24 诱导公式(2)
2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
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THANKS
感谢观看
2024/3/24
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周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
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解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
高中数学：三角函数的诱导公式 (6)
1.3 三角函数的诱导公式(第一课时)[教材研读]预习课本P23～26，思考以下问题1．给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？2．给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？3．给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？[要点梳理]1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如右图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如右图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα.cos(－α)＝cosα.tan(－α)＝－tanα.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称． 如右图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin α. cos(π－α)＝－cos α. tan(π－α)＝－tan α.4．α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．诱导公式中角α是任意角. ( )2．公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) 3．公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立．( ) [★答案★] 1.× 2.× 3.√题型一 给角求值问题思考：sin30°＝________，cos30°＝________ sin45°＝________，cos45°＝________ sin60°＝________，cos60°＝________ sin90°＝________，cos90°＝________ 提示：12 32 22 22 32 12 1 0求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[思路导引] 利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函数．[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°) ＝tan225°＝tan(180°＋45°) ＝tan45°＝1.(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【温馨提示】 明确各诱导公式的作用求sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°的值． [解] sin585°cos1290°＋cos(－30°)·sin210°＋tan135°＝sin(360°＋225°)·cos(3×360°＋210°)＋cos30°sin210°＋tan(180°－45°)＝sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos30°·sin(180°＋30°)－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°·sin30°－tan45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二 化简求值问题思考：化简cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________.提示：原式＝cos α·tan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α ＝cos α·sin αcos αsin α＝sin αsin α＝1. 故原式＝1.化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.[思路导引] 利用诱导公式一～四化简． [解] (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70° ＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. [跟踪训练] 化简下列各式．(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)；(2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). [解] (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin30°－tan45° ＝12.题型三 给值(或式)求值问题思考：α－75°、105°＋α与特殊角有什么关系？能否通过诱导公式寻求α－75°与105°＋α的三角函数值之间的联系？提示：105°＋α＝180°＋(α－75°)．可通过诱导公式二寻求联系．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值． [思路导引] 要寻找已知角与未知角之间的联系，然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示，从而得出结论．[解] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.[变式] 在本例条件下，求： (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值；(2)sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值． [解] (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝33.(2)∵sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23故sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝23.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．[跟踪训练](1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1 B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________．[解析] (1)∵cos(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β) ＝－sin β＝－13.(2)∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.[★答案★] (1)D (2)223课堂归纳小结1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公式的应用．2．要掌握诱导公式的三个应用(1)给角求值问题，见典例1；(2)化简求值问题，见典例2；(3)给值(式)求值问题，见典例3.3．本节课要牢记诱导公式的内容(1)诱导公式二、三、四可以概括成：f (π＋α)＝±f (α)，f (－α)＝±f (α)，f (π－α)＝±f (α)，其中等号右边的“±”号只取其一，规律口诀是“函数名不变，符号看象限”．例如sin(π＋α)＝－sin α，就是正弦函数名不改变，而α看成是锐角，则π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故符号取“－”．(2)上述诱导公式都是为了化任意角成锐角α的，如果α为其他范围的角也都成立。
高中数学三角函数诱导公式
高二暑假班第十讲诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a 看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α（k ∈Z ）的三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos ；cos →sin ；tan →cot ，cot →→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
1.3三角函数的诱导公式(一)2课件人教新课标
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题型二 化简求值问题
【例 2】 (1)计算：cosπ7＋cos27π＋cos37π＋cos47π＋cos57π＋cos67π ＝________； 解析 原式＝cosπ7＋cos27π＋cos37π＋cos(π－37π)＋cos(π－27π) ＋cos(π－π7)＝cosπ7＋cos27π＋cos37π－cos37π－cos27π－cosπ7＝ 0． 答案 0
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【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角 α 是任意角．( ) (2)sin(α－π)＝sin α.( ) (3)cos43π＝－12.( ) 提示 (1)×，正、余弦函数的诱导公式中，α 为任意角，但 是正切函数的诱导公式中，α 的取值必须使公式中角的正切 值有意义． (2)×，sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α． (3)√，cos43π＝cos(π＋π3)＝－cosπ3＝－12．
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(2)化简：cosπs＋inαπ＋coαsc3oπs－－ααta－nππ＋α．
解
原式＝－c－ossαin·α－－cocsoαs·αtan
α＝csoins
α sin α ·cos
αα＝1．
规律方法 三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的情势． ②根据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转 化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
公 sin(－α)＝__－__s_i_n_α___，cos(－α)＝___c_o_s_α____， 式 tan(－α)＝－tan α
高三数学诱导公式试题答案及解析
高三数学诱导公式试题答案及解析1.已知函数，，则的最大值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】∵，所以当时，函数的最大值为.【考点】诱导公式、配方法、三角函数的最值.2.已知函数，，则的最大值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】∵，所以当时，函数的最大值为.【考点】诱导公式、配方法、三角函数的最值.3.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】.又因为，所以为三象限的角，.选B.【考点】三角函数的基本计算.4. tan300º=_______．【答案】【解析】.【考点】三角函数及其诱导公式.5.已知，，则= ．【答案】【解析】由，得从而所以解决三角函数给值求值问题，关键从角的关系上进行分析.【考点】三角函数给值求值.6.已知,,则 .【答案】【解析】，又，则【考点】三角函数运算.7.已知，则的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得即.即..由诱导公式可得.故选C.【考点】1.角的和差公式.2.三角函数的化一公式.3.三角函数的诱导公式.8.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差教列．(I)若，求边c的值；(II)设，求的最大值．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由角成等差数列，及，首先得到.进一步应用余弦定理即得所求.（Ⅱ）根据，可化简得到根据,即可得到时，有最大值.试题解析：（Ⅰ）因为角成等差数列，所以，因为，所以. 2分因为，，,所以.所以或(舍去)． 6分（Ⅱ）因为，所以9分因为，所以,所以当，即时，有最大值. 12分【考点】等差数列，和差倍半的三角函数，，三角函数的性质，余弦定理的应用.9.已知为等差数列，若，则的值为________.【答案】.【解析】由于数列为等差数列，所以，所以，故.【考点】1.等差数列的性质；2.诱导公式10.如果，那么 .【答案】【解析】因为，即，．【考点】诱导公式．11.已知向量，，函数.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移个单位，得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.【答案】（1）函数的单调递增区间为；（2）.【解析】（1）先利用平面向量数量积的运算求出函数的解析式，结合辅助角公式将函数的解析式化简为，在，的前提下，解不等式得到函数的单调递增区间；（2）先利用得到的值，然后利用函数图象变换求出函数的解析式，并利用二倍角公式求出的值.试题解析：（1），，解得：，所以的单调递增区间为；（2），由（1）得，，，将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，得：，再向左平移个单位，，得.【考点】1.平面向量的数量积；2.三角函数的单调区间；3.三角函数图象变换；4.二倍角公式12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q=（，1），p=（，）且．(1)求的值；(2)求三角函数式的取值范围?【答案】(1)；(2).【解析】(1)由向量平行的坐标表示可知，，利用正弦定理将此式转化为，再结合以及可解得，，根据特殊角的三角函数值可知，，从而解得；(2)先由二倍角公式、同角三角函数的基本关系、差角公式将函数式化简得到函数式，由，先求出，从而由三角函数的图像与性质得到，即是所求.试题解析：(1)∵，∴，根据正弦定理得，，又，∴，∵，∴，又∵，∴，∴. 6分(2)由已知得，，∵，∴，∴，∴，∴三角函数式的取值范围是：. 12分【考点】1.向量平行的坐标表示；2.特殊角的三角函数值；3.正弦定理；4.三角函数的图像与性质；5.二倍角公式13.若，，，则的值为【答案】【解析】因为，所以，故，，故．【考点】两角和与差的三角函数恒等变化．14.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用三角函数诱导公式及两角和差的三角函数.（Ⅱ）根据正弦定理先求的长，利用三角形面积公式求解.本题不难，思路比较明确，要注意认真计算.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以. （3分）所以. （6分）（Ⅱ）根据正弦定理得：，所以. （9分）. 12（分）【考点】三角函数诱导公式、两角和差的三角函数、正弦定理的应用.15.已知，则的值为_____________．【答案】【解析】，故答案为.【考点】三角函数诱导公式、二倍角公式.16.在中，角所对的边分别为，且，当取最大值时，角的值为 .【答案】【解析】利用正弦定理化简已知的等式得，整理得，两边除以得，，，∵是三角形内角，且同号，∴都是锐角，即，当且仅当，即时取等号，故.【考点】两角和与差的正切函数，正弦定理，基本不等式.17.如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；（2）设,求面积的最大值及此时的值.【答案】（1）；（2）时，取得最大值为.【解析】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力.第一问，在中，，，由余弦定理求边长；第二问，在中，利用正弦定理，得到，，三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值.试题解析：（1）在中，，，由，得，解得.（2）∵，∴，在中，由正弦定理得，即，∴，又，.记的面积为，则∴时，取得最大值为.【考点】1.余弦定理；2.正弦定理；3.二倍角公式；4.降幂公式；5.两角和与差的正弦公式.18.= （）A．4B．2C．D．【解析】.【考点】1.二倍角正弦公式；2.差角的正弦公式19.已知平面直角坐标系上的三点，，，为坐标原点，向量与向量共线．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）法一是利用两平面向量共线的基本定理得到坐标之间的关系，进而利用弦化切的方法求出的值；法二是利用平面向量共线的基本定理结合坐标运算得到向量与的坐标之间的关系，然后利用除法求出的值；（2）利用（1）中以及同角三角函数中的商数关系和平方关系并结合角的范围列方程组求出和的值，进而求出和的值，最终再利用两角差的正弦公式求出的值.试题解析：法1：由题意得：，， 2分∵，∴，∴． 5分法2：由题意得：，， 2分∵，∴，∴，∴． 5分（2）∵，，∴， 6分由，解得，， 8分∴； 9分； 10分∴． 12分【考点】1.平面向量的坐标运算；2.同角三角函数的基本关系；3.二倍角；4.两角差的正弦公式20.若，则= .【答案】【解析】令则，所以【考点】三角函数的诱导公式及倍角公式.21.已知,则的值为( )A．B．C．D．【解析】因为，，所以，两边平方得，，由诱导公式，，故选A.【考点】三角函数诱导公式、倍角公式.22.若，则= .【答案】【解析】由，得，再由二倍角公式得.【考点】三角函数的诱导公式、二倍角公式.23.若，则=（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】，选A.【考点】三角函数的倍角公式、诱导公式.24.若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，选B.【考点】三角函数诱导公式.25.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用诱导公式、二倍角公式计算..【考点】诱导公式、二倍角公式26.已知，那么( )A．B．C．D．【解析】，选C.【考点】三角函数诱导公式27.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】=28.已知，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查诱导公式和二倍角余弦公式.故选B29. (2010年苏州调研)已知tanx＝sin(x＋)，则sinx＝______________.【答案】【解析】略30.已知，则a= 。
17_§4_2 同角三角函数的基本关系和诱导公式
同类练1
若tan
α=2,则
sin sin
α α
cos cos
α α
+cos2α=
(
A
)
16
16
8
8
A. 5 B.- 5 C. 5 D.- 5
考点突破 栏目索引
解析
∵tan
α=2,∴
sin sin
α α
cos cos
α α
+cos2α=
sin sin
α α
cos cos
α α
5
7
25
25
3
(2)(202X浙江镇海中学阶段性测试)已知3sin α+4cos α=5,则tan α= 4
.
解析 (1)∵sin α+cos α=1 ,
5
∴1+2sin αcos α= 1 ⇒2sin αcos α=- 24,
25
25
∴(cos α-sin α)2= 49 ,又∵- <α<0,∴cos α>0>sin α,
sin α
(2)商的关系:② cosα =tan α(α≠ 2 +kπ,k∈Z) .
教材研读 栏目索引
2.三角函数的诱导公式
组序
一
二
三
角
2kπ+
π+α
-α
α(k∈Z)
四
五
六
π-α
2 -α
2 +α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos α
③ cos α
余弦
cos α
-cos α
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
高三数学诱导公式试题答案及解析
高三数学诱导公式试题答案及解析1.设且则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，，去分母得，，所以，，又因为，，所以，即，选C．【考点】1、和角的正弦公式；2、同角三角函数基本关系式；3、诱导公式．2.已知函数，，且.（1）求的值；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入函数的解析式求出的值；（2）先利用已知条件，结合两角和与差的正弦公式求出的某个三角函数值，然后将代入函数的解析式，并结合诱导公式对进行化简，最后利用同角三角函数的基本关系求出的值.试题解析：（1），所以，；（2），，，，则，.【考点】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题.3.已知，则的最小值和最大值分别为（）A．B．-2，C．D．-2,【答案】A【解析】，因为，所以，，当时，.故A正确.【考点】1诱导公式、二倍角公式；2二次函数求最值.4.若，则．【答案】【解析】,∴，平方得，∴．【考点】诱导公式、倍角公式.5.若，则．【答案】【解析】,∴，平方得：，∴．【考点】诱导公式、倍角公式.6.已知函数，，则的最大值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】∵，所以当时，函数的最大值为.【考点】诱导公式、配方法、三角函数的最值.7.已知函数，，则的最大值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】∵，所以当时，函数的最大值为.【考点】诱导公式、配方法、三角函数的最值.8.函数的图象的一条对称轴的方程是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】对该函数进行化解则对称轴满足，得.当时，故选C【考点】对称轴正余弦和差角公式诱导公式9.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用降幂公式及诱导公式得【考点】1、降幂公式；2、诱导公式.10.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？【答案】（1）124m（2）55m【解析】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，所以tan(α－β)＝，当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.11.已知，则的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得即.即..由诱导公式可得.故选C.【考点】1.角的和差公式.2.三角函数的化一公式.3.三角函数的诱导公式.12.已知为等差数列，若，则的值为________.【答案】.【解析】由于数列为等差数列，所以，所以，故.【考点】1.等差数列的性质；2.诱导公式13.如果，那么 .【答案】【解析】因为，即，．【考点】诱导公式．14.已知（）A．B．C．D．-2【答案】A【解析】，.【考点】1.齐次式的计算；2.平方关系.15.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角，再化为一个三角函数的形式，从而求出函数的周期.（2）x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f（x）的范围是本题考查三角函数的单调性，最值，三角函数的化一公式，涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化，角度统一，二次式化为一次的，三角函数名称相互转化.切化弦，弦化切等数学思想.试题解析：(1)因为 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.16.已知，则的值为．【答案】．【解析】由，则上式两边平方得，解得.【考点】三角函数的两角和差化积公式和二倍角公式.17.已知则．【答案】．【解析】因，得，所以.【考点】三角函数的两角和差化积公式.18.若，则__________．【答案】．【解析】因，则，所以．【考点】三角函数的诱导公式及二倍角公式．19.设向量，若，则=__________.【答案】【解析】由，则，所以，故.【考点】1.向量的垂直坐标表示；2.两角差和的正切公式应用.20.已知，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，所以.【考点】和角的正切公式21.已知,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】化简，故选C.【考点】1.三角函数的恒等变形；2.诱导公式.22.在中，角所对的边分别为，且，当取最大值时，角的值为 .【答案】【解析】利用正弦定理化简已知的等式得，整理得，两边除以得，，，∵是三角形内角，且同号，∴都是锐角，即，当且仅当，即时取等号，故.【考点】两角和与差的正切函数，正弦定理，基本不等式.23.若，则= .【答案】【解析】得，又.【考点】1.诱导公式；2.倍角公式.24.已知，则的值为 .【答案】.【解析】，所以.【考点】1.诱导公式；2.弦化切25.已知,则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，两边平方得，，由诱导公式，，故选A.【考点】三角函数诱导公式、倍角公式.26.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用诱导公式、二倍角公式计算..【考点】诱导公式、二倍角公式27.已知，则的值（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.28.= （）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查诱导公式,特殊角的三角函数值.由终边相同角公式把大角化为小角，然后用其它诱导公式.故选C29.记,那么（）A．B．-C．D．-（【答案】B【解析】略30.已知。
高中数学诱导公式精选题2
诱导公式精选题一．选择题（共16小题）1．已知sin（+α）＝，cosα＝（）A．B．C．D．2．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．3．的值是（）A．B．C．D．4．已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A．B．C．D．﹣5．sin585°的值为（）A．B．C．D．6．设tan（π+α）＝2，则＝（）A．3B．C．1D．﹣17．＝（）A．B．C．﹣1D．18．sin405°的值为（）A．1B．﹣C．D．﹣9．若，那么的值为（）A．B．C．D．10．定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sin x）⊗（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）A．B．C．2D．111．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A＞sin B，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形12．tan300°+的值是（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+ 13．tan300°+sin450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+ 14．已知cos20°＝m，则sin190°的值是（）A．B．C．D．15．若，且π＜x＜2π，则x等于（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin（x+）是（）A．奇函数B．非奇非偶函数C．常数函数D．偶函数二．填空题（共7小题）17．计算：＝．18．如果sinθ＝，且θ是第二象限角，那么sin（θ+）＝．19．sin（﹣300°）＝．20．已知tanα＝2，则的值为．21．已知，则＝．22．求值sin（﹣）+cos＝．23．sin（﹣π）的值为．三．解答题（共1小题）24．已知．（1）化简f（α）；（2）已知tanα＝3，求f（α）的值．诱导公式精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．已知sin（+α）＝，cosα＝（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）＝sin（2π++α）＝sin（+α）＝cosα＝．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为第二象限角，sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣，则tan（π+α）＝tanα＝﹣．故选：D．【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．的值是（）A．B．C．D．【分析】原式三个因式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝sin（π+）•cos（π﹣）•tan（﹣π﹣）＝﹣sin•（﹣cos）•（﹣tan）＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用诱导公式把要求的式子化为sin（30°+α），利用条件求得结果．【解答】解：cos（60°﹣α）＝sin[90°﹣（60°﹣α）]＝sin（30°+α）＝，故选：C．【点评】本题主要考查利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．5．sin585°的值为（）A．B．C．D．【分析】由sin（α+2kπ）＝sinα、sin（α+π）＝﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°＝sin（585°﹣360°）＝sin225°＝sin（45°+180°）＝﹣sin45°＝﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．6．设tan（π+α）＝2，则＝（）A．3B．C．1D．﹣1【分析】由tan（π+α）＝tanα及正余弦诱导公式把要求代数式转化为tanα的代数式即可．【解答】解：由tan（π+α）＝2，得tanα＝2，则．故选：A．【点评】本题考查诱导公式及化归思想．7．＝（）A．B．C．﹣1D．1【分析】由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：＝tan（π+）＝tan＝1．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．8．sin405°的值为（）A．1B．﹣C．D．﹣【分析】直接按照三角函数诱导公式计算即可．【解答】解：sin405°＝sin（360°+45°）＝sin45°＝故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用：求值．属于基础题．9．若，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：若，那么＝sin[﹣（α+）]＝sin （﹣α）＝﹣sin（α﹣）＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．10．定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sin x）⊗（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）A．B．C．2D．1【分析】根据题意利用新定义及三角函数恒等变换的应用可求sin（2x﹣）＝，求出y＝sin（2x﹣）的函数图象关于直线x＝对称，得出x1，x2的关系，利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵（sin x）⊗（cos x）＝2，∴由题意可得：2sin x（sin x+cos x）﹣3＝2，可得：sin2x﹣3cos2x＝2，∴2sin（2x﹣）＝2，即：sin（2x﹣）＝，由于y＝sin（2x﹣）的函数图象关于直线x＝对称，且f（）＝1，∴可得x1+x2＝，即x1＝﹣x2，∴cos（x1﹣x2）＝cos（﹣2x2）＝cos（﹣2x2）＝sin（2x2﹣）＝f（x2）＝．故选：B．【点评】本题主要考查了新定义及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．11．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A＞sin B，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】利用cos（﹣α）＝sinα及正弦函数的单调性解之．【解答】解：因为cos A＞sin B，所以sin（﹣A）＞sin B，又角A，B均为锐角，则0＜B＜﹣A＜，所以0＜A+B＜，且△ABC中，A+B+C＝π，所以＜C＜π．故选：C．【点评】本题考查诱导公式及正弦函数的单调性．12．tan300°+的值是（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+【分析】直接利用诱导公式求解即可．【解答】解：tan300°+＝﹣tan60°+＝1﹣．故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，注意正确利用诱导公式的化简求值，考查计算能力．13．tan300°+sin450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°＝tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）＝﹣tan60°+sin90°＝﹣+1＝1﹣，故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，熟记公式是解决问题的关键，属基础题．14．已知cos20°＝m，则sin190°的值是（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角公式得到1﹣2sin210°＝m，求出，利用三角函数的诱导公式得到sin190°＝sin（180°+10°）＝﹣sin10°进一步求出其值．【解答】解：因为cos20°＝m，所以1﹣2sin210°＝m，所以，因为sin190°＝sin（180°+10°）＝﹣sin10°＝﹣，故选：B．【点评】本题考查三角函数的诱导公式及三角函数的二倍角公式的应用，解决给值求值题时，应该先将已知与待求的式子先化简，再找它们间的联系．15．若，且π＜x＜2π，则x等于（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式化简三角函数式，通过角的范围求出三角函数对应的角的值．【解答】解：，，．故选：B．【点评】本题是基础题，考查诱导公式的应用，已知三角函数值求角，送分题目．16．函数f（x）＝sin（x+）是（）A．奇函数B．非奇非偶函数C．常数函数D．偶函数【分析】由题意，利用诱导公式可求函数解析式为f（x）＝cos x，由余弦函数的性质可得函数f（x）是偶函数，由此得解．【解答】解：f（x）＝sin（x+）＝cos x，由余弦函数的性质可得函数f（x）是偶函数．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，余弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．二．填空题（共7小题）17．计算：＝．【分析】直接利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：由＝cos（4π﹣）＝cos＝．故答案为：．【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力．18．如果sinθ＝，且θ是第二象限角，那么sin（θ+）＝﹣．【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式，直接求出所求表达式的值．【解答】解：因为sinθ＝，且θ是第二象限角，所以sin（θ+）＝cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．19．sin（﹣300°）＝．【分析】由sin（α+2π）＝sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin（﹣300°）＝sin（360°﹣300°）＝sin60°＝，故答案为．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．20．已知tanα＝2，则的值为﹣3．【分析】利用诱导公式将原式化简为：＝，再将tanα＝2代入计算即可．【解答】解：∵tanα＝2，∴＝＝＝﹣3．∴的值是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查诱导公式的作用及三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是关键，属于基础题．21．已知，则＝．【分析】设α+＝β，则α＝β﹣，将所求式子转化为关于β的三角函数式，运用诱导公式和同角的商数关系式，计算可得所求值．【解答】解：可令α+＝β，则α＝β﹣，则tanβ＝2，＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简和求值，考查诱导公式的运用和同角的三角函数的基本关系式的运用，考查运算能力，属于基础题．22．求值sin（﹣）+cos＝0．【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝sin（﹣4π+）+cos（2π﹣）tan4π﹣cos（4π+）＝sin+0﹣cos＝+0﹣＝0．故答案为：0【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．23．sin（﹣π）的值为．【分析】利用诱导公式，故问题得解．【解答】解：sin（﹣π）＝，故答案为【点评】本题主要考查诱导公式的运用，属于基础题．三．解答题（共1小题）24．已知．（1）化简f（α）；（2）已知tanα＝3，求f（α）的值．【分析】（1）利用诱导公式可得＝cosα，sin（﹣π﹣α）＝sinα，＝﹣sinα，cos（5π﹣α）＝﹣cosα，进而化简化简f（α）；（2）由tanα＝3，将（1）中化简所得式子，分子分母同除以cosα（弦化切）后，代入可得答案．【解答】解：（1）＝（2）∵tanα＝3∴f（α）＝＝＝＝﹣2【点评】本题考查的知识点是诱导公式，同角三角函数间的基本关系，（1）的关键是理解“奇变偶不变，符号看象限“的原则，（2）的关键是掌握“弦化切“的技巧．。
正弦、余弦的诱导公式(1)
， 当 0， 90 180 ， 当 90 ， 180 270 180 ， 当 180 ， 360 ， 当 270， 360
诱导公式二、三的推导过程
已知任意角 的终边与单位圆相交于点 Px，y ，
请同学们思考回答点 P 关于 三个点的坐标间的关系．
y ，关于 y 轴对称 点Px，y 关于 x 轴对称点 P 1 x，
y ． 点 P2 x，y ，关于原点对称点 P3 x，
x 轴、y 轴、原点对称的
演示课件
公式二：
sin 180 sin
cos cos
例题讲解
例1 求下列三角函数值： （1） sin 225 ；
cos 1290 （2）
；
11 （3）cos 240 12 ；（4）sin ． 10
cos 180 sin 360 例2 化简： ． sin 180 cos 180
正弦、余弦的诱导公式
能否再把 0～ 360间的角的三角函数求值，化为 我们熟悉的 0 ～ 90 间的角的三角函数求值问题呢？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可 以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到 最终解决，本课就来讨论这一问题．
设 0 90，对于任意一个0 到360 的角 ， 以下四种情形中有且仅有一种成立．
cos 180 cos
我们再来研究角 与 的三角函数值之间的关系， 如图，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点Px，y ， 角 的终边与单位圆相交于点 P，这两个角的终边关于
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教 学 过 程 与 内 容
师生活动
9．计算：sin315sin(480)+cos(330) （答案： 3
2 ） 2
10．若关于 x 的方程 2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数 a 的取值范围。
1 17 17 解： a 2 sin x ，所以： a ,1 4 8 8
5 7 ；(3)cos(-150º)；(4)sin 3 4
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奎屯
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解：(1)sin(－120º)=－sin120º=－sin(180º-60º)= －sin60º= (2)cos
5 1 =cos( 2 )=cos = 3 3 3 2
3 2
(3)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－cos30º= (4)sin
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王新敞
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例 6．化简：
sin [ (2n 1) ] 2 sin [ (2n 1) ] (n Z ) sin( 2n ) cos(2n ) sin[( ) 2n ] 2 sin[( ) 2n ] sin( ) 2 sin( ) = sin cos sin( 2n ) cos(2n )
解： 原式 cos2[
例 9若
f (cosx) cos17x, 求 f (sin x)
2
3
解：
f (sin x) f [cos(90 x)] cos[ 17(90 x)]
cos(4 360 90 17x) cos(90 17) sin 17x
(3) cos(-225º)=cos225º= cos(180º+45º)=－cos745º= (4) sin（-
7 7 1 ）=－sin =－sin =sin = 6 6 6 2 6
2 ； 2
例 2．求下列三角函数的值 (1)sin(-120º)；(2)cos
王新敞
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例 4．求值：sin(-1200º)·cos1290º+cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan8550 略解：原式=0 例 5．化简：
sin(3 ) cos( 4 ) cos( 5 ) sin( ) cos sin( ) cos 略解：原式= = =1 cos( ) [ sin( )] cos
2
四、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“ ”公式化为正角的三角函 数；2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数；3用“±”或“2 ”公式化 为锐角的三角函数
反 馈 练 习 教 学 后 记
1 3 ) ， 2 ．求： sin(2 ) 的值． 2 2 2 2、已知 cos ，角 的终边在 y 轴的非负半轴上，求 cos 2 3 的值． 3
1、已知 cos(
解：原式=
教 学 过 程 与 内 容 =
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sin 2 sin 3 = sin cos cos
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例 7 求 cos 2 (
) cos 2 ( )的值。 4 4
( )] cos2 ( ) sin2 ( ) cos2 ( ) 1 2 4 4 4 4 1 例 8 已知 sin ， sin( ) 1, 求 sin( 2 ) 3 2k (k Z ) 解： sin( ) 1 2 从而 sin(2 ) sin[2(2k ) ] sin(4k ) sin 1
11 1 13 2 ) ) ； （2） sin( 。 3 2 4 2 1 1 3 5、已知 cos( ) ，则 sin 。 4 4 2
6、设 是第二象限角且 cos 7、化简： cos
2
1 cos 2 2 2
1、 sin 3、函数 f x cos
x
3
x Z 的值域是（
A ） 。
A、 1, ,0, ,1 B、 1, 4、 （1） cos(
1 2
1 2
3 3 3 3 1 1 , 0, ,1 D、 , ,1 , ,1 C、 1, 1, 2 2 2 2 2 2
，则 是第 2
三
象限角。
cos 2 4 4
（答案 1）
8、已知 cos(75 )
0
1 0 0 ， 为第三象限角，求 cos 15 sin 15 的值。 3
（答案：
2 2 1 ） 3
课题
诱导公式（2）
课时 课型
1 新
知识与技能：能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进 行简单的三角函数式的化简及论证
王新敞
奎屯 新疆
教 学 目 标
过程方法与能力：在教学过程中让学生体验自身探索成功的喜悦，认识到转化矛盾是解决 问题的有效途径 情感态度与价值观：
重 点 分 析 难 点 分 析 学法 教具 板
三、练习题
1 1 3 3 19 。 A、 B、 C、 D、 的值等于（A） 2 2 2 2 6 x 2、已知函数 f x cos ，则下列等式成立的是（D ） 。 2 A、f 2 x f x B、f 2 x f x C、f x f x D、f x f x
诱导公式
诱导公式的灵活运用
三角板 投影仪
诱导公式（2）
书 设 计
例题
教 学 过 程 与 内 容
一、复习引入：诱导公式
师生活动
二、讲解范例： 例 1．求下列三角函数的值 (1) sin240º； (2) cos
5 7 ；(3) cos(-225º)；(4) sin（） 4 6 3 解： （1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º= 2 5 2 (2) cos =cos = cos = 4 4 2 4
3 ； 2
7 2 =sin( 2 )=－sin = 4 4 4 2 11 31 10 例 3．求值：sin －cos －sin 10 6 3 11 7 4 略解：原式=-sin 4 =-sin -cos -cos 2 -sin 10 3 6 6 3 1 1 +sin =sin +cos +sin = + +0 3090=1 3090 10 10 2 2 6 3