奇异摄动方法在输电线非线性振动问题中的应用
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。
非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。
非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。
第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20世纪70年代至今。
人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察。
第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。
第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitropolsky，美国科学家Nayfeh等等。
他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。
在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、vander Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。
从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。
俄罗斯科学家Arnold和美国科学家Smale等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。
这是陈立群教授发表在力学与实践上的
刘延柱的振动力学以及R.克拉夫、J.彭津编写、王光远等校译的结构动力学第二版【全美经典】机械振动书【机器故障的分析与监测】【机械设备故障诊断技术及方法】【机械设备故障诊断技术及应用】【旋转机械振动分析与工程应用】【旋转机械振动监测及故障诊断】这些书都可以啊，网上都可以下载到，但是建议买正版的这是陈立群教授发表在力学与实践上的，对振动类书籍的评论，您可以参考一下：国外振动新教材的内容和特点振动是国内理论与应用力学专业和工程力学专业本科必修课，也是机械、土木、航空等专业本科生或研究生的选修课。
北美大学的情况基本类似，机械、土木、航空、航天和工程力学系一般都开设振动课程。
初级课程由学过工程力学(静力学和动力学)的二、三年级本科生选修，高级课程主要是研究生选修甚至必修。
土木系的初级振动课程有时也称为结构动力学，有些大学甚至是同门课程，不同的名称和编号。
据笔者所见，欧美至少出版了几十种振动教材。
本文仅讨论部分比较“新”的教材，即1995年后出版或再版的。
最新的如2006年以后出版的教材，笔者还没有仔细阅读。
另外，限于笔者外语能力，所谓“国外”教材主要是英语教材，包括欧洲大陆学者用英语出版的教材。
而且，本文不讨论没有涉及基本振动理论例如单自由度线性振动的高级课程教材。
笔者试图尽可能简要地分析各种教材在取材和处理方面的特点，并简介作者。
最后在结束语中总结这些教材及其作者的特点。
顺便一提，在20多年前笔者开始教书的时候，提到国外原版教材总有种可望不可及的感觉，既见不到，也买不起。
渐渐地情况发生变化。
首先，随着研究经费和教学项目经费的增加，原版教材变得相对便宜，一般在千元之内，可以通过外文书店向境外出版商订购。
其次，国内的图书公司引入某些教学版本，相对便宜，每册价格通常只有二、三百元。
第三，有些出版社取得外国教材的版权在境内重印发行，价格更低。
第四，有些高校购买国外期刊电子版本的同时也购买了相应出版社的书籍电子版，这种书籍虽然以专著居多，但也有少量教材。
关于线性和非线性系统内在的本质联系——多自由度非线性系统的定量和定性分析
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振 第２ ７卷第 １期
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ ＡＮＤ ＨＯＣＫ Ｉ Ｓ
关 于 线性 和非 线 性 系统 内在 的本 质 联 系
— —
多 自由度 非 线 性 系统 的定 量 和 定 性 分 析
郑兆 昌
线 性 振 动 和 非线 性 振 动 都 是 以线 性 主 模 态 呈 现 其 运 动 规 律 。
关键词 ：动 力学建模方法 ； 非线性振动 响应数值解法 ； 渐近奇异摄 动法 ； 主模态 ；Ｙ Ｓ 岔
中图 分 类 号 ： ０ ２ ３２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
多 自由度 非线 性 系统 的 求 解 之难 题 ， 长期 以来 受 到历史性 挑 战 ， 数 学 角 度 ， 从 即使 是 单 、 自 由度 非 线 双 性 系统 ， 从 工 程实 用 要 求 ， 非 单 、 自 由度 能 予 描 但 绝 双 述， 随着计 算机 和计算 技 术 的迅 猛发 展 ， 了更 接 近描 为 述 真实 系统 ， 自由度更 不 断按 量 级增 加 ， 种 数学 上 的 这 追求 和工 程要 求之 间矛盾 似乎 日益增 大 。 以 Ｎ ｙ ｎ和 Ｍｏｋ 为代 表 的各种 非线 性著 作 ， ａｆ ｅ ｏ… 迄
振动问题的发展简史
混沌振动 运动具有随机性、对初始条件极为敏感；运动具有不可预测性
随机振动
大气湍流引起的飞机颤振 喷气噪声导致飞行器表面结构的声疲劳 火箭运载工具有效负载的可靠性 非确定性载荷的机械系统和结构的响应、稳定性和可靠性
转化 基础科学
基础 技术 科学 科学
混沌振动：响应为时间的始终有限的非周期函数（往复非周期运动） （特点：对于确定性系统，对初始条件极为敏感；内禀随 机性；长期预测不可能性）
随机振动：响应为时间的随机函数
伽辽金（Галёркин,Б.Г. 1915年)
里兹法进一步推广确定固有频率
邓克莱（Dunkerley,S. 1894年)
多圆盘轴横向振动基频的计算方法
斯托德拉（Stodola,A. 1904年)
针对轴杆提出逐步近似计算方法，成为 矩阵迭代法的雏形
法莫（Frahm,H. 1902年)
计算船主轴扭振时提出离散化思想
环境预测 系统和响应
激励
振动问题的反问题
系统
确定性系统 随机性系统
常参量系统 变参量系统
振动系统
模型
离散系统 （有限自由度系统） 连续系统 （无限自由度系统）
方程
线性系统 非线性系统
振动形式
激励类型
固有振动 自由振动 受迫振动 自激振动 参数振动
响应类型
确定性振动 随机振动
简谐振动 周期振动 准周期振动 混沌振动
在实验基础上系统地总结了弦线 振动的频率特征
1678年 1687年
胡克(Hooke,R) 发表的弹性定律 牛顿(Newton,I) 发表的运动定律
奠定了振动力学的 物性和物理基础
强非线性Duffing方程的摄动解
的标准形式是:
¨
x+
Lxõ +
Ax +
Bx 3 =
Fco s8 t , x ∈ R.
( 1)
其中 A可取0, 1或- 1; B可取1或- 1. 式( 1) 有三个
参数: L, F 和 8 , 它有很丰富的动力学行为。当 A=
0, B= 1时称为日本型的, C. Hayashi 等人研究较多,
其工程背景是电子电路的非线性振荡。当 A=
0. 025 00 0. 162 28 0. 226 53 6. 407 9 6. 406 5 6. 407 5 6. 407 9
0. 050 00 0. 236 07 0. 324 92 6. 548 8 6. 542 2 6. 546 6 6. 548 7
0. 075 00 0. 298 22 0. 404 15 6. 710 2 6. 693 2 6. 704 3 6. 710 0 0. 100 00 0. 356 39 0. 474 77 6. 898 7 6. 863 3 6. 885 7 6. 898 3 0. 125 00 0. 414 21 0. 541 20 7. 124 6 7. 058 5 7. 098 5 7. 123 4
文章编号: 1007-9432( 2000) 05-0516-05
V ol. 31 N o. 5 Sep. 2000
强非线性 Duffing 方程的摄动解
李银山, 郝黎明, 树学锋
( 太原理 工大学应用力学研究所)
摘 要: 用参数展开摄动法和改进的 L -P 方法求解强非线性 D uf f ing 方程。与寻常的摄动法相 比, 具有较高的精度。
( 31)
其中:
A=
第六章 摄动方法ppt课件
1 a 关于 1 步(即 1 项)没有作修正，将 0 代入 2 的方程有
" 2
1 3 13 ' t 0 c o s t ,2 0 00 2 2 6 6
该问题可用常数变易法或系数待定法求解。注意 到
1 c o st c o s 3 t 3 c o s t ，得 4
记
n1 x Rx n ! e x x n ed x
x
R 0，则 固定 x 时， ,0 ，若 n n x
n 1 ! 11 ! (13) f x2 … n … xx x
由 D ,0 时处处发 . A l e m b e r t 方法知，级数在 x
n 1
1 ，( n1 x
n 固定)，
表明 x 0 ，x
充分大时，可用：
n 1! 1 1 ! 2 … n x x x
作为 f x 的近似式，记为
n 1 ! 1 1 ! fx ~ … n … x 0 , x 2 x x x
可见渐近展开式是固定 n ，考虑
x 变化，而幂级数
是固定 x ，考虑 n 时的变化。
对于前面得到的单摆问题的近似公式:
1 1 1 t , a c o s ta c o s t c o s 3 t t s i n t (*) 1 9 2 1 9 2 1 6
n
为 f t , 当 0 时在区间 a , b 上一致有效的 n 阶渐近近似式。
定义2：设有 的函数序列： 1 , , ,, … , … 0 1 2 n
非线性常微分方程高阶谐波平衡法傅里叶展开的简化
非线性常微分方程高阶谐波平衡法傅里叶展开的简化唐元璋;翁雪涛;楼京俊;林雄伟;张晖【摘要】简化了一种求取非线性常微分方程高阶谐波解的近似解析计算方法。
对平方和立方非线性项的傅里叶展开过程进行改进和简化，使计算过程变为两次矩阵运算即可完成展开过程，且两次矩阵运算过程一致，易于编程。
以Duffing方程为算例，计算结果与数值方法一致，运算效率有所提高。
%A simplified computation method of the high-order harmonic solution for nonlinear ordinary differential equations is discussed. Fourier expansion procedure of the equation with quadratic or cubic terms is improved and simplified. The procedure consists of two steps of matrix operation with the same computation process so that the algorithm is easier to program than that of the previous equation. Results of the solution for the Duffing equation using this method show that the high-order harmonic solution is in good agreement with its numerical solution, but more efficient than the latter one.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】6页(P28-33)【关键词】振动与波;非线性常微分方程;Duffing方程;傅立叶展开;谐波平衡法【作者】唐元璋;翁雪涛;楼京俊;林雄伟;张晖【作者单位】海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033;海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033;海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033;海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033;海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033【正文语种】中文【中图分类】O175.14线性隔振系统存在共振难避免等问题[1，2]。
一类有正阻尼的强非线性振动问题的解析解
吴荣兴，男，宁波大学机械工程与力学学院，博 士研 究生，研 究方 向：非线性振动理论 （ 浙江 宁波 ３ ５ １） １２ １
第４ 期第 ６ ８页
陈乐平 ， 一类有正阻尼 的强非线性振动 问题 的解析解 等：
２０ 年 ｌ ０９ ２月
线性解 ，分别为 ：
“＋８ｓ０＋８０９（３）ｉ＋３ 。８ ＝０５ （５．）０ｉ１３ 、８＋４ ・１ １ ｔ８ ．Ｉ＋３三 ３ ．， １ ｔ ． ３＋５ｎ ８＿ ． 。 ７ｉ６ １３０ｓ ． ＿ｎ１ ￣。 ． ｎ ・ ２ ｔ ３ ３ ｓ
果 的应用 留下 了疑 问。 ２ 同伦分 析法求解
现在 我们开始 对 （）利用 同伦分析方法 进行求解 ，根据 初始条件 ，可 以选定初 始猜测 解为 ， １
ｕ＝ ｏｔ ｏ Ａｃ ｓ ． （） ５
根据 （）的性质 ，可 以定义非线性算子 为 ， １
；
［ ’ ，
（ ６ ）
次和两 次导数 。这 里 当阻尼系数 ￡≥１ ，方程就变 为强 非线性 和强 阻尼 振动方 程 。 时
袁镒 吾等使用 线化摄 动法 ，权 残法和 插值摄 动法相 结合 的方法 分别求得 了 （）的强非线 性解和 弱非 １
收 稿 日期 ： ２０ ０ ９— ０ ６— １ ９
作者简介 ：陈乐平，男，浙江纺织服装职业技术学院，讲师，在读 博士，研 究方向：机械／ 模具 Ｃ ＡＥ （ 浙江 宁波 ３ ５ １） １２ １
摘
要 ：阐述利用最新提 出的同伦分析方 法求解有正 阻尼的强非线性振动方程 ，得到 了该方程 的六阶近似解析解 。
计 算结果表明 ，本文得 到的结果与多尺度 法、混合近似法以及数值计算方法得到的结果非常接 近 ，而且 同伦 近似 解提供
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第卷第期年月力学季刊王
奇异摄动方法在输电线非线性振动问题中的应用蒋扇英,徐鉴
同济大学航空航天与力学学院上海摘要同一系统内部快变量和慢变量的同时存在往往引发相异于一般系统的特殊效应比如输电线的松弛振
荡本文推导了架空输电线具有初始垂度的非线性动力学模型发现该模型是具有快慢变量藕合的数学模型应用求解周期运动的奇异摄动方法得到系统的近似解析解考察了快慢变量对系统周期运动的影响规律结果表明解析解较数值解略微偏小但仍有很好的吻合度说明本文结果的有效性和正确性进一步计算表明随
着摄动方法应用过程中近似次数的增加两解逐次接近
关键词快慢变系统输电线奇异摄动近似解长期项
中图分类号文献标识码文章编号
了从
卜梦艺愈
本文所要研究的快慢变祸合系统是一类特殊的系统因其系统内部同时存在快变量和慢变量而得名〔‘〕所谓快慢变是指系统内部的惯性力阻力和恢复力及干扰力等参数随时间的自然单位相比变化快
慢有量级上的差别由于同一系统内各个变化量存在不同的时间尺度往往引发相异于一般系统的特殊效应比如生理学神经元模型是典型的快慢变模型〔卜〕对神经元模型的研究从世纪年代开始逐步朝着约化和精确定量的方向发展随着各学科的交叉融合神经元模型的生物电效应等已引起力学
收稿日期基金项目国家自然科学基金和上海市优秀学科带头人计划
作者简介蒋扇英女博士生研究方向非线性动力学电话力学季刊第卷
数学生理学工作者的广泛关注典型的快慢变系统还有输电线的弛振效应在输电线大晃动问题中尺
度的不同引发电线
张弛振
动表现为每一循环中运动的不平顺性即存在一段很快的运动然后是一段很慢的运动这种不平顺性在一定程度上会造成输电线的破坏本文通过推导架空输电线具有初始垂度的非线性动力学模型发现该模型是具有快慢变量祸合的数学模型应用求解周期运动的奇异摄动方法得到系统的近似解析解考察了快慢变量对系统周期运动的影响规律结果表明解析解与数值解有很好的吻合说明本文结果的有效性和正确性
输电线快慢变非线性动力学模型
输电导线的舞动是偏心覆冰导线在外界激励比如自然环境中的风雨等下产生的一种低频大振幅的非线性振动困输电导线的大振幅晃动伴随着大量的能量释放与转换因此势必对杆塔电力设施部件及导线自身造成损害更是引发输电线路发生故障的重大隐患轻则造成线路频繁跳闸与停电重则造成巨大的经济损失和社会影响
对于输电线舞动问题的研究可以追溯到世纪年代其后输电线舞动事故较多的美加苏
英日等国相继投入了巨大的人力物力世纪年代加拿大冰雪天气造成输电线大量损坏更是引发了学术界和工程界对导线大晃动问题的研究热潮输电线舞动问题是一个综合性的大课题不同领域的
工作者们所侧重的研究方向也各不相同但是归结起来大致可分为导线舞动的形成因素舞动机理防舞
措施及相关理论模型与现场试验计算机仿真等若干方面
川
对于振动学界来说输电线振动问题始终是非线性振动领域非常常见和典型的一个问题由于输电线抗破坏能力的提高在实际工程应用中有着巨大的安全价值和经济价值从世纪年代开始冰雪风雨天气下缆线振动问题引起学术界和工程界的广泛关注二在的横向舞动基础上提出了输电线路导线的由自激扭转诱发舞动机理和从理论和实验角度研究复杂缆线质量系统的自由振动和州等分析了缆线振动轴向控制问题我国学者肖锡武‘’针对具有初始挠度的悬垂线在面内谐振力作用下的非线性振动问题用多尺度法研究悬垂缆线的主共振超谐波共振和次谐波共振得到了系统定常周期解张仁述「‘月等推导了考虑初始弛度的输电线的非线性偏微分方程应用多尺度法和法求得了受谐扰力和脉冲激励的输电线非线性振动响应的近似解杨志安「‘〕等研究了输电线在温度场中谐扰力作用下的亚谐共振问题输电线振动是导线在外界风雪等激励作用下产生的一种非线性运动是实际工程应用引起输电线路发生故障的主要原因之一与上述这些不同本文重点考虑快慢变量祸合引起的输电线舞动机制由于架空输电线往往处于悬链状态导线横截面积与两端的杆塔之间跨度相比非常小因此在建立输电线力学模型时可以
将其抽象
为以中心线为代表的两端支撑在相同水平面上的弹性悬链线建立弹性悬链线二维坐标系静态平衡曲
线在铅垂平面吻内在静平衡位置导线跨中二令处具有初始垂度设初始张力为导线的
跨度为横截面积为材料弹性模量为为了建立导线运动方程取跨中微元为研究对象记其所对应的导线跨中线段为汽始端尸沿二
轴梦轴的位移分别为、劣幼和侧二艺末端尸沿二轴
根据原理导出输电线横向振动偏微分方程
二,’二
跳,
细的侄移分别刀肠十丽工和十丽叽
影。娶契十熟拭豁豁·
合翱
“
‘考虑输电导线受均布横向荷载作用的情况设均布横向荷载为尸。〕艺导线的初始垂度和
位移分别为、“,“罕和沙‘‘,。。罕。‘,”人适当的无量纲化量对方程‘,应用伽辽金第期蒋扇英等奇异摄动方法在输电线非线性振动问题中的应用过程并考虑第一阶模态得到无量纲化的输电线横向振动常微分方程、’一】
田
其中母表示对二阶求导且
二几
“
气一了
盯。兀久
一一
奇异摄动方法求方程近似解在本文中我们考虑材料阻尼不可忽略的输电导线在均布谐扰力作用下的运动设月几
为扰力频率则
几一
山
一一田
广
考虑材料阻尼则方程变为无汤
劣扩
合·‘”“
旦
其中月
一’一。‘一。
成为硫礴
考虑主共振的情形即门七。二,二一一
又日米学￡二一只组力不宝口
少
。劣专。。‘
方程表明惯性力和阻力与非线性恢复力处于不同量级为了应用奇异摄动发对方程做变换令汾万可得到如下方程组
尸。艺一,一
助劣
下了劣
劣斗
之
我们寻找如下形式的解劣二叽毗十扩汽二叭翎扩热
二
将式代人中略去。,以上项金。。企,。金,军
。
则有。万。,
女。。女。女。尸月一二。。、,。一月万。。,,。,万
‘·。一￡“一,合·。一,
二
“
一,
〕
将方程组展开化简比较。直到二阶的各阶同次幂系数得到三个方程组可分别求解的各阶近似值二二。和
首先比较。的零次幂的系数得到
泌一气二、一劣之
我们可以发现方程组的第二式为代数方程方程性质发生变化故而产生奇异性川一般来说普通的摄动方法在此失效〔’〕力学季刊第卷
求解方程组的第二式得劣￡。,“劣。二一将式代人方程组第一式即对常数求导从而召。比较。得到朴以。口一劣。一内。一
并且考虑到,
为方便起见记式中所得的代数方程解为二。“
。则方程组成为
几一一劣,一龙一劣
同样先求解第二式代数方程得二月亡一
对式求导代人方程组第一式得到纳劣口口艺
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将式代人方程组第二式得到口”月几艺一月几月门一
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求解第二式代数方程得
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对式求导代人方程组第一式则有
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日几
十
一尸几一门几
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最后将各阶近似计算结果和代入经整理得到方程组的二次近似
解为
工劣。之￡劣