大学生数学竞赛空间解析几何练习题
解析几何竞赛题选
25.[决赛试题]（13 分）已知两直线的方程： L : x = y = z ， L ' : x = y = z − b 。（1）问： 1a 1
参数 a, b 满足什么条件时， L 与 L ' 是异面直线？（2）当 L 与 L ' 不重合时，求 L ' 绕 L 旋转 所生成的旋转面 π 的方程，并指出曲面 π 的类型。
=
(1 a
, 0, −
1)× c
(0,1, 0)
=
(1 c
, 0,
1 ). a
若π
平行于l2 ,则λ
=
−
1 a
.在直线l2上取点M
(a,
0, 0),则M 到平面π的距离
即为l1与l2的距离2d，即
(2d )2 =
22
,⇒ 1 = 1 + 1 + 1 .
1 a2
+
1 b2
+
1 c2
d 2 a2 b2 c2
t 可以是任意的，所以，这时， π 的方程为：
⎧ x+y+z=b
⎪
⎨ ⎪⎩
x
2
+
y2
+
z2
≥
5 6
b2
，
π 的类型： a = 1 且 b ≠ 0 时， L 与 L ' 平行，π 是一柱面； a ≠ 1且 b = 0 时， L 与 L ' 相交， π 是一锥面（ a = −2 时 π 是平面）；当 a ≠ 1且 b ≠ 0 时，π 是单叶双曲面（ a = −2 时，π 是
+ +
(z (z
+ 1) 2 −1)2
，
即
空间解析几何习题
空间解析几何习题习题0—11．在空间直角坐标系中，画出下列各点：)2,1,2(),4,3,0(),4,0,0(-。
2．求点),,(c b a 关于（1）各坐标面，（2）各坐标轴，（3）坐标原点的对称点的坐标。
3．自点),,(0000z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。
4．一边长为a 的立方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标。
5．求点)5,3,4(-P 到各坐标轴的距离。
6．在yOz 面上，求与三个已知点)2,1,3(A ，)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。
7．证明：以三点)9,1,4(A ，)6,1,10(-B ，)3,4,2(C 为顶点的三角形是等腰三角形。
习题0—21．设向量a 与x 同和y 轴的夹角相等，而与z 同的夹角是前者的两倍，求向量a 的方向余弦。
2．设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如何？（1）0cos =α；（2）1cos =β；（3）0cos cos ==βα3．分别求出向量)5,3,2(),1,1,1(-==b a 及)2,1,2(--=c 的模，并写出单位向量000,,c b a 。
4．设向量)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(===k j i ，证明k j i ,,两两正交。
习题0—31．设b a ,为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？（1）||||b a b a -=+；（2）||||b ba a =。
2．设c b a v c b a u -+=+-=3,2，试用c b a ,,表示v u 32-。
3．在A B C ?中，设M ，N ，P 分别为BC ，CA AB 的中点，试用AB CA BC ===c b a ,,表示向量AM ，N B ，CP 。
4．设MB AM =，证明：对任意一点O ，有)(21+=。
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
空间解析几何的实际问题
空间解析几何的实际问题当然可以！以下是根据标题“空间解析几何的实际问题”设计的20道试题，包括选择题和填空题，并且每道题目都有详细的序号介绍。
1. 选择题：1.在三维空间中，以下哪个选项最准确地描述了直线和平面的交点情况？A. 不存在交点B. 有一个交点C. 有无穷多个交点D. 有两个交点2. 填空题：2. 给定平面方程 \( 2x - 3y + 4z = 5 \)，直线方程 \( \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-2}{4}\)，它们的交点坐标为________。
3. 选择题：3. 下列哪种情况下，两个平面一定平行？A. 法向量相互垂直B. 法向量共线但不平行C. 法向量平行但不共线D. 法向量相互平行4. 填空题：4. 给定直线上的一点 \( P(1, -2, 3) \) 和平面方程 \( 3x - 2y + 4z = 6 \)，点 \( P \)到该平面的距离为________。
5. 选择题：5. 以下哪种情况下，两条直线一定相交于一点？A. 平行且重合B. 相交但不共面C. 共面但不相交D. 不共面且不相交6. 填空题：6. 给定直线方程 \( \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-2}{4} \) 和平面方程 \( x + 2y - 3z = 4\)，它们的交点坐标为________。
7. 选择题：7. 一个平面与另一个平面垂直，它们的法向量分别为 \(\mathbf{n}_1 = (2, -1, 3) \) 和 \( \mathbf{n}_2 = (-1, 3, 2) \)，则它们之间的关系是：A. 平行B. 垂直C. 不共面D. 共面8. 填空题：8. 给定直线上的一点 \( Q(2, 1, -3) \) 和平面方程 \( 2x - 3y + 4z = 5 \)，点 \( Q \)到该平面的距离为________。
空间解析几何练习与答案
空间解析几何与向量代数测试题一、 选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（ ）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=， 则p n m a -+=34在x 轴上投影是（ ）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分 ）1．（12分） 求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。
2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分 所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分 又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分 由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。
江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分
解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。
解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。
令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。
2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。
证 问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。
20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。
空间解析几何(练习题(答案))
1. 过点M (1, —1, 1)且垂直于平面x — y — z+1 = 0及2x+y + z+1 = 0的平面方程.39. y—z+2=03.在平面x—y—2z=0上找一点p, 使它与点（2,1,5）, （4，邙,1）及（―2,—1,3）之间的距离相等.5.已知：A(1,2,3),B(5,—1,7),C(1,1,1),D(3,3,2),贝打// =A . 4B . 1C , -D . 227 .设平面方程为x - y = 0,则其位置( )A .平行于x 轴B .平行于y 轴C .平行于z 轴D .过z 轴.8 .平面x—2y+7z+3 = 0与平面3x+5y+z—1 = 0的位置关系（）A .平行B .垂直C .相交D .重合9 .直线工二 =丫二9 与平面4x —2y —2z—3 = 0的位置关系()-2 -7 3A .平行B ,垂直C ,斜交D .直线在平面内—―、f—y+1 = 010 .设点A(0,—1,0)到直线，y的距离为( )、x + 2z - 7 = 0A . 75B . 1=C . 1 D，6 55. D 7 , D 8 . B 9 . A 10 . A.3.当m=时，2i _3j +5k 与3i+mj —2k互相垂直.4 .设a=2：+j+k , b=i—2j+2k , C = 3i—4j+2k , 则P c(a j b)= ----------------c4.过点（2, —8⑶且垂直平面x+2y—3z-2 = 0直线方程为10 .曲面方程为：x2 * 4 +y2 +4z2 =4,它是由曲线绕旋转而成的.。
一4,3. m = 一；43且9,工匚2=",29 1 2 -3旋转而成.1 .设 a ={2-3,1 1b =^,-1,3)0 = {1-2,0},则(a = b)xC=( )A . 8B . 10C . fo ,-1,-1)D , {2,1,21}3 .若 a =6i +3j _2k,b//a,且月=14,则b =()A . ±(12i +6j -4k)B . ±(12i +6j jC . ±(12i -4k)D . ±(6j -4k) 4 .若 M 1(1,1,1),M 2(2,2,1),M 3(2,1,2),则 M 1M 2与M 1M 3的夹角中716 .求平面x — y +2z —6 = 0与平面2x + y + z —5 = 0的夹角(ooo5A . 30B . 60C . 90D . arcsin- 61. D 3 . A 4 . C 6. C 8. A 9 . D7.求与平面2x-6y+3z=4平行平面，使点（3,2,8）为这两个平面公垂线中点.3 .确定k 值，使三个平面：kx —3y + z = 2,3x + 2y + 4z = 1, x — 8y — 2z = 3通过同一条 直线.5.求以向量i + j, j + k, k+i 为棱的平行六面体的体积.7 .与平面2x+y+2z+5=0,且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程8 98 .动点到点（0,0,5 ）的距离等于它到 x 轴的距离的曲面方程为 .5.已知a ={-3,0,4}, b =0-2,-14},则两向量所成夹角的角平分线上的单位向JTM o (3,-1,2), 直线l 」x y -z 1 = 0 2x- y z-4=0M O 到l 的距离为（x -2 y -3与平面2x + y+z = 6夹角为 （2 2z = 2 -x - y22z=(x") (y-1)或两向量对应坐标成比例 。
空间解析几何练习题
。 3
x 5 y 8 0, x 15 y z 8 与直线 的夹角。 8 1 4 2 y 11z 1 0
x 4 y 4 z 1 x5 y 5 z 5 与直线 的距离。 2 1 2 4 3 5
y z x z 1, 1, 16．已知直线 L1 ： b c 和 L2 ： a c x 0 y 0.
7．求经过原点，且与两平面 x 2 y 3z 13 0 和 3x y z 1 0 都垂直的平面 方程。
3x 2 y z 1 0, 8．求过点 (2, 3, 1) 和直线 的平面方程。 2 x y 0
9．求过直线
x y z 1 x 1 y z 且平行于直线 的平面方程。 2 1 2 0 1 1
，使得 a b c 0 。
b 为满足 || a || 2 ， 5． 设a， 且 a 与 b 的夹角为 || b || 1 的向量，
。 求以 m 5a b ， 4
a (2, 1, 3) ， b ( x, y, z ) ，若 a c b 有解 c ，问 x ， y ， z 应满足 什么条件？ 7．证明：对任意向量 a ， b 成立 || a b || 2 || a b || 2 2(|| a || 2 || b || 2 ) ，并说明 其几何意义。 8．设三个向量 a ， b ， c 满足 (a b) c 2 ，求 [(a b) （b c)] (c a) 。 9．问向量 a (2, 3, 1) ， b (1, 1, 3) ， c (1, 9, 11) 是否共面？
a c b c, 10．已知 a ， b ， c 都不是零向量，问 a b 与 是否等价？ a c b c
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试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。
解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以
'223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=⨯=为基本向量
建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为
''
2222
''2222'/B A x x z A B A B A B
y D B x z A B A B z y ⎧=+⎪++⎪
⎪=--
+⎨++⎪
⎪=⎪⎩
在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2''''
22
22
2
2
2
2
6(
)(/)1
B A A
B
y x z D B x z A B A B A B A B ++
--
+
=+++
+
所以交线的方程为：
'2'
'''22
22
22
22
'6()(/)1
B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ⎧++--+
=⎪++++⎨
⎪=⎩
化简得：
'2'
'22
22
'6()(/)1
0B A y x D B x A B A B z ⎧+--=⎪++⎨
⎪=⎩
因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得
322A
B
=-.
试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ⎩
⎨
⎧=+=+++⎩⎨
⎧=+=++020
13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。
解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1
11
2
:,1
20
1:21-+==-=+=-z y x l z y x l
设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=，
试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程.
解：设所求的直线的方程为:141x lt
y mt z nt =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩
,又因为所求的直线在二次曲
面上,所以对任意的,t 有
2222(1
)(4)(1)
3(1)(
4)(1)(1
)6(1)
l t m t n t
l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=,
化简得;
2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以
222230
(1)7570l m n ml nl l m n ⎧+-++=⎨
++=⎩
由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得
220
(1)570
m n m n ⎧-=⎨
+=⎩
上述方程只有零解. (2): ,1=l 代入方程组(1)得
22230
(1)7570m n m n m n ⎧+-++=⎨++=⎩
解之得07/4
11/4
m m n n ==-⎧⎧⎨
⎨
=-=⎩⎩或者 所以所求的直线为
11447/411/4x t x t y y t z t z t =+=+⎧⎧⎪⎪
=-=--⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩
或者
试题4：求过点)1,0,1(P 平行于y 轴并与曲面182=+xz y 的交线都是圆的所有平面的方程.
解：答案：0)1)(154(1=-++z x
试题5：求和下面三条直线都是相交的直线所构成的曲面。
52
4132:,1:,1:321+=
+=--⎩
⎨⎧-=-=⎩⎨
⎧==z y x L y z x L y z x L 答案：1222=-+z y x
试题6：确定实数m 的值，使平面0=-+mz y x 和单叶双曲面
1222=-+z y x 相交，交线分别是椭圆和双曲线.
解:令'3e 为所给的平面的单位法向量，即),1,1(212
'3m m
e -+=
,取
)2,.()
2(21),0,1,1(212'1'3'2'1---+=⨯=-=
m m m e e e e . 由于原点在所给的平面上，以'3'2'1,,e e e 为新的基本向量建立新的直角坐标系],,,['
3'2
'1e e e O ,那么新就坐标系之间的坐标变换公式为:
'''22'''22''2211
22(2)2
1,22(2)222(2)2m x x y z m m m m y x y z m m m z y z m m ⎧=-+⎪⎪++⎪
⎪
=--
+⎨++⎪
⎪⎪=--⎪++⎩
那么在新的坐标系中，所给的平面方程为:0'=z , 所给的单叶双曲面的和平面的交线的方程为：
1
222=-+z y x ''2''2'2
222
'112()()()1222(2)2(2)2(2)0m m x y x y y m m m z ⎧-+----=⎪+++⎨
⎪=⎩
化简得到：
2'2'2
2'21
20m x y m z ⎧-+=⎪+⎨
⎪=⎩
所以，当2m >时，交线是椭圆，当2m <时是双曲线，当2m =时是一对平行直线。