正多边形和圆讲义学案

正多边形和圆(一）

一．内容综述

正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本

单元的重点。实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形<如下图

△OAD）中解决的。掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一

方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数>边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：

①αn= ；

②a n=2R n·sin ；

③r n=R n·cos ；

④+ ；

⑤P n=na n；

⑥S n= P n r n；

⑦S n= n sin .<因为一个三角形的面积为：h·OB）

注意两点：1、构造直角三角形<弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；

2、准确记忆相关公式。

在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所所对的圆心角的度数，L表示弧长，则有：

①圆周长：C=2πR。

②弧长：L= ③圆面积：S=πR2④扇形面积：S扇形= = LR

⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理：

<1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△<2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△

<3）当弓形所含弧为半圆时，S弓=

S圆⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积

二．例题分析：

例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是< ）

A、B、C、D、

解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1，

又∵∠FAG=60°，

故选B。

说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm,

的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。

解：设∠O=α，由弧长公式得6π= , 10π= ,

∴OA= , OB= .

又∵AB=OB-OA,

∴12= - , ∴α=60°,

∴OA= =18, OB= =30.

∴

阴影部分的面积为：- = =96π

说明：本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。

例3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.

分析:外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而

每个小三形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证.

证明:设外切多边形周长为P,内切圆⊙O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,如图

∵OM⊥AB,ON⊥BC,……,∴S△OAB= OM·AB＝R·AB, S△OBC= ON·BC＝R·BC……,∴正多边形ABCD……面积为S= R(AB+BC+……>= R·P.

说明：圆的外切<或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。

例4.已知如图⊙O1为含120°弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆的周长

等于弧长的。

分析：欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系，需求出：内切圆⊙O1的周长2πr，及弓形的弧AB的长，找到r与⊙O的半径R的关系，结论易证。

证明：设⊙O1切弓形于C、D，OA=R，O1C=r，

∵∠AOB=120°，∴的长= ×= πR，又∵∠OAB= (180°-120°>=30°，∴OC= OA= R, ∴r=

(OD-OC>= (R- R>= R,

又⊙O1的周长=2πr=2π·R= πR,

∴⊙O1的周长等于弧长的.

例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,∠AOB=120°,求阴影部分面积S阴影ABC.

分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-S△ACO,故可求得.

解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-S△ACO,

而S扇形OAB= =12π(cm2>, ∴S△ACO= ×6×3·sin60°= (cm2>, ∴ S阴影ABC=(12π- >cm2.

说明：求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与S DAOC的差，也可以折分为S DABC与S弓形AB的和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。

例6.如图,若正六边形的面积为6 ,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.

分析：如下图，线段OC是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC可以将两图形联系起来。

解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,CD为正六边形内切⊙O的内接正三角形的一条边长,过O点作OE⊥CD于E,分别连结OA、OB、OC、OD.

∴OC=R, AB=a6, BC= a6, ∠BOC=30°, CD=a3, CE= a3, OE=r3, ∠COE=60°, ∵S6=6·S△OAB, ∴S6=6×a6·OC=6 , ∵OC=BC·cot30°, ∴OC= a6,

∴6×a6·a6=6 , ∴a6=2, ∴OC= , ∵OE=OC·cos60°, ∴OE= ,

∵CE=OC·sin60°, ∴CE= , ∴CD=2CE=3,

∴S3=3×CD·OE, ∴S3=3××3×= .

说明:

(1>此例涉及到正多边形的有关计算,其中涉及的是正六边形与正三角形.

(2>因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以它有一个图形

之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正多边形之间的关系.

例7.如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且∠AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和面积分别为8(1+ >和16 ,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积>

解:连结OP，

∵PA、PB分别切⊙O于A、B, ∴∠OAP=∠OBP=90°,

又PA=PB,AO=BO

∴Rt△PAO≌Rt△PBO, ∴Rt△PAO的面积= ×四边形PAOB的面积=8 .

又Rt△PAO的面积= ×AO·PA, ∴OA·PA=16 .

已知OA+PA= ×8(1+ >=4(1+ >.

∴OA、PA为方程x2-4(1+ >x+16 =0的两根，解得x1=4，x2=4 ，但∠AOB是钝角，∴PA>OA, ∴PA=4 ,OA=4.

在Rt△PAO中,tan∠POA= = .

∴∠POA=60°,∠AOB=120°,

扇形OAB的面积= ×42π= π.

∴劣弧AB与两切线所夹部分的面积为16 - π.

说明:求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP的面积去掉扇形AOB的面积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形.

例8.如图,∠AOB=90°,AC∥OB,OA=1, 是以O为圆心的弧,

是以A为圆心的弧,求图中阴影部分ABC的面积.

分析：思考怎样转化为规则图形的面积运算？规则图形的面积如何计算？

解:连结AB, ∵△AOB为等腰直角三角形,

∴AB= , ∵∠C=90°,OA=OB=1,

∴S扇形OAB= πR2= , S扇形ABC= π( >2= , S弓形AmB=S扇形OAB-S△AOB= - AO·BO= - .

S阴影=S扇形ABC-S弓形AmB= -( - >

=

说明：

<1）求阴影部分的面积，涉及到扇形、圆形、弓形、梯形、三角形面积及弧长、周长等知识。

<2）进行分析时，一般注意：

第一：求阴影部分的面积，因不是一个规则的图形，不易直接求，需要从整体结构进行分析，将图形分解，转化为规则的能操作的基本图形，运用好面积的割补方法。

第二：求阴影部分的面积，可转化为先求空白部分的面积，再进行面积的加减运算。

测试

选择题

1．已知两圆的直径分别为20cm和8cm，一条外公

切线为8cm，则这两圆的位置关系是< ）

A、相离

B、外切

C、相交

D、内切

2．下列说法正确的是< ）

A、各边相等的圆外切多边形是正多边形；

B、任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；

C、任何一个正多边形绕中心旋转

，都与原来的正多边形重合；

D、任何正多边形都相似。

3．如果一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的

，则这个正多边形的边数为< ）

A、16

B、18

C、20

D、22

4．正六边形的边长为1，则它的面积为< ）

A、3

B、2

C、3

D、

5．正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是< ）

A、1∶

B、2∶

C、∶1

D、∶2

6．如图，已知点A在两个同心圆的大圆上，ABC是小圆的割线，且AB·AC=8，则圆环的面积为< ） A、4π B、8π C、12π D、16π

7．扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为< ）

A、7cm

B、cm

C、(14+7 >cm

D、7 cm

8．扇形的圆心角是150，面积是60πcm2,

则扇形的弧长为< ） A、6πcm B、8πcm C、10πcm D、12πcm 9．正三角形的边心距、半径和高的比是< ）

A、1∶2∶3

B、1∶∶

C、1∶∶3

D、1∶2∶

10．如图3，大的半圆的弧长为

a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径之和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b, 则a与b之间的关系是< ）

A、a=b

B、a=nb

C、a= b

D、a=πb

答案与解读

答案：1.C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.C 9.A 10.A 解读： 1.关键是求出O 1O2，∵O1O22=(R-

r>2+82=36+64=100，

∴O1O2=10，

R+r=14，R-r=6，则R-r

∴两圆相交。

2.选项为C。

反例：

A，菱形各边相等，四边可以与同一圆相切，但不是正四边形。

B，正三角形不是中心对称图形。

D，边数不同，不可能相似。

3.设正多边形边数为n，外角和为360°，内角和为(n-2>·180°，

则一个外角度数为，一个内角，

∴= ·

∴ n=22。

6.如图：作AE切小圆于E，连AO，OE，则AE2=AB·AC=8，

S圆环=OA2π-OE2π=(OA2-OE2>π=AE2π=8π。

7.设扇形半径为R，圆心角为n，

则

解得R=7。

8.解：=60π，∴R=12，

∴l= =10π。

9.解：如图2，OD是正

三角形的边心距，OA是半径，AD是高，设OD=r，则AO=OB=2r，AD=3r，∴ OD∶BO∶AD=r∶2r∶3r=1∶2∶3。故选A。

10 解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r，由题意，得a=πR.

∴R= ，∴小圆的半径r= ，∴每个小半圆的弧长为π·= ，

∴n个小半圆的总弧长b=n·=a，即b=a，故选A。

评注：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。

中考解读：

例1.(杭州市>已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面

积的比值。

解：设正三角形边长为a，则周长为c1=3a，面积S1= a2；

又设正六边形边长为b，则周长为c2=6b，面积S2= b2由c1=c2，得a=2b,

S1:S2= a2: b2= b2: b2= .

则它们的面积的比值为

考点：正多边形的面积求法

评析思路：问题的关键是根据周长的关系求出正三角形和正六边形的边长的关系，分别求出正三角形的面积，正六边形的面积，然后可知它们比值。

例2.(吉林省>如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为3 0cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为< ）cm2

A、B、C、800πD、500π

考点：环形，扇形的面积。

评析思路，利用扇形面积的求法，分别求出大扇形，小扇形的面积，然后求差即可。也可以用环扇的面积等于圆环的面积的三分之一。答案为A。

例3.<贵阳市）

如图，正方形的边长为2，分别以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积是< ）.

考点：圆的面积正方形面积

评析：连正方形对角，重新拼图知，阴影部分面积等于半圆面积与正方形面积的差。答案为B。

例 4.<重庆市）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD= ，以BC的中点E为圆心的弧MPN与AD相切，则图中阴影部分的面积为< ）

考点：矩形的性质、扇形面积的求法

评析思路：由条件可知道扇形半径为AB长，而E又是BC的中点根据矩形的对边相等可知B E=

，再利用直角三角形边角的关系，易求得∠BEM=∠CEN=30°，∴∠MEN=120°，扇形面积是半径是1的圆面积的。

说明：此小题也是一个综合型小题，只有掌握扇形面积的求法，才能找到解决问题的办法。答案为D。

例5.

(北京市东城区>如果圆锥的底面半径为5，母线长为10，那么圆锥的侧面展开图的面积是.

考点：扇形面积计算圆锥侧面展开图评析：圆锥侧面展开图是一个扇形，扇开的弧长为圆锥底面周长，扇形的半径为圆锥的母

线长，根据扇形面积公式得，所以答案为50π。

黄金分割、黄金数、黄金长方形

1.黄金分割和黄金长方形

17世纪欧洲著名科学家开普勒曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割”。什么是黄金分割？给定一条线段AB，见<图）

<1）过B作BD⊥AB，截BD= AB；

<2）连AD，以D为圆心，BD为半径画弧交AD于E；

<3）以A为圆心，AE为半径画弧交AB于C，则C点将线段AB作黄金分割。C点是线段AB的黄金分割点。线段AC和AB之比，即大约等于0.618.