，则L 在ABC △的九点圆上． 6．（费尔巴哈定理）ABC △的内切圆及旁切圆与三角形的九点圆相切． 7．（2008年越南国家队选拔考试题）已知xOy ∠，M 是射线Ox 上的动点，N 是射线Oy 上的动点，设d 是xOy ∠的外角平分线，MN 的中垂线与d 交于点I ，P 、Q 是d 上的两个点，且满足IP IQ IM IN ===，K 是MQ 与NP 的交点．（1）证明：点K 总在一条固定的直线上；（2）设1d 是过M且垂直于IM 的直线，2d 是过N 且垂直于IN 的直线，1d 、2d 与d 分别交于点E 、F ．证明：EN 、FM 、OK 三线共点．。
解析几何题型及解题方法总结
解析几何题型及解题方法总结
题型：1、求曲线方程(类型确定、类型未定)；2、直线与圆锥曲线的
交点题目(含切线题目)；3、与曲线有关的最(极)值题目；4、与曲线有关
的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；5、探求曲线方程中几
何量及参数间的数目特征。
解题方法：
1、紧密结合代数知识解题：“求到两定点的距离之比等于常数的点
的轨迹”问题的求解过程中，取平面直角坐标系，使两定点的连线为x轴，且连线段的中点为原点，并设两定点的距离为2b，则两定点分别为M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是轨迹上任意一点，常数为n，最终得到轨迹
方程（n2-1）（x2+y2）+2b（n2+1））x+b2（n2-1）=0。
2、充分利用几何图形性质简化解题过程：在对曲线轨迹方程求解的
过程中，通过几何条件，可以对轨迹的曲线类型进行判断，然后通过待定
系数法来求解。
3、用函数（变量）的观点来解决问题：对于解析几何问题而言，由
于线或点发生改变，从而导致图形中其他量的改变，这样类型的题目，往
往可以使用函数的观点来求解。
例如，在次全国高中数学竞赛题中，已知
抛物线y2=6x上的2个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且
1+2=4。
线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求AABC面积的最大值。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。
培优联盟骨干教师数学讲座-竞赛培优课件讲座(共82张PPT)
单墫:怎样搞数学竞赛 【很重要的高中竞赛学习策略】
在进度方面： 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中 的数学内容全部学完，并在高一上 学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了120分，不可 小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本 竞赛书就可以了，因为那些书 上讲得较粗略；要多向老师学习并要不断地总结重要的思想方法，使自己能够 灵活运用。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——
费马点，到三角形顶点距离的平方和最小的点——重心。
三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小 几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等试，三角形不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。 N个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
3、立体几何 多面角，多面角的性质；三面角、直三面角的基本性 质；正多面体， 欧拉定理；体积证法；截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应； 二元一次不等式表示的区域；三角形的面积公式；圆锥 曲线的切线和法线；圆的幂和根轴。 5、其他 抽屉原理；容斥原理；极端原理；集合的划分；覆盖。
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- -- - . -考试资料- 高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2
|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0点的轨迹（其中定点不在定直线上），即
edPF||(0
第三定义：在直角坐标平面给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2
于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线
的交点的轨迹即为椭圆。 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为
12222bya
x (a>b>0)，
参数方程为sincosbyax（为参数）。 若焦点在y轴上，列标准方程为 12222bya
y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 12222bya
x
，
a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c
ax2，
与右焦点对应的准线为cax2；定义中的比e称为离心率，且ace，由c2+b2=a2知0椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。 4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2222byax1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为
12020byya
xx
； - -- - . -考试资料- 2）斜率为k的切线方程为222bkakxy；
3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
2222cos2caabl。
6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2
|, a>0)的点P的轨迹；
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
12222bya
x
，
参数方程为tansecbyax（为参数）。 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 12222bxa
y
。
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 12222bya
x(a, b>0),
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2
(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,
22
caxca
x离心率ace，由
a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为xaky，双曲线12222byax与12222byax有相
同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。 9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222byax，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2
|=ex-a；
若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2
|=-ex+a.
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是222
2
cos2caab。
10．抛物线：平面与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为- -- - . -考试资料- )0,2(p，准线方程为2px，标准方程为y
2
=2px(p>0)，离心率e=1.
11．抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2
px；
2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为2cos12
p。
12．极坐标系，在平面取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0则点P的轨迹为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛
物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为
cos1eep
。
二、方法与例题 1．与定义有关的问题。
例1 已知定点A（2，1），F是椭圆1162522yx的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。 [解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=2245=3,53ace.椭圆左准线的方程为
325x，又因为1161254，所以点A在椭圆部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ
垂直于左准线，垂足为Q。由定义知53||||ePQPF，则3
5|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+3
5|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左准线于M)。
所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得
4155x，又x<0，所以点P坐标为)1,4155(
例2 已知P，'P为双曲线C：12222byax右支上两点，'PP延长线交右准线于K，PF1
延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠'PF1K=∠KF1
Q.
[证明] 记右准线为l，作PDl于D，lEP'于E，因为EP'//PD，则|'||'|||||EPKPPD
PK，
又由定义|'||'|||||11EPFPePD
PF，所以|'||||'||||'|||11KPPKEPPDFPPF，由三角形外角平分线- -- - . -考试资料- 定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠KFP1'=∠KF1
Q。
2．求轨迹问题。
例3 （1984年高考理科）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程 解：因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x
轴设椭圆左顶点为A（x,y），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21，从而左焦点F的坐标为),23(yx
设d为点M到y轴的距离，则d=1 根据21||dMF及两点间距离公式，可得
1)2(4)32(9,)21()2()123(22222yxyx即
这就是所求的轨迹方程 例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。
[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-2a,0), B(x+2a,0), C(0, y-2b),
D(0, y+2b), 记O为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为
442222byax，即.42222bayx
当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x； 当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线； 当a
例5 在坐标平面，∠AOB=3，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。 [解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ-3)),
设外心为P(x,y)，由中点公式知OB中点为Mtan23,23。