福建省漳州市2018届高三上学期期末调研测试+数学(理)+扫描版含解析

合集下载

2020年高考数学专题+一+第一关+以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题 (2)

2020年高考数学专题一压轴选择题第三关以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一四面体的外接球问题典例1．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】由图可知，，得，解得，，故选A。

S ABC -AB 4,4AB SA SB SC ====ABC32222OB OD DB =+()224r r=+3r =d ∴=【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（） A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得PA,PB ，PC 两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC 是正棱锥，P 在底面的身影是底面正三角形的中心O ，由面PAO ，再由，可知面PBC,所以可知，即PA,PB,PC 两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥P-ABC 可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以。

类型二三棱柱的外接球问题典例2．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（） A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】D.【解析】由已知条件得：1121sin 602AA ⨯⨯⨯⨯=12AA =，∵2222cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴BC =，设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R ==，∴球的表面积等于248ππ=.【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．【举一反三】【陕西省榆林市2018届高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（） A. 13B.C.D. 2【答案】A【解析】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=13，所以球的直径为：13．故答案为：A 。

福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题+PDF版含答案

2 2
A.
16
B.
8
C.
1 4
D.
1 2
7.已知 ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，且 OA AB AC 0 ，则向量 CA 在向量 CB 方向上的投影为 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
8.在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 AB A.
2BB1 ，则 AB1 与 BC1 所成角的大小为
正确的序号是 A. ②④
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．计算

0
(cos x 1)dx ___________.
14．若将函数 f ( x ) sin 2 x cos 2 x 的图象向左平移个单位，所得图象关于 y 轴对称，则的最小正值是___________.
2
（1）若关于 x 的方程 f x g x 只有一个实数解，求实数 a 的取值范围；（2）若当 x R 时，不等式 f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
18.（本题满分 12 分）函数 f x sin x 0, 所示，将 y f x 的图象向右平移
2 x y 1 0, 15.设关于 x,y 的不等式组 x m 0, 表示的平面区域为 D,若存在点 P(x0,y0) D ,满足 y m 0
x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是___________.
1 6.若直线 y=kx+b 与曲线 y=lnx+2 相切于点 P，与曲线 y=ln （x+1）相切于点 Q，则 k ________ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分 10 分）已知函数 f x x 1, g x a x 1 .

福建省龙岩市2018届高三上学期期末考试+数学(理)+扫描版含答案

数学（理科）参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14．311715．250x y +-= 16．2 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：2cos 2b C a c =-222222a b c b a c ab+-∴=- ………………2分222a c b ac ∴+-= 1cos 2B ∴=………………4分又在ABC ∆中，3B π∴= ………………6分法二：2cos 2b C a c =-2sin cos sin 2sin 2sin()B C C A B C ∴+==+ ………………2分sin 2cos sin C B C ∴= ………………3分又在ABC ∆中sin 0C ≠ 1cos 2B ∴=3B π∴=……………6分（Ⅱ）b = 3B π=∴由正弦定理知2sin c C =,2sin a A =22sin 4sin a c C A ∴+=+ ………………8分2sin 4sin()3C C π=++4sin C C =+cos cos sin )C C ϕϕ=+)C ϕ=+ （其中cos ϕ=） ………………10分 ∴在ABC ∆中，当sin()1C ϕ+=时，2a c +的最大值为……………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明： 1143(2)n n n a a a n +-=-≥113()n n n n a a a a +-∴-=- ………………1分113(2)n nn n a a n a a +--∴=≥-∴{}1n n a a +-是首项为21413a a -=-=，公比为3的等比数列 ……………3分∴11333n n n n a a -+-=⨯=213a a -= 2323a a -= 3433a a -= 113n n n a a ---=相加得12313(33313n nn n a a -----=++++==-………………5分312n n a -∴= ………………6分（Ⅱ）∴31()(1)(1)22n n nn n b a n n =-⋅-⋅=⋅- ………………7分∴1[123(1)]2n n S n =-+-++-当n 为偶数时，11224n n nS =⨯⨯= ………………9分当n为奇数时，1n -为偶数1112424n n n n n n S S --+=-=-=- …………11分综上可知 414n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数 ………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）解：连接VD ………………1分,VA VB AD BD ==VD AB ∴⊥① ………………2分VO ABC ⊥ 平面又 AB ABC ⊂平面VO AB ∴⊥② ………………3分由①②及,,VO VD V VD VO VCD ⋂=⊂平面AB VDC ∴⊥平面CD VDC ⊂ 平面AB CD ∴⊥ ………………5分又D AB 为的中点∴AC BC = ………………6分（Ⅱ）法一：连接OB ,由（Ⅰ）知CD AB ⊥9CD ∴=又,VA VB VC VO ABC ==⊥ 平面∴易得OB OC =设=OB OC r =则222(9)3r r -+= 5r ∴=VC = 5VO ∴= ……………8分过D 作DE ABC ⊥平面结合（Ⅰ）知,,DE DB DC 两两垂直∴可如图建立空间直角坐标系D xyz -易得(3,0,0)A -,(3,0,0)B ,(0,9,0)C ,(0,4,5)V∴(3,4,5)AV = ,(3,9,0)AC =………9分设平面VAC 的法向量为1111(,,)n x y z =∴111113450390x y z x y ++=⎧⎨+=⎩ ∴可取1(3,1,1)n =………………10分设平面VBC 的法向量为2222(,,)n x y z =同理可得2(3,1,1)n =-………………11分127cos ,11n n ∴<>==由图可知二面角A VC B --为锐角∴二面角A VC B --的余弦值为711……12分法二：过B 作BF VC ⊥交VC 于F ，连接AF易得AFC BFC ∆≅∆∴AF BF =,AF VC ⊥∴结合图形知AFB ∠就是二面角A VC B --的平面角θ ……………8分在VBC ∆中，由等面积法可得FB =………………10分又AF BF ==6AB =222637cos 29911FB FA AB FB FA θ+-∴===⋅∴二面角A VC B --的余弦值为711 ………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设()()y x N y M ,,,x 00，因为OMON 2=，所以⎩⎨⎧==0022y y x x ，………………2分把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==yy x x 212100代入12x 2020=+y ，得2C 的方程为148x 22=+y ……………4分（Ⅱ）因为ON OT ，OM ON ==2，所以OM3TM =，TPQ ∆的面积是OPQ ∆面积的3倍． ………………5分设直线PQ 方程为4+=kx y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x kx y ，得()030162122=+++kx xk ，由()222116430(12)8(215)0k k k ∆=-⋅⋅+=-≥，得2152k ≥① …………6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=148422y x kx y ，得()024162122=+++kx x k ，由()0)32(32)21(244162222>-=+⋅⋅-=∆k k k ，得232>k ② ………7分由①②得2152k ≥. ()()2222222113224211k k kk k PQ ++⋅-⋅=+∆⋅+=，O 到直线PQ 的距离214k d +=………………8分所以TPQ ∆的面积132S PQ d =⋅⋅⋅==………………9分==………………11分又2152k ≥，所以T P ∆面积的取值范围为. ………………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)2)(1()1(2)1(22)()(33x xe x x ex x x f x g ----=-+-=-+'='．令0)(='x g 得1=x 或2ln 3-=x ， ………………2分当1<x 或2ln 3->x 时，0)(>'x g ，当2ln 31-<<x 时，0)(<'x g ，所以函数)(x g 单调递增区间为)1,(-∞，),2ln 3(+∞-；单调递减区间为)2ln 3,1(-. ………………4分（Ⅱ）xea x x h -+=32)()(，则xea x x x h ---='32)2()(．根据题意，方程022=--a x x ，即022=+-a x x 有两个不同的实根1212()x x x x <，，∴440a ∆=->，即1a <，且,221=+x x 又,21x x <11<∴x ．…………6分因022222121=+-=+-a x x a x x ，由22231224)(1x x aex h mx x -+≤-，得2113211321124)2())(2(11x x e x x ea x x m x x -+-≤+---，)2(2)2()2)(2(1131131111x x e x x e x x m x x -+-≤---，即不等式131312)2(11x e x e x m x x +≤--对任意的11()x ∈-∞，恒成立，………8分（i ）当10x = 时，不等式131312)2(11x e x e x m xx +≤-- 恒成立，R m ∈；……9分（ii ）当1)1(0x ∈，时，221133+≤--x x e me 恒成立，即113322x x ee m --+≤，令函数xe x k -+=321)(，显然()k x 是R 上的增函数，∴当)1(0x ∈，时，332)0()(e e k x k +=>，∴3322ee m +≤， ………………10分（iii ）当10()x ∈-∞，时，221133+≥--x x e me 恒成立，即113322x x ee m --+≥，由（ii ），当)0(x ∈-∞，时，332)0()(ee k x k +=< ，∴3322e e m +≥，……11分综上，3322ee m +=． ………………12分 22．选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）24sin ρρθ=，圆C 的普通方程为：2240x y y +-= ………2分直线l 的直角坐标方程20x y +-= ………………………4分230t -=， ……………………………………6分因此12,t t 异号，……………………………………………8分所以，12||||||3PA PB t t ⋅==…………………………………10分23．选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）关于x 的不等式22x x m --+≥有解 ∴max (22)m x x ≤--+………2分而222(2)4x x x x --+≤--+= ∴4m ≤ ………4分4M ∴= ………5分（Ⅱ）证明： 22a b a b +≥ ，22b c b c +≥，22c a c a +≥ ………7分 2222()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++ ………9分 2224a b c a b c M b c a∴++≥++== 2224a b c b c a∴++≥得证 ………10分。

福建省宁德市2018届高三上学期期末(1月)质量检测数学(理)试题及答案解析

宁德市2017—2018学年度第一学期期末高三质量检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|23}A x x x =-≤，{|21}x B x =>，则A B ⋂（）A ．[0,3]B ．(0,3]C ．[1,)-+∞D ．[1,1)-2.已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，则22z i +=（）A．2 C．103.若1tan()43πα-=-，则cos 2α=（） A ．35 B ．35- C ．45- D ．45 4.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 值为（）A ．10B ．lg 99 C. 2 D ．lg1015.设x ，y 满足约束条件210100x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y =-的最小值大于5-，则m 的取值范围为（）A ．111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．113,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.(3,2)- D ．(,2)-∞ 6.福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开.组委会预备在会议期间将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参考接待工作.若要求A ，B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）A ．15种B ．18种 C. 20种 D ．22种7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A ．342π+B ．542π+C. 522π+ D ．312π+ 8.已知0.6log 2a =，2log 0.6b =，20.6c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >> C.c b a >> D ．c a b >>9.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,2)2p -，则该抛物线的方程为（） A ．22y x = B ．24y x = C. 28y x = D ．216y x =10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归.问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家.三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”若当地风俗正月初二都要回娘家，且回娘家当天均返回夫家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）A ．58B ．59 C.60 D ．6111.函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,,0)a b R ω∈>，满足2()()3f x f x π-+=--，且对任意x R ∈，都有()()6f x f π≤-，则以下结论正确的是（）A ．max ()f x a =B ．()()f x f x -= C.a = D ．3ω=12.设函数1()1ln(1)x x f x ae e x -=--+存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1ln 2)e -∞+B ．(ln 2,)e -+∞ C. (,ln 2)e -∞-D ．(1ln 2,)e ++∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知向量a ，b 的夹角为60，2a =，227a b +=，则b = ．14.若双曲线C 的右焦点F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率e = ．15.若正三棱台'''ABC A B C -1，则该正三棱台的外接球的表面积为．16.设函数2()21f x x x =--，若1a b >≥，()()f a f b =，则对任意的实数c ，22()()a c b c -++的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点.现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角'D AC B --，使得'D B =.（1）求证：当AF 时，'D F BC ⊥；（2）试求CF 的长，使得二面角'A D F B --的大小为4π.19.如图，岛A 、C 相距海里.上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西40且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市.上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西70且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市.（1）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（2）现测得4cos 5BAC ∠=-，sin 5ACB ∠=已知速度为V 海里/小时((0,30])V ∈的小艇每小时的总费用为21(50)2V V ++元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .过(0,)2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于点M ，N .当0k =时，四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若37PM PN MN ⋅=，求直线l 的方程. 21.已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈有最大值12-，2()2()g x x x f x =-+，且'()g x 是()g x 的导数.（1）求a 的值；（2）证明：当12x x <，12()()30g x g x ++=时，121'()2g x x +>. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，M 为曲线1C 上异于极点的动点，点P 在射线OM 上，且OP ，OM 成等比数列.（1）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）已知(0,3)A ，B 是曲线2C 上的一点且横坐标为2，直线AB 与1C 交于D ，E 两点，试求AD AE -的值.23.选修4-5：不等式选讲已知2()()f x x a a R =+∈，()12g x x x =++-.（1）若4a =-，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若[0,3]x ∈时，()()f x g x >的解集为空集，求a 的取值范围.2018年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1-5：BCBDC 6-10：DACBC 11、12：AD二、填空题13．2 14．2 15．20π 16．8三、解答题17.解法一：（1） 21n a S =，24(1)n n S a ∴=+．当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a >12n n a a -∴-=．∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2， 12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可知，1(21)3n n b n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——① 2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——② ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅ 2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，化简得113n nn T +=-．解法二：（1）同解法一.（2）由（1）可知，1(21)3n n b n =-⋅，设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n n b n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅，22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩ 1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n n b n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅， 12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅113nn +=-. 18.解: （1）连结DF ，BF ．在矩形ABCD中，6AD CD ==,030AC CAB ∴=∠=, 060DAC ∠=．在ADF ∆中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=， ∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．又在ABF ∆中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，∴在DFB'∆中，222223D F FB D B ''+=+=, BF DF'∴⊥, 又AC FB F =,∴DF'⊥平面ABC ． ∴D F BC '⊥．（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E . 沿着对角线AC 翻折后，由（1）可知，,,OE OC OD '两两垂直，ACD F以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则 (0,0,0),(1,0,0),OE (0,0,3),D B ',EO ⊥平面AD F ',(1,0,0)OE ∴=为平面AD F '的一个法向量．设平面BD F '的法向量为(,,),x y z =n(0,,0)F t，(3,23,3),(3,BD BF t '∴=--=--, 由0,0,BD BF ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得3303(0x z x t y ⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y =则x t z t =-=，()t t ∴=-n ． ||cos ,4||||OE OE π⋅∴=nn=t ∴=． ∴当CF =A DF B '--的大小是4π．19.解：（1）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得，DE=10=,所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）．因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， ACO E D 'F所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠，整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）．所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A所用的时间至少为2t == 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（2）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=, 所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=．所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==．由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B=∠,所以3BC ==, 所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为21150()(50)1)22f V V V V V=++=++≥(0,30]V ∈), 当且仅当1502V V=，即10V =时，min ()f V =，所以若小张由岛C 直接乘小艇去B市，其费用至少需20.解：（1）当0k =时，直线//l x 轴，又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =．∴点M 的坐标为2(,)b c a ．又2b a =，∴b a =．设2,a k b ==，则c k =．在12Rt MF F ∆中，232MF k =，122F F k =， ∴15522MF k ==， ∴1k =．∴2,a b ==∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）将3:2l y kx =+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx ++-=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，122334x x k =-+．故1200PM PN x x ⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．又12MN x =-=，∴223+33347k k =+，即解得k =∴直线l 的方程为32y =+．21.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x '=+．当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；当0a <时，令()0f x '=，得x =当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,12a ∴=-．（2）由（1）可知，21()2ln 2g x x x x =-+, 1()2g x x x'∴=+-． 12x x+≥，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增．又12x x <，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-,1201x x ∴<<<．22211()1x g x x x-''=-=,∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增,要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-． 11x <，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, 设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）, 11()222G x x x x'∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =---32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数,()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>． 22.解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，即1=20ρρ⋅，120=ρρ．又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，∴sin 5ρθ=，化为直角坐标方程为5y =．（2）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π， ∴直线AB的参数方程为,3,2x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，故12t t +=1230t t =-<，∴12AD AE t t -=+=．23.解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++- ，当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤--1x ≥-故1x ≤-当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥，故x ∈∅；当2x ≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥ 故3x ≥；所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤--}3x ≥．(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立．当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min31a x ≤-=-；当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min+214a x x ≤--=-，综上，4a ≤-．2018年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．2 14．2 15．20π 16．8 附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60． 11．2()()3f x f x π-+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0．12．令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11ln(1)x x ae e-++=，设1()ln(1)x h x x e=++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点， 111()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，1a b >≥，∴方程表示如图一段弧AB ，22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平方，22()()a c b c ∴-++的最小值是8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解法一：（1） 21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+．当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+， 22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（2）由（1）可知，1(21)3n n b n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分解法二：（1）同解法一. （2）由（1）可知，1(21)3n nb n =-⋅，设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n nb n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，………………………………9分12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 113nn +=-.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（1）连结DF ，BF ． C在矩形ABCD中，6 AD CD==,30AC CAB∴=∠=, 060DAC∠=．………………………………1分在ADF∆中，∵AF=2222cos9DF DA AF DA AF DAC∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分∵22293DF AF DA+=+=，DF AC∴⊥，即D F AC'⊥．………………………………3分又在ABF∆中，2222cos21BF AB AF AB AF CAB=+-⋅⋅∠=，………………………………4分∴在DFB'∆中，222223D F FB D B''+=+=,BF DF'∴⊥,………………………………5分又AC FB F=,∴DF'⊥平面ABC．∴D F BC'⊥．………………………………6分（2）解：在矩形ABCD中，过D作DE AC⊥于O，并延长交AB于E. 沿着对角线AC翻折后，由（1）可知，,,OE OC OD'两两垂直，以O为原点，OE的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),O E(0,0,3),D B',………………………………7分EO⊥平面AD F',(1,0,0)OE∴=为平面AD F'的一个法向量．………………………………8分设平面BD F'的法向量为(,,),x y z=n(0,,0)F t，(3,23,3),(3,BD BF t'∴=--=--,由0,0,BDBF⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn得3303(0x zx t y⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y=则x t z t=-= , ()t t∴=-n．………………………………10分||cos,4||||OEOEπ⋅∴=nn=A COED'Ft ∴=．∴当CF =A DFB '--的大小是4π． …………………12分 19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（1）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得，DE ==10=, ………………………………2分所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=，所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠，整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A 所用的时间至少为2t ==小时．由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分（2）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=．………………………………7分所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==．………………………………8分由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3BC ==,………………………………9分所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为21150()(50)1)22f V V V V V=++=++≥((0,30]V ∈),………………………………10分当且仅当1502V V=，即10V =时，min ()f V =（元）………………………………11分所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需元． ………………………………12分…20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（1）当0k =时，直线//l x 轴，又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =．………………………………………………………1分 ∴点M 的坐标为2(,)b c a．………………………………………………………2分又2b a =，∴b a =．………………………………………………………3分设2,a k b ==，则c k =．在12Rt MF F ∆中，232MF k =，122F F k =，∴15522MF k ==，∴1k =．∴2,a b ==分∴椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………6分（2）将3:2l y kx =+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx ++-=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，122334x x k =-+故1200PM PN x x ⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．………………………………9分又12MN x =-==，……………………… 10分∴223+33347k k =+，即解得k = ∴直线l 的方程为32y =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=+．………………………………1分当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去； (2)分当0a <时，令()0f x '=，得x = 当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,………………………………4分12a ∴=-．………………………………5分（2）由（1）可知，21()2ln 2g x x x x =-+, 1()2g x x x'∴=+-． 12x x+≥，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分又12x x <，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-,1201x x ∴<<<．………………………………7分22211()1x g x x x-''=-=,∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增,要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分11x <，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）, 11()222G x x x x'∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =---32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分 ∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分（2）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分 ∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，………………………………8分故12t t +=1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+=．………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++- ， (1)分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥，故x ∈∅； …………3分当2x ≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥ 故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min 31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min +214a x x ≤--=-，综上，4a ≤-．…………10分。

【优质稳定】福建省福州市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题试卷

（C） y x cos x (4) 若 2 sin x cos （A）
8 9
π x 1 ，则 cos2 x 2
（B）
7 9
（C）
7 9
（D）
7 25
理科数学试题
第 1 页
(共 4 页)
(5) 已知圆锥的高为 3 ，它的底面半径为 3 ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于
8 （A） π 3
（B）
32 π 3
（C） 16π
（D） 32π
x 2 2 x , x 0, (6) 已知函数 f ( x ) 1 则函数 y f ( x) 3 x 的零点个 x 0, 1 , x
数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
(7) 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”．图中的 Mod N , m n 表示正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ，例如 Mod 10, 3 1 ．执行该程序框图，则输出的 i 等于（A）23 （C）44 （B）38 （D）58
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合 A x ( x 3)( x 1) 0 ， B x x 1 0 ，则 A B （A） (1, 3) （C） (1, ) (2) 若复数
p3 : ( x, y ) D, x 2 y
2 3
其中真命题的是（A） p2 , p3 （B） p1 , p4 （C） p1 , p2 （D） p1 , p3
理科数学试题
第 2 页
(共 4 页)

福建省漳州市白沙中学2018年高三数学文上学期期末试卷含解析

福建省漳州市白沙中学2018年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则的值是（A） 3 （B） 2 （C）1 （D） 0参考答案：A2. （5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】：余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象．【专题】：计算题．【分析】：由f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数，利用奇函数的性质可得f（0）=Acosφ=0结合已知0＜φ＜π，可求φ=，再由△EFG是边长为2的等边三角形，可得=A，结合图象可得，函数的周期T=4，根据周期公式可得ω，从而可得f （x），代入可求f（1）．解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数∴f（0）=Acosφ=0∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx∵△EFG是边长为2的等边三角形，则=A又∵函数的周期 T=2FG=4，根据周期公式可得，ω=∴f（x）=﹣Asin x=﹣则f（1）=故选D【点评】：本题中的重要性质要注意灵活运用：若奇函数的定义域包括0，则f（0）=0；解决本题的另一关键是要由△EFG是边长为2的等边三角形，及三角形与函数图象之间的关系得到=A，这也是本题的难点所在．3. 已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为( )A．24 B．20 C．16 D．12参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．4. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.6参考答案：Cx+3y=5xy，，.5. 曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．参考答案：B，，曲线在点处的切线的斜率，切线方程为．6. 已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是( )A． B． C．D．参考答案：A7. 已知函数,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为A．B． C．D．参考答案：A8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．D．﹣1参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，发现a值出现的规律，根据条件确定跳出循环的i值，从而确定输出的a值．【解答】解：由程序框图知，第一次循环a==﹣1，i=2；第二次循环a==，i=3；第三次循环a==2，i=4，第四次循环a==﹣1，i=5，…∴a值的周期为3，∵跳出循环的i值为2015，又2014=3×671+1，∴输出a=﹣1．故选：D．9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c，已知，，，则C=( )A．30°B．45°C．45°或135°D．60°参考答案：B【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式左边通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，右边利用正弦定理化简，整理后求出cosA的值，进而求出sinA的值，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC 的值，即可确定出C的度数．【解答】解：∵1+=，即===，∴cosA=，即A为锐角，∴sinA==，∵a=2，c=2，∴由正弦定理=得：sinC==，∵a＞c，∴A＞C，∴C=45°．故选B【点评】此题考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10. .已知数列{a n}满足：+=(n+1)cos(n≥2,n∈N*), S n是数列{a n}的前n项和，若+m=1010,·m>0,则的最小值为（）A.2B.C.2D.2+参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则函数的最大值为。

福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题(含解析)

福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若集合{}2340A x x x =-->∣，则A =R ð（）A．{}14xx -≤≤∣B．{14}xx -<<∣C．{41}xx -<<∣D．{}41xx -≤≤∣2．设复数3i1iz -=+，则复数z 的虚部为（）A．-2i B．2-C．2iD．23．已知,a b 为单位向量，若0a b a b +--= ，则a b -= （）A．2B．C．1D．04．若()tan 2tan ,sin t αβαβ=-=，则()sin αβ+=（）A．2tB．2t-C．3tD．3t-5．已知双曲线22:4C x y -=，点M 为C 上一点，过M 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形OAMB （O 为原点）的面积为（）A．1B．2C．4D．66．在正四棱锥1111P A B C D -中，11PB PD ⊥．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体111111,1,2ABCD A B C D AB A B -==，则几何体1111ABCD A B C D -的体积为（）A．6B．3C．6D．97．已知函数()πtan (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若方程()1f x =在区间()0,π上恰有3个实数根，则ω的取值范围是（）A．(]2,3B．[)2,3C．(]3,4D．[)3,48．已知函数()222cos x x f x x x -=+++，若()()()3,e ,πa f b f c f =-==，则（）A．b a c <<B．b c a <<C．c a b<<D．c b a<<二、多选题（本大题共3小题）9．已知()2,X N μσ~，则（）A．()E X μ=B．()D X σ=C．()()1P X P X μσμσ≤++≤-=D．()()2P X P X μσμσ≥+>≤-10．已知定义在R 上的函数()f x 不恒等于()0,π0f =，且对任意的,x y ∈R ，有()()()()222f x f y f x y f x y +=+-，则（）A．()01f =B．()f x 是偶函数C．()f x 的图象关于点()π,0中心对称D．2π是()f x 的一个周期11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A．开口向上的抛物线的方程为212y x =B．4AB =C．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D．阴影区域的面积大于4三、填空题（本大题共3小题）12．（x ﹣1x）4的展开式中的常数项为.13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，共18分；②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；③部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为．四、解答题（本大题共5小题）15．在ABC V 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足__________．请在①()()()()sin sin sin a b A C a c A C -+=-+；②ππ1sin cos 634C C ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题．(1)求C ；(2)若ABC V 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值．16．某学校食堂有,A B 两家餐厅，张同学第1天选择A 餐厅用餐的概率为13．从第2天起，如果前一天选择A 餐厅用餐，那么次日选择A 餐厅用餐的概率为34；如果前一天选择B 餐厅用餐，那么次日选择A 餐厅用餐的概率为12．设他第n 天选择A 餐厅用餐的概率为n P ．(1)求2P 的值及1n P +关于n P 的表达式；(2)证明数列23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n P 的通项公式．17．已知边长为4的菱形ABCD （如图1），π,3BAD AC ∠=与BD 相交于点,O E 为线段AO 上一点，将三角形ABD 沿BD 折叠成三棱锥A BCD -（如图2）．(1)证明：BD CE ⊥；(2)若三棱锥A BCD -的体积为8，二面角B CE O --的余弦值为10，求OE 的长．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为2，点P为C 上一点，12PF F 周长为2，其中O 为坐标原点．(1)求C 的方程；(2)直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点，（i）求OAB △面积的最大值；（ii）设OQ OA OB =+，试证明点Q 在定直线上，并求出定直线方程．19．定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．(1)当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；(2)是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2?a -若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；(3)若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．参考答案1．【答案】A【分析】解出一元二次不等式可得集合A ，再由补集定义即可求得结果.【详解】解不等式2340x x -->可得4x >或1x <-，即{4A xx =>∣或}1x <-，因此可得{}14A xx =-≤≤R ∣ð.故选A.2．【答案】D【解析】根据复数的除法运算化简求出z 即可.【详解】23i (3i)(1i)34i i 12i 1i 22z ----+====-+，12iz ∴=+∴z 的虚部为2.故选D.3．【答案】B【分析】先由已知条件得a b a b +=- ，两边平方得0a b⋅= ，进而由向量模长公式即可计算求解a b -.【详解】因为0a b a b +--=，故a b a b +=- ，所以22a b a b +=- 即()()22a ba b +=- ，所以22a b a b ⋅=-⋅ 即0a b⋅= ，所以a b -故选B.4．【答案】C【分析】利用同角的三角函数关系以及两角差的正弦公式求出sin cos 2,cos sin t t αβαβ==，再利用两角和的正弦公式即可求得答案.【详解】由tan 2tan αβ=，得sin 2sin cos cos αβαβ=，即sin cos 2cos sin αβαβ=，由()sin t αβ-=，得sin cos cos sin t αβαβ-=，故sin cos 2,cos sin t t αβαβ==，则()sin sin cos cos sin 3t αβαβαβ+=+=.故选C.5．【答案】B【分析】先确定四边形OAMB 为矩形，然后点(),M m n ，求出其到两个渐近线的距离，相乘计算即可得答案.【详解】双曲线C ：224x y -=，即22144x y -=，为等轴双曲线，渐近线的夹角为90 ，则四边形OAMB 为矩形，设点(),M m n ，且224m n -=，点(),M m n 到渐近线0x y -=的距离为，点(),M m n 到渐近线0x y +=的距离为，则四边形的面积为2222m n -=.故选B.6．【答案】C【分析】由题可知，几何体1111ABCD A B C D -为正四棱台，求出正四棱台高，再由台体的体积公式即可得出答案.【详解】设正四棱锥1111P A B C D -的侧棱长为a ，连接11A C 与11B D 交于点1O ，连接1PO ，则1PO ⊥平面ABCD ，因为112A B =，所以11B D ==因为11PB PD ⊥，所以在Rt 11PB D !中，(222a a +=，解得：2a =，所以1PO =又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体1111,1ABCD A B C D AB -=，则几何体1111ABCD A B C D -为正四棱台，连接,AC BD 交于点O ，所以O 为1PO 的中点，所以122PO OO ==，所以几何体1111ABCD A B C D -的体积为：(22121326⋅+⋅=.故选C.7．【答案】C【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得.【详解】当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，则由题意可得tan 1y x =-在ππ,π44x ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上有3个实数根，即可得πππ3ππ4π444ω+<+≤+，解得34ω<≤，即ω的取值范围是(]3,4.故选C.8．【答案】A【分析】先求出函数()f x 的奇偶性，由奇偶性得()()33a f f =-=，接着利用导数工具二次求导研究函数()f x 在()0,+∞上单调性，由单调性即可判断,,a b c 的大小关系.【详解】因为()222cos x x f x x x -=+++，所以函数定义域为R ，()()()()2222cos 22cos x x x x f x x x x x f x ---=++-+-=+++=，所以函数()f x 为偶函数，故()()33a f f =-=，当0x >时，()()()()22ln 22sin x xf x x xg x -=+'--=，所以()()()()222ln 22cos x xg x x -=++-'，因为()()222ln 20,2cos 0x xx -+>->，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞单调递增，故()()00g x g >=即()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞单调递增，又e 3π<<，所以()()()e 3πf f f <<，所以b a c <<.故选A.【思路导引】比较函数值大小问题通常通过研究函数的奇偶性和单调性来分析，故本题先求出函数()f x 的奇偶性，接着利用导数工具研究函数()f x 在()0,+∞上单调性，进而由函数奇偶性和单调性即可判断,,a b c 的大小关系.9．【答案】AC【分析】正确理解正态分布的概念，即可判断A,B 两项，利用正态分布曲线的对称性以及概率分布的特点易推理判断C,D 两项.【详解】由()2,X N μσ~可得()E X μ=，()2D X σ=，故A 正确；B 错误；对于C，利用正态曲线的对称性可知，()()P X P X μσμσ≤-=≥+，故()()()()1P X P X P X P X μσμσμσμσ≤++≤-=≤++≥+=，即C 正确；对于D，利用正态曲线的对称性可知，()()P X P X μσμσ≤-=≥+，而()()2P X P X μσμσ≥+>≥+，故()()2P X P X μσμσ≥+<≤-，故D 错误.故选AC.10．【答案】ABC【分析】利用赋值法令x y =根据表达式可判断A 正确，再根据偶函数定义可得B 正确；取πx y +=并根据对称中心定义可得C 正确，由对称中心以及偶函数性质可判断4π是()f x 的一个周期，可得D 错误.【详解】对于A,根据题意令x y =，则由()()()()222f x f y f x y f x y +=+-可得()()()()22220f x f x f x f +=，解得()01f =，即A 正确；对于B,令x y =-可得()()()()()2220222f x f x f f x f x +-==，所以()()22f x f x =-，即可得对任意的x ∈R 满足()()f x f x =-，即()f x 是偶函数，所以B 正确；对于C,令πx y +=，则由()()()()222f x f y f x y f x y +=+-可得()()()()2π222ππ20f y f y f f y -+=-=，即()f x 满足()()2π0f x f x -+=，因此可得()f x 的图象关于点()π,0中心对称，即C 正确；对于D,由于()f x 是偶函数且()()2π0f x f x -+=，所以满足()()2π0f x f x -+=，即()()2π0f x f x ++=，可得()()2π2πf x f x -=+，也即()()4πf x f x =+，所以4π是()f x 的一个周期，即D 错误.故选ABC.11．【答案】ABD【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点,A B 的坐标，即得；对于C，将直线与抛物线方程联立求出,M N 的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11(,0)2F ,将其逆时针旋转90 后得到的抛物线开口向上，焦点为21(0,)2F ，则其方程为22x y =，即212y x =，故A 正确；对于B，根据A 项分析，由2222y xx y ⎧=⎨=⎩可解得，0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =，由图象对称性，可得(2,2),(2,2)A B -,故4AB =，即B 正确；对于C，如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点,M N ,由22y x t y x =-+⎧⎨=⎩解得11M M x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩22y x t x y =-+⎧⎨=⎩解得，11N N x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,即得(11),1,1M t N t +--+,则弦长为：|||2|MN t =+-，由图知，直线x y t +=经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0，即在第一象限部分满足04t <≤，不妨设u =13u <≤，且212u t -=，代入得，221|||22||(2)1|22u MN u u -=+---，（13u <≤）由此函数的图象知，当2u =时，||MN取得最大值为2，即C 错误；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值.如图，在抛物线21,(0)2y x x =≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行，由1y x '==可得切点坐标为1(1,)2P ,因:0OA l x y -=,则点P 到直线OA的距离为124d =，于是11242OPA S = ,由图知，半个花瓣的面积必大于12，故原图中的阴影部分面积必大于1842⨯=，故D 正确.故选ABD.【思路导引】本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.12．【答案】6；【分析】先得出二项式的展开式中的通项()42+141rr r r T C x -=-，令420r -=，可得答案.【详解】因为（x ﹣1x ）4的展开式中的通项为：()442+14411rr r r r r r T C x C x x --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令420r -=，得2r =，所以（x ﹣1x）4的展开式中的常数项为()223416T C =-=，故答案为：6.13．【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．【答案】13【分析】根据多选题的计分标准，结合甲在此卷多选题的作答情况、百分位数的定义进行求解即可.【详解】甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，因此甲此题的得分可以是0分，或6分；第二小题选了两个选项，因此甲此题的得分可以是0分，或4分，或6分；第三小题选了一个选项，因此甲此题的得分可以是0分，或2，或3，因此甲多选题的所有可能总得分为0分，2分，3分，4分，6分，7分，8分，9分，12分，13分，14分，15分，共12种情况，因为1280%=9.6⨯，所以甲多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为13分，故答案为：13.15．【答案】(1)任选一条件，都有π3C =(2)【分析】（1）选①，由正弦定理角化边结合余弦定理，即可求得答案；选②，利用三角函数诱导公式求出2π1cos 34C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角的范围即可求得答案；（2）利用三角形面积可求出20ab =，再将BD BC CD =+ 平方后结合基本不等式，即可求得答案；另外，也可利用BCD △的面积以及在BCD △中利用余弦定理求解.【详解】（1）选择条件①，()()()()sin sin sin a b A C a c A C -+=-+，则()()()sin sin sin a b B a c A C -=-+，由正弦定理可得()()()a b b a c a c -=-+，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，由()0,πC ∈，所以π3C =．选择条件②，ππ1sin cos 634C C ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即πππ1sin cos 2343C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2π1cos 34C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()ππ4π0,π,333C C ∈<+<，则π1cos 32C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以π2π33C +=，则π3C =．（2）由11sin 22S ab C ab ===20ab =．又BD BC CD =+ ，所以2222()2BD BC CD BC BC CD CD =+=+⋅+ 222211111122224222b a a b b a ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯-+=+-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10=所以BD ≥ ，当且仅当a b ==时等式成立，所以BD 的最小值是．另解：因为ABC S D = 为AC 中点，所以111πsin 22223BDC ABC S S a b ===⋅⋅⋅ ，得20ab =，在BCD △中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅⋅221111121042222a b ab a b ab ab =+-≥⋅-==所以BD ≥a b ==所以BD 的最小值是．16．【答案】(1)2712P =，11142n n P P +=+．(2)证明见解析，121334n n P -=-⨯．【分析】(1)根据题意，利用互斥事件的概率公式可求得2P ，再根据第n 天选择A 餐厅用餐的概率得到1n P +关于n P 的表达式；(2)由(1)可得到123n P +-是等比数列，利用等比数列的通项公式可求得n P .【详解】（1）设n A =“第n 天去A 餐厅用餐”，n B =“第n 天去B 餐厅用餐”，则Ωn n A B = ，且n A 与n B 互斥．根据题意得()()()()()111112,1,133n n P P A P B P A P B P A ===-==-，()()1131,42n n n n P A A P A B ++==∣∣，()()()()()2212112113217343212P P A P A P A A P B P A B ==+=⨯+⨯=∣∣，()()()()()()111131142n n n n n n n n n n P P A P A P A A P B P A B P P ++++==+=+-∣∣，即11142n n P P +=+．（2）12112111234234643n n n n P P P P +⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为121033P -=-≠，所以23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13-为首项，14为公比的等比数列，所以1211334n n P -⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而121334n n P -=-⨯．17．【答案】(1)证明见解析(2)2OE =【分析】（1）要证BD CE ⊥，只需证BD ⊥平面ACO ，只需证,AO BD CO BD ⊥⊥，由题易证；（2）由体积求出AO 的长，建立空间直角坐标系，假设()0,0,(0)E n n >，求出平面BCE CEO 、的法向量，由余弦值为10，求出n ，进而可求OE 的长.【详解】（1）因为四边形ABCD 是边长为4的菱形，并且π3BAD ∠=，所以,ABD BCD 均为等边三角形，故,AO BD CO BD ⊥⊥，且AO CO ==因为AO ⊂平面,ACO CO ⊂平面ACO ，且AO CO O = ，所以BD ⊥平面ACO因为CE ⊂平面ACO ，所以BD CE ⊥．（2）设A 到平面BCD 的距离为h ，因为等边三角形BCD △的边长为4，所以三棱锥A BCD -的体积为214834h ⨯⨯=，所以h =因为AO =AO ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -；则()()0,0,0,2,0,0O B，()(0,,0,0,C A ，设()0,0,(0)E n n >因为BD ⊥平面ACO ，所以()11,0,0m = 是平面ECO 的一个法向量，设平面BCE 的法向量为()2,,m x y z = ，又()()2,,2,0,BC BE n =-=- ，故222020m BC x m BE x nz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取x =1,y z ==得2m =⎭ ，因为二面角B CE O --的余弦值为所以1212m m m m ⋅=⋅解得：2n =或n =2OE =．18．【答案】(1)2212x y +=(2)（i）2；（ii）证明见解析，12y x =-．【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程组，即可求解；（2）（ⅰ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求弦长AB ，并求点到直线的距离，结合三角形的面积公式，以及基本不等式，即可求面积的最大值；（ⅱ）利用韦达定理，结合向量的坐标公式，表示点Q 的坐标，即可求解定直线方程.【详解】（1）设焦距为2c，依题意，222,c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩解得1,a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩又222a b c =+，所以2221b a c =-=，所以C 的方程为2212x y +=．（2）（i）设()()1122,,,A x y B x y ，因为2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，所以2234220x mx m ++-=，()221643220Δm m =-⨯⨯->，解得23m <，所以21212422,33m m x x x x -+=-=，3AB ===点O 到直线:0l x y m -+=的距离dOAB △的面积123S=⨯()2233322m m -+=⨯=当且仅当223mm -=，即m =OAB △面积的最大值为2．（ii）设(),Q x y ，由OQ OA OB =+ ，有()()1212,,x y x x y y =++，即1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩因为1243m x x +=-，所以1212223m y y x x m +=++=，故4323m x my ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是有12y x =-，所以点Q 在定直线12y x =-．【关键点拨】本题第二问的关键是利用韦达定理表示弦长，以及坐标.19．【答案】(1)()f x 是极值可差比函数，理由见解析；(2)不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -，理由见解析；(3)102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数k 的值，这样的值存在即可判断.（2）反证法，假设存在这样的a ，又根据“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.（3）由（2）得到参数a 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.【详解】（1）当52a =时，()15ln (0)2f x x x x x =-->，所以()()()2221215122x x f x x x x -='-=+-，当()10,2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极大值为153ln2222f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值为()352ln222f =-，所以()110122ln22232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()f x 是极值可差比函数．（2）()f x 的定义域为()()210,,1a f x x x+∞=+-'，即()221x ax f x x -+'=，假设存在a ，使得()f x 的极值差比系数为2a -，则12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等正实根，21212401Δa x x a x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，解得2a >，不妨设12x x <，则21x >，由于()()1211221211ln ln f x f x x a x x a x x x ⎛⎫-=----- ⎪⎝⎭()11212211ln x x x a x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()11121221222ln2ln ,x x a x x a x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪-⎝⎭所以112222ln x a a x x x -=--，从而11221ln 1x x x x =-，得()22212ln 0,*x x x --=令()()2222121(1)2ln (1),0x x x g x x x x g x x x x -+-=-->==>'，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，有()()10g x g >=，因此()*式无解，即不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -．（3）由（2）知极值差比系数为11222ln x a x x x --，即1211222ln x x x x x x +--，不妨设120x x <<，令()12,0,1x t t x =∈，极值差比系数可化为12ln 1t t t +--，()2122121221122x x x x a t x x x x t+==++=++，又52a ≤≤，解得1142t ≤≤，令()()212ln 1112ln ,142(1)t t t t p t t t p t t t +-+⎛⎫=-≤≤= '⎪--⎝⎭，设()()2221121212ln 1,14t t h t t t t h t t t t t --⎛⎫=+-≤≤=--= ⎪'⎝⎭22(1)0t t -=-≤所以()h t 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1102h t h h ⎛⎫≥>= ⎪⎝⎭，从而()0p t '>，所以()p t 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()1142p p t p ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()102ln223ln23p t -≤≤-．故()f x 的极值差比系数的取值范围为102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【思路导引】合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解.（3）中的需要重复利用（2）几个重要的数量关系，对变量进行转化，利用导函数求出单调区间，得出取值范围是关键.。

福建省漳州市2018届高三上学期期末调研测试数学(文)试题word版有答案AlUHlP

漳州市2018届高中毕业班调研测试数学(文科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}121xA x-=>，{}220B x x x=-≤，则A B=I（）A.[1,2)B.[1,2]C.(0,3]D.(1,2]2.在复平面内，复数1z和2z对应的点分别是(2,1)A和(0,1)B，则12zz=( )A.12i-- B.12i-+ C.12i- D.12i+3.已知向量(2,1)a=-r，(1,)A x-，(1,1)B-，若a AB⊥r u u u r，则实数x的值为( )A.5- B.0 C.1- D.54.执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A.8B.16C.32D.645.函数()xf x xe-=的图象可能是( )A. B. C. D.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( )3D.7.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(02)ϕπ≤<的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()cos 2g x x =的图象，则下列是函数()y f x =的图象的对称轴方程的为( ) A.6x π=B.12x π=C.3x π=D.0x =8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )A.一鹿、三分鹿之一B.一鹿C.三分鹿之二D.三分鹿之一9.已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为( ) A.4π B.6π C.8π D.16π10.已知命题p ：椭圆22259225x y +=与双曲线22312x y -=有相同的焦点；命题q：函数2()f x =的最小值为52.下列命题为真命题的是( ) A.p q ∧ B.()p q ⌝∧ C.()p q ⌝∨ D.()p q ∧⌝11.若不等式组0,20,220,x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域被直线l ：10mx y m -++=分为面积相等的两部分，则m =（）A.12 B.2 C.12- D.2- 12.设函数2()ln 2f x x mx nx =-+(,0)m R n ∈>，若对于任意的0x >，都有()(1)f x f ≤，则( )A.ln 8n m <B.ln 8n m ≤C.ln 8n m >D.ln 8n m ≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在半径为2的圆C 内任取一点P ，以点P为中点的弦的弦长小于________.14.甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.15.已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，且2b =，24(3)c a c a -=-，则sin 2cos A C -的取值范围是________.16.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31n n S a =+*()n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n b 满足1(21)3nn n n a b -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 2017年是内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了600名年龄在[10,60]且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.年龄[10,20) [20,50) [50,60]单人促销价格（单位：元）150 240 180(Ⅱ)某旅行社针对“旅游文化周”开展不同年龄段的旅游促销活动，各年龄段的促销价位如表所示.已知该旅行社的运营成本为每人200元，以频率分布直方图中各年龄段的频率分布作为参团旅客的年龄频率分布，试通过计算确定该旅行社的这一活动是否盈利；(Ⅲ)若按照分层抽样的方法从年龄在[10,20)，[50,60]的居民中抽取6人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取2人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有1人的年龄在[50,60]的概率.19.如图，底面半径为1，母线长为2的圆柱的轴截面是四边形ABCD ，线段CD 上的两动点E ，F 满足1EF =.点P 在底面圆O 上，且3AP =Q 为线段AP 的中点.(Ⅰ)求证：//FP 平面BPE ；(Ⅱ)四棱锥P ABEF -的体积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.20.已知椭圆C :22221x y a b+=(1)a b >>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且过点12Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.过点(1,0)P 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)求AMN ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程. 21.已知函数21()(2)x f x x x e-=-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若对任意1x ≥，都有()0f x mx x m --+≤恒成立，求实数m 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅. 23.[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()2122f x x x =-++. (Ⅰ)求函数()f x 的最小值； (Ⅱ)解不等式()8f x <试卷答案一、选择题1-5:DCACC 6-10:CABCB 11、12：AA 二、填空题13.34 14.3 15.30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭16.1x =- 三、解答题17.解：(Ⅰ)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3a n ＋1－3a n －1－1，即2a n ＝3a n －1，所以＝32，当n ＝1时，a 1＝3a 1＋1，解得a 1＝－12.所以数列{a n }是以－12为首项，32为公比的等比数列，即a n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得11(21)13322n n n n b --⎡⎤+⎛⎫=-⨯-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1(21)2nn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以T n ＝3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋(2n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ①12T n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(2n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ②则①—②，得12T n ＝3×12＋2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(2n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，化简整理可得2552n nn T +=-18.解：(Ⅰ)年龄在[30，40)的频率为1－(0.020＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.3，故估计该市被抽取市民的年龄的平均数x ＝15×0.2＋25×0.25＋35×0.3＋45×0.15＋55×0.1＝32. (Ⅱ)平均每个旅客为旅行社带来的利润为150×0.2＋240×0.7＋180×0.1－200＝16>0，故旅行社的这一活动是盈利的．(Ⅲ)由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在[10，20)，分别记为a ，b ，c ，d ；有2人年龄在[50，60]，分别记为E ，F .“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，E }，{a ，F }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，E }，{b ，F }，{c ，d }，{c ，E }，{c ，F }，{d ，E }，{d ，F }，{E ，F }，共15种，其中事件“至少有1人的年龄在[50，60]”包含的基本事件为{a ，E }，{a ，F }，{b ，E }，{b ，F }，{c ，E }，{c ，F }，{d ，E }，{d ，F }，{E ，F }，共9种，故该事件发生的概率为P ＝915＝35.19.解：(Ⅰ)证明：设PB 的中点为F ，连接HE ，H Q ，在△ABP 中，利用三角形中位线的性质可得Q H ∥AB ，且Q H ＝12AB ，又EF ∥AB ，EF ＝12AB ，所以EF ∥H Q ，EF ＝H Q ，所以四边形EF Q H 为平行四边形，所以F Q∥HE ，又HE ⊂平面BPE ，FQ ⊄平面BPE 所以F Q∥平面BPE .(Ⅱ)四棱锥PABEF 的体积为定值，定值为32. 理由如下：由已知可得梯形ABEF 的高为2，所以S 梯形ABEF ＝1＋22×2＝3，又平面ABCD ⊥平面ABP ，过点P 向AB 作垂线PG ，垂足为G ，则由面面垂直的性质定理可得PG ⊥平面ABCD ，又AP ＝3，AB ＝2，∠APB ＝90°，所以BP ＝1，所以AP BP PG AB ⨯== 所以V 四棱锥PABEF ＝13×PG ×S 梯形ABEF ＝13×32×3＝32，所以四棱锥PABEF 的体积为定值，定值为32. 20.解：(Ⅰ)解法一：∵抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)， ∴椭圆C 的半焦距c ＝3，即a 2－b 2＝3. ①把点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12代入22221x y a b +=，得223114a b +=. ② 由①②得a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 解法二：∵抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，∴不妨设椭圆C ： 22221x y a b+=的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，(1分)又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上，∴2a ＝|QF 1|＋|QF 2|＝14＋12＋14＝12＋72＝4，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. (Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入2214x y +=，得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0.(5分) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－224t t +，y 1y 2＝－234t +12y y -====24=13t +＝m (m ≥3)，由函数y ＝m ＋1m在[3，＋∞)上单调递增，≥3＋13＝433，当且仅当m＝3，即t＝0时，取等号．(10分)所以|y1－y2|≤ 3.所以△AMN的面积S＝12|AP||y1－y2|≤12×3×3＝332，所以S max＝332，此时直线l的方程为x＝1.21.解：(Ⅰ)由已知得f′(x)＝(－x2＋2)e x－1，当f′(x)<0，即－x2＋2<0时，x<－2或x>2；当f′(x)>0，即－x2＋2>0时，－2<x<2，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．(Ⅱ)令g(x)＝(2x－x2)e x－1－mx－1＋m，x≥1，由已知可得g(2)≤0，即m≥－1，下面只要考虑m≥－1的情况即可．g′(x)＝(2－x2)e x－1－m，令h(x)＝(2－x2)e x－1－m，则h′(x)＝－(x2＋2x－2)e x－1，因为x≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′(x)<0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，即g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(1)＝1－m.(8分) ①当1－m≤0，即m≥1时，此时g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，满足条件；(9分)②当1－m>0，即－1≤m<1时，此时g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，则当1<x<x0时，g′(x)>0；(10分)当x>x0时，g′(x)<0，所以g(x)在[1，x0]上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，所以当x∈[1，x0]时，g(x)≥g(1)＝0，此时不满足条件．综上所述，实数m的取值范围为[1，＋∞)．22.解：(Ⅰ)由曲线C的参数方程12cos2sinxyαα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，得12cos2sinxyαα-=⎧⎨=⎩(α为参数)，两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；由直线l的极坐标方程可得ρcosθcosπ4－ρsinθsinπ4cos sin2ρθρθ⇒-=即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(5分)(Ⅱ)由题意可知P(2，0)，则直线l的参数方程为22xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，将222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0，则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，所以|PA |·|PB |＝|－3|＝3.23.解：(Ⅰ)因为|2x －1|＋2|x ＋2|≥|(2x －1)－2(x ＋2)|＝5，所以f (x )的最小值是5.(Ⅱ)解法一：f (x )＝43(2)15(2)21432x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-≤≥⎨⎪⎪⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩当x <－2时，由－4x －3<8，解得x >－114，即－114<x <－2；当－2≤x ≤12时，5<8恒成立，即－2≤x ≤12；当x >12时，由4x ＋3<8，解得x <54，即12<x <54，所以不等式f (x )<8的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，54.解法二(图象法)：f (x )＝43(2)15(2)21432x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-≤≥⎨⎪⎪⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩函数f (x )的图象如图所示，令f (x )＝8，解得x ＝－114或x ＝54，所以不等式f (x )<8的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，54.答案解析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DCACCCABCBAA22.C 【解析】由已知得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，所以＝2＋i i ＝2i ＋i 2i 2＝－1＋2i －1＝1－2i ，故选C.3.A 【解析】由已知得AB →＝(2，－1－x )，由a ⊥AB →，得2×2＋(－1)×(－1－x )＝0，即x ＝－5，故选A.4.C 【解析】第一次循环：S ＝60－2＝58，k ＝2，58>0，执行“否”；第二次循环：S ＝58－4＝54，k ＝4，54>0，执行“否”；第三次循环：S ＝54－8＝46，k ＝8，46>0，执行“否”；第四次循环：S ＝46－16＝30，k ＝16，30>0，执行“否”；第五次循环：S ＝30－32＝－2，k ＝32，－2<0，执行“是”，输出32，故选C.5.C 【解析】因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x e －x，因为e －x>0，所以f (x )>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)时，其图象恒在x 轴上方，排除D ，故选C.【一题多解】因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，又因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x e －x，则f ′(x )＝(1－x )e －x，当f ′(x )>0，即(1－x )e －x>0时，得0<x <1；当f ′(x )<0，即(1－x )e －x<0时，得x >1，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且x e －x>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)时，其图象恒在x 轴上方，又x →＋∞，f (x )→0.因为f (x )为奇函数，所以f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且x e －x<0，即f (x )在x ∈(－∞，0)时，其图象恒在x 轴下方，又x →－∞，f (x )→0，故选C.6.C 【解析】在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为AD 的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D 1M B 1C ，故通过计算可得D 1C ＝D 1B 1＝B 1C ＝22，D 1M ＝MC ＝5，MB 1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.7.A 【解析】函数g (x )＝cos2x 的图象的对称轴方程为x ＝(k ∈Z )，故函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－π3(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6，故选A. 8.B 【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且a 1＝1＋23＝53，公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝5，解得d ＝－13，所以a 3＝a 1＋2d ＝53＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1，所以簪裹得一鹿，故选B. 9.C 【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ′，则AO ′＝12AC ＝2，PA ＝2，PO ′⊥平面ABCD ，故PO ′＝＝2，而底面ABCD 所在截面圆的半径AO ′＝2，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R ＝2，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C.10.B 【解析】p 中椭圆为＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±4，0)，故p 为假命题；q 中f (x )＝，设t ＝≥2(当且仅当x ＝0时，等号成立)，则f (t )＝t ＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f (x )m i n ＝52，故q 为真命题．所以(綈p )∧q为真命题，故选B.11.A 【解析】由题意可画出可行域为如图△ABC 及其内部所表示的区域，联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，C(4，6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1，1)，直线l 平分△ABC 的面积，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，83，代入mx －y ＋m＋1＝0，得m ＝12，故选A.12.A 【解析】由题知，f ′(x )＝1x－2mx ＋2n ，f (1)为函数的一个极大值，所以f ′(1)＝0，得2m ＝2n ＋1.设g (n )＝ln n －8m ，则g (n )＝ln n －8n －4，g ′(n )＝当n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18时，g ′(n )>0，g (n )为增函数；当n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，＋∞时，g ′(n )<0，g (n )为减函数，所以g (n )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝ln 18－5<0，即ln n <8m ，故选A.13.34【解析】由题知，当且仅当弦心距d >22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，即|C P |>1时，以点P 为中点的弦的弦长小于23，由几何概型的概率公式可得所求概率为π×22－π×12π×22＝34. 14.3 【解析】由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3>2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.15.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 【解析】由题得b 2－c 2＝a 2－3ac ，即a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则cos B ＝＝32，所以B ＝π6.由,得π3<A <π2.因为sinA －2cosC ＝sinA ＋2cos(B ＋A )＝sinA ＋2⎝⎛⎭⎪⎫32cosA －12sinA ＝3cosA ，所以0<3cosA<32，故sinA －2cosC 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，32. 16.x ＝－1 【解析】不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ，设翻转后的直线l 的方程为y ＝kx ＋1，翻转后的A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则联立得x 2－4kx －4＝0 ①，易得抛物线x 2＝4y 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，同理可得抛物线x 2＝4y 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x－x 2)．联立得y ＝14x 1x 2，再由①可得x 1x 2＝－4，所以y ＝－1.故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x ＝－1.17.解：(Ⅰ)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3a n ＋1－3a n －1－1，即2a n ＝3a n －1，所以＝32，(3分) 当n ＝1时，a 1＝3a 1＋1，解得a 1＝－12.(4分)所以数列{a n }是以－12为首项，32为公比的等比数列，即a n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b n ＝－×(7分)所以T n ＝3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋(2n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ①(8分)12T n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(2n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ②则①—②，得12T n ＝3×12＋2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(2n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，(11分)化简整理可得T n ＝5－(12分)18.解：(Ⅰ)年龄在[30，40)的频率为1－(0.020＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.3，(2分) 故估计该市被抽取市民的年龄的平均数x ＝15×0.2＋25×0.25＋35×0.3＋45×0.15＋55×0.1＝32.(3分)(Ⅱ)平均每个旅客为旅行社带来的利润为150×0.2＋240×0.7＋180×0.1－200＝16>0，(5分) 故旅行社的这一活动是盈利的．(6分)(Ⅲ)由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在[10，20)，分别记为a ，b ，c ，d ；有2人年龄在[50，60]，分别记为E ，F .“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，E }，{a ，F }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，E }，{b ，F }，{c ，d }，{c ，E }，{c ，F }，{d ，E }，{d ，F }，{E ，F }，(8分)共15种，其中事件“至少有1人的年龄在[50，60]”包含的基本事件为{a ，E }，{a ，F }，{b ，E }，{b ，F }，{c ，E }，{c ，F }，{d ，E }，{d ，F }，{E ，F }，(10分)共9种，故该事件发生的概率为P ＝915＝35.(12分)19.解：(Ⅰ)证明：设PB 的中点为F ，连接HE ，H Q ，在△ABP 中，利用三角形中位线的性质可得Q H ∥AB ，且Q H ＝12AB ，(1分)又EF ∥AB ，EF ＝12AB ，所以EF ∥H Q ，EF ＝H Q ，所以四边形EF Q H 为平行四边形，(3分) 所以F Q∥HE ，所以F Q∥平面BPE .(5分)(Ⅱ)四棱锥PABEF 的体积为定值，定值为32.(6分) 理由如下：由已知可得梯形ABEF 的高为2，所以S 梯形ABEF ＝1＋22×2＝3，(7分)又平面ABCD ⊥平面ABP ，过点P 向AB 作垂线PG ，垂足为G ，则由面面垂直的性质定理可得PG ⊥平面ABCD ，又AP ＝3，AB ＝2，∠APB ＝90°，所以BP ＝1，(9分) 所以PG ＝＝32，(10分) 所以V 四棱锥PABEF ＝13×PG ×S 梯形ABEF ＝13×32×3＝32，所以四棱锥PABEF 的体积为定值，定值为32.(12分) 20.解：(Ⅰ)解法一：∵抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)， ∴椭圆C 的半焦距c ＝3，即a 2－b 2＝3. ①(2分) 把点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12代入＝1. ②由①②得a 2＝4，b 2＝1.(3分) ∴椭圆C 的标准方程为＝1.(4分)解法二：∵抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)， ∴不妨设椭圆C ：＝1的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，(1分)又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上， ∴2a ＝|QF 1|＋|QF 2|＝14＋12＋14＝12＋72＝4，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，(3分) ∴椭圆C 的标准方程为＝1.(4分)(Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入＝1，得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0.(5分)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－(7分)(9分)令＝m (m ≥3)，由函数y ＝m ＋在[3，＋∞)上单调递增，则＋≥3＋13＝433，当且仅当m ＝3，即t ＝0时，取等号．(10分)所以|y 1－y 2|≤ 3.所以△AMN 的面积S ＝12|AP ||y 1－y 2|≤12×3×3＝332，所以S max ＝332，此时直线l 的方程为x ＝1.(12分)21.解：(Ⅰ)由已知得f ′(x )＝(－x 2＋2)ex －1，(1分)当f ′(x )<0，即－x 2＋2<0时，x <－2或x >2；(2分)当f ′(x )>0，即－x 2＋2>0时，－2<x <2，(3分)所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．(5分) (Ⅱ)令g (x )＝(2x －x 2)ex －1－mx －1＋m ，x ≥1，(6分)由已知可得g (2)≤0，即m ≥－1，下面只要考虑m ≥－1的情况即可．g ′(x )＝(2－x 2)e x －1－m ，令h(x )＝(2－x 2)e x －1－m ，则h′(x )＝－(x 2＋2x －2)e x －1，因为x ≥1，所以x 2＋2x －2>0，所以h′(x )<0，所以h(x )在[1，＋∞)上单调递减，即g ′(x )在[1，＋∞)上单调递减，则g ′(x )≤g ′(1)＝1－m .(8分)①当1－m ≤0，即m ≥1时，此时g ′(x )≤0，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )≤g (1)＝0，满足条件；(9分)②当1－m >0，即－1≤m <1时，此时g ′(1)>0，g ′(2)＝－2e －m <0，所以存在x 0∈(1，2)，使得g ′(x 0)＝0，则当1<x <x 0时，g ′(x )>0；(10分)当x >x 0时，g ′(x )<0，所以g (x )在[1，x 0]上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以当x ∈[1，x 0]时，g (x )≥g (1)＝0，此时不满足条件．(11分) 综上所述，实数m 的取值范围为[1，＋∞)．(12分) 22.解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程(α为参数)，得(α为参数)，两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4；(3分) 由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝(4分)即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(5分)(Ⅱ)由题意可知P (2，0)，则直线l 的参数方程为(t 为参数)．(6分)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|，将(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0，(8分)则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，(9分) 所以|PA |·|PB |＝|－3|＝3.(10分)23.解：(Ⅰ)因为|2x －1|＋2|x ＋2|≥|(2x －1)－2(x ＋2)|＝5，(4分) 所以f (x )的最小值是5.(5分)(Ⅱ)解法一：f (x )＝(6分)当x <－2时，由－4x －3<8，解得x >－114，即－114<x <－2；当－2≤x ≤12时，5<8恒成立，即－2≤x ≤12；当x >12时，由4x ＋3<8，解得x <54，即12<x <54，(9分)所以不等式f (x )<8的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，54.(10分)解法二(图象法)：f (x )＝(6分)函数f (x )的图象如图所示，(8分) 令f (x )＝8，解得x ＝－114或x ＝54，(9分)所以不等式f (x )<8的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，54.(10分)。

福建省漳州市第四中学2018年高一数学理上学期期末试题含解析

福建省漳州市第四中学2018年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 当a>1时，在同一坐标系中，函数的图象是( )参考答案：B略2. 设集合 M ={x|（x+3）（x-2）<0}， N ={x|1≤x≤3},则M∩N= ( ）A．[1,2） B．[1,2] C．（ 2,3] D．[2,3]参考答案：A解析:该题考查简单的二次不等式求解和集合的交运算,是简单题.3. 已知集合，，则（）A. B. C. D.参考答案：B4. 函数y=log2(x2－3x+2)的递增区间为（）A、(－,1)B、(2,+ )C、(－,)D、( ,+)参考答案：B5. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )Ａ．7 Ｂ．15 Ｃ．25 Ｄ．35参考答案：B略6. 已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由二次函数的知识可知，当x=时，抛物线取最低点为，函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当m∈（，0）时，两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点，故选C7. 设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是() A．V1比V2大约多一半 B．V1比V2大约多两倍半C．V1比V2大约多一倍 D．V1比V2大约多一倍半参考答案：D8. 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（）A. B. C. 4 D.参考答案：C9. 设函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x，g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数g（x）的图象，则m的值可以是（）A．πB．C．D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式、两角和差的余弦函数化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），函数g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=cos（2x﹣），由于将y=f（x）的图象向左平移m个单位长度，即可得到g（x）的图象，可得： cos[2（x﹣m）+]=cos（2x﹣2m+）=cos（2x﹣），可得：2x﹣2m+=2x﹣+2kπ，或2x﹣2m+=2π﹣（2x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：m=﹣kπ，k∈Z．则m的值可以是．故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，以及二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．10. 已知等比数列中，，则=（）A．4 B．6 C．8D．9参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：① 当时，甲走在最前面；② 当时，乙走在最前面；③ 当时,丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④ 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲。

2018届福建省百所重点校高三上学期联合考试数学(理)试题(解析版)

2018届福建省百所重点校高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{}27,5217A x x x B x x =<=<<，则A B ⋂中整数元素的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】{}27A x x x =<则{}07A x x =<<{}5217B x x =<<51722B x x ⎧⎫∴=<<⎨⎬⎩⎭则A B ⋂中整数有{}3456，，，故答案选B2．已知向量()1,1a m =- ， (),2b m = ，则“2m =”是“a 与b共线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当2m =时， ()11a→=，， ()22b→=，则a→与b→共线，当a→与b→共线时， ()12m m -=， 1221m m ==-，，∴ “2m =”是“a→与b→共线”的充分不必要条件故选A3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还a 升， b 升， c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A.a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507a =B. a ， b ， c 依次成公比为2的等比数列，且507c =C. a ， b ， c 依次成公比为12的等比数列，且507a =D.a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507a =【答案】D【解析】由条件知a ， b ，c 依次成公比为12的等比数列，三者之和为52升，根据等比数列的前N 项和，即502450.7a a a a ++=⇒= 故答案为D 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

- 1 - - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - - 7 - - 8 - - 9 - 答案解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D D D A B C C B A A 1.B 【解析】本题考查分式不等式及指数不等式的解法、集合的交集运算．A＝(－∞，－3]∪(4，＋∞)，B＝(2，＋∞)，所以A∩B＝(4，＋∞)，故选B.

2.B 【解析】本题考查复数的除法运算及复数的模．因为z＝1＋7i2－i＝（1＋7i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝－1＋3i，所以|z|＝10，故选B. 3.D 【解析】本题考查函数的图象和基本性质．由题易得函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除B，C，当x∈(0，π]时，f(x)>0，排除A，故选D. 4.D 【解析】本题考查向量的基本概念和运算．设a与b的夹角为θ，则a⊥(a－b)a·(a

－b)＝0a2－a·b＝0a2－|a|·|b|cosθ＝0，所以cosθ＝22，所以向量a在b方向上的投影

为|a|cosθ＝22，故选D. 5.D 【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式．依题意，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝3n－1，则b1＝1，b2＝3，b3＝9，所以ab1＋ab2＋ab3＝a1＋a3＋a9＝1＋7＋25＝33，故选D. 6.A 【解析】本题考查含有当型循环结构的程序框图．执行程序框图，依次可得n＝1，S＝0，S<16，进入循环；S＝0＋3＝3，n＝2，S＝3<16，进入循环；S＝3＋6＝9，n＝3，S＝9<16，进入循环；S＝9＋9＝18，n＝4，S＝18>16，跳出循环，输出n＝4，S＝18，故选A.

7.B 【解析】本题考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积．这个几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个三棱锥而成的，其直观图如图所示，则这

个几何体的体积V＝23－13×12×2×2×2＝203，故选B.

8.C 【解析】本题考查三角函数的图象与性质．由题图可知，A＝2，T＝2πω＝2×

5π8－π

＝π，所以ω＝2，＝2，解得2×π8＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝π4＋2kπ，k∈Z，因为|φ|9.C 【解析】本题考查函数的基本性质．由题知

10.B 【解析】本题考查几何概型.满足条件的概率是以1为半径的球的体积的18除以以1为棱长的正方体的体积，即43π×18÷1＝π6，故选B. 11.A 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求法．不妨将抛物线翻转为x2＝4y，设翻转后的直线l的方程为y＝kx＋1，翻转后的A，B两点的坐标分别为(x1， - 10 -

y1)，(x2，y2)，则联立x2＝4y，y＝kx＋1得x2－4kx－4＝0 ①，易得抛物线C在点A处的切线方程为y－14x21＝12x1·(x－x1)，同理可得抛物线C在点B处的切线方程为y－14x22＝12x2(x－x2)．联立

y－14x21＝12x1（x－x1），

y－14x22＝12x2（x－x2）得y＝14x1x2，再由①可得x1x2＝－4，所以y＝－1.故原抛物线C相

应的点P的轨迹方程为x＝－1，故选A. 12.A 【解析】本题考查导数的应用.当a≥0时，1，2都是不等式(ax＋3)ex－x>0的解，

不符合题意；当a<0时，(ax＋3)ex－x>0化为ax＋3>xex，设f(x)＝xex，则f′(x)＝1－xex，所以函数f(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以当x＝1时，函数f(x)取得最大值，

因为不等式(ax＋3)ex－x>0有且只有一个正整数解，则a×1＋3>1e1，a×2＋3≤2e2，解得1e－3选A. 13.1 【解析】本题考查二项式定理的通项.2x－ax8展开式的通项为

Tk＋1＝Ck8(2x)8－k－axk＝Ck828－k(－a)kx8－2k.令8－2k＝0，得k＝4.由，得正数a＝1. 14.－2 【解析】本题考查含有参数的线性规划问题.作出可行域，如图所示，经计算，A(－2k，k)，B(k，k).由图可知，当直线y＝－x＋z过点B时，z取最大值，即k＋k＝4，解得k＝2，当直线y＝－x＋z过点A(－4，2)时，z取最小值，即zmin＝－4＋2＝－2.

15.2或233 【解析】本题考查双曲线的几何性质．若AF→＝－2BF→，则由图1可知，渐近线OB的斜率为－ba，l⊥OB，在Rt△OBA中，由角平分线定理可得|OA||OB|＝|FA||FB|＝2，所以∠AOB＝60°，∠xOA＝30°，所以ba＝33，e＝ca＝1＋ba2＝233.若AF→＝2BF→，则由图2可知，渐近线OB为△AOF边AF的垂直平分线，故△AOF为等腰三角形，故∠AOB＝∠BOF＝60°，ba＝3，e＝ca＝2.

16.32，＋∞ 【解析】本题考查数列与分段函数的性质．要使数列{an}为单调递增数列，则a10，即t>32 ①. - 11 -

当n≥4时，an＝logtn也必须单调递增，∴t>1 ②.另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而a35 ③.方法一：当32

2t>5；当25；当t>52时，logt4＋2t>5，故③式对任意t>32恒成立，综上，解得t的取值范围是32，＋∞.方法二：由①②得t>32，在此前提下，构造f(t)＝logt4＋2t－5t>32，则f′(t)＝2－ln4tln2t，令g(t)＝tln2tt>32，则g′(t)＝ln2t＋2lnt＝lnt(lnt＋2)>0，∴g(t)＝tln2t在

3

2，＋∞

上单调递增，且g(t)>0，从而f′(t)是32，＋∞上的增函数，可验证f′32＝2－ln432ln232＝2



1－ln34

ln232

<0证明如下：要证f′32<0，即证ln34>ln232，即证ln4>3ln32×ln32，即证ln4>ln278×ln32，∵ln4>ln278，0ln278× ln32，得证，f′(2)＝2－ln42ln22＝2－2ln4>0.∴f′(t)＝2－ln4tln2t在32，＋∞上有唯一零点，设为m，m∈32，2，易知m为f(t)的极小值点，也是最小值点．∴

f(t)min＝f(m)＝logm4＋2m－5.当m∈32，2时，logm4>log24＝2，2m>2×32＝3.∴f(t)min＝f(m)>log24＋3－5＝0，即当t∈32，＋∞时，f(t)>0恒成立．综上，t的取值范围是

3

2，＋∞.

17.【名师指导】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列以及三角形面积的计算．解：(Ⅰ)由(b－c)2＝a2－32bc，得b2＋c2－a2＝12bc，(2分)

即b2＋c2－a22bc＝14，由余弦定理得cosA＝14，(4分) 因为0(Ⅱ)由sinB，sinA，sinC成等差数列，得sinB＋sinC＝2sinA，(7分) 由正弦定理得b＋c＝2a＝4，所以16＝(b＋c)2，所以16＝b2＋c2＋2bc.(8分)

由(Ⅰ)得16＝a2＋52bc，

所以16＝4＋52bc，解得bc＝245，(10分) 所以S△ABC＝12bcsinA＝12×245×154＝3155.(12分) 18.【名师指导】本题考查独立性检验．解：(Ⅰ)K2＝50×（25×11－5×9）230×20×16×34≈8.104>6.635.(2分) 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．(4分) (Ⅱ)X可取0，1，2，3.(5分)

P(X＝0)＝C36C39＝521，(6分)

P(X＝1)＝C13C26C39＝1528，(7分) P(X＝2)＝C23C16C39＝314，(8分) P(X＝3)＝C33C39＝184，(9分) - 12 -

所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 521 1528 314 184 (10分)

E(X)＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.(12分) 19.【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求法． (Ⅰ)证明MN⊥平面PAC，从而证得MN⊥PC；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求出平面MNC与平面APMB的法向量，利用空间向量夹角公式求解．解：(Ⅰ)证明：作ME∥PA交AB于E，NF∥PA交AD于F，连接EF，BD，AC. 由PM∥AB，PN∥AD，易得ME綊NF，所以四边形MEFN是平行四边形，所以MN∥EF，(2分) 因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又易得EF∥BD，所以AC⊥EF，所以AC⊥MN，(3分) 因为PA⊥平面ABCD，EF平面ABCD，所以PA⊥EF，所以PA⊥MN，因为AC∩PA＝A，(4分) 所以MN⊥平面PAC，故MN⊥PC.(5分)

(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，

则C(0，1，0)，M32，－12，2，N

－32，－1

2，2，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(3，

0，0)，所以CM→＝32，－32，2，CN→＝－32，－32，2，AP→＝(0，0，2)，AB→＝(3，1，0)， (7分)

设平面MNC的法向量为m＝(x，y，z)，则32x－32y＋2z＝0，－32x－32y＋2z＝0，令z＝1，得x＝0，y＝43，所以m＝

0，

3，1；(9分)

设平面APMB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则2z1＝0，3x1＋y1＝0，令x1＝1，得y1＝－3，z1＝0，