3-1矩阵的可对角化

= Pdiag (λ1 ,⋯ , λ1 , λ2 ,⋯ , λ2 , ⋯⋯ λσ , ⋯, λσ )
所以： 所以：
A = Pdiag (λ1 ,⋯ , λ1 , λ2 , ⋯, λ2 ,⋯⋯ λσ ,⋯ , λσ ) P −1
为单纯矩阵，充分性得证。 即 A 为单纯矩阵，充分性得证。
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A 所以， 至少有 所以， 关于特征值 λi 至少有 mi 个线性无关的特
征向量， 征向量，于是 ai ≥ mi 而有定理知： 而有定理知：ai ≤ mi ，所以 ai = mi 定理得证
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A ∈ C n×n ，则 A 为单纯矩阵的充分必要条 推论1： 推论 ：设
设：
1 2 2 σ σ σ P = ( p1 , p1 ,⋯ , p11 , p12 , p2 , ⋯ , pa2 ,⋯ , p1 , p2 ,⋯ , paσ ) 2 a
则：
σ σ σ 1 2 2 AP = A( p1 , p1 , ⋯, p11 , p12 , p2 ,⋯ , pa2 ,⋯ , p1 , p2 ,⋯ , paσ ) 2 a
定理1(Schur引理 ： 定理 引理)： 引理 酉相似于一个上(下 三角矩阵 任何一个 n 阶复矩阵 A 酉相似于一个上 下)三角矩阵 即： n×n H
∃U ∈ U
, s.t
A = URU
其中： 其中： R 为上三角阵 证明：用数学归纳法。 A 的阶数为1时定理显然 成 证明：用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然 时定理成立， 立。现设 A 的阶数为 k − 1 时定理成立， 时的情况。 考虑 A 的阶数为 k 时的情况。 取 k 阶矩阵 A 的一个特征值 λ1 ，对应的单位
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从前面的讨论可知，在有限维线性空间中，取 从前面的讨论可知，在有限维线性空间中， 定一个基后， 定一个基后，线性变换与矩阵之间存在着一一对应 关系。因此，利用矩阵来研究线性变换十分方便。 关系。因此，利用矩阵来研究线性变换十分方便。 对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基， 对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基， 使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单， 使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单，这是本 节结尾要讨论的问题。为此， 节结尾要讨论的问题。为此，我们引入特征值与特 征向量的概念。 征向量的概念。 特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的 应用，大型建筑物与机械的振动， 应用，大型建筑物与机械的振动，机翼的颤振以及 调节系统的自振等都是常见的例子。 调节系统的自振等都是常见的例子。
n ×n
H ( A ∈ R n×n ) , 如果 A 满足 AA
= AH A
1 −1 1 1
为实正规矩阵
1 1 1 −1 2 0 = A A = AA = 1 1 0 2 − 1 1
H H
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特征向量为α 1，构造以 α 1 为第一列的 k 阶酉矩阵
对于特征值 λ2 = −6，
a2 = n − rank (λ2 I n − A) = 3 − rank (−6 I 3 − A) = 3− 2 =1
定理2： 定理 ： λi ∈ C n×n , λi 的代数重复度为 mi ,几何重复度 设 A的几何重复度不大于它的代数重复度 几何重复度 则有： 为 ai ,则有： ai ≤ mi 则有
又因为： 又因为： det(λI n − A) = (λ − λi ) mi f (λ ) 所以： 所以： ai ≤ mi
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二 矩阵的相似与对角化
A ∈ C n× n ， 若 定义： 定义：设
A 与对角阵相似，则称 A 是 与对角阵相似，
对角化；可对角化的矩阵称为单纯矩阵 单纯矩阵。 可对角化；可对角化的矩阵称为单纯矩阵。 定理3： 定理 ：n 阶矩阵 A 可以对角化的充分必要条件是 每一个特征值的代数重数等于其几何重数。 每一个特征值的代数重数等于其几何重数。
n ×n
A = UBU H ( A = UBU T )
(或R
n ×n
U ∈ U n×n (或E n×n ) ， ) ，若存在
使得: 使得 U H AU = U −1 AU = B(或U T AU = U −1 AU = B ) 酉相似(或正交相似)于 则称 A 酉相似 或正交相似 于 B
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i
定理1 定理 设 A ∈ C n×n , λi 的代数重复度为 mi ,几何重复度 几何重复度 则有： 为 ai ,则有： 则有
ai = n − rank (λi I n − A)
Vλi = {x Ax = λi x, x ∈ C n } ，所以： 证明: 所以： 证明 由于
ai = dim Vλi = dim N (λi I n − A) = n − dim R (λi I n − A) = n − rank (λi I n − A)
λi⋱Βιβλιοθήκη λi0 λi ∆ ∈ C ( n − ai )×( n − ai ) , B = 即：
其中
λi
⋱
λi
0
∗ ∆
AP = PB ⇒ B = P −1 AP
A 与 B 相似。 相似。
ai
det(λI n − A) = det(λI n − B) = (λ − λi ) det(λI n − ai − ∆)
i
AP = A(ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε ai , ε ai +1 , ⋯ , ε n ) = (λiε 1 , λiε 2 , ⋯ , λiε ai , Aε ai +1 , ⋯ , Aε n ) λi = (ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε ai , ε ai +1 , ⋯ , ε n ) Department of Mathematics ∗ = PB ∆
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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第 三 章
矩阵的对角化,若当标准型 矩阵的对角化,
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1，掌握矩阵相似对角化的判别方法； 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2，理解厄米特二次型的含义。 ，理解厄米特二次型的含义。 3，会求矩阵的约当标准形；会求史密斯标准形； ，会求矩阵的约当标准形；会求史密斯标准形； 4，会求若当标准型 重点: 厄米特二次型; 重点: 厄米特二次型 若当标准型 难点: 难点: 矩阵的约当标准形的求法
件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 n× n 推论2： 个互不相同的特征值， 推论 ：设 A ∈ C ，若 A 有 n 个互不相同的特征值， 则 A 为单纯矩阵 2： 例2：判断矩阵
3 −1 1 2 0 1 A= 1 −1 2
A
的特征值
是否可以对角化？ 是否可以对角化？
4i −6 − 2i 4 + 3i (3) −4i 4 − 3i −2 − 6i 1 这是一个正规矩阵 6 + 2i −2 − 6i 这是一个正规矩阵.
(4) H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 阵 阵 正交矩阵 酉矩阵 对角矩阵都是正规矩阵. 对角矩阵都是正规矩阵 酉相似的定义 设 A, B ∈ C
m 证明： 的全部相异的特征值， 证明：设 λ1 , λ2 , ⋯ λσ 为 A 的全部相异的特征值， i , ai 分
i 代数和几何重复度， 别为 λi 代数和几何重复度， = 1,2, ⋯σ
σ
充分性： 充分性：因为
∑m
i =1
i
= n , ai = mi
所以
A 有n 个线性无关的特征向量，设特征向量为 个线性无关的特征向量，
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§3.1 矩阵的可对角化 一,特征值与特征向量 特征值与特征向量
设
A∈ F
n×n
∃λ∈F ∃0 ≠ x ∈F ∈
特征向量
n
Ax = λx
特征值
A∈F
n×n
特征矩阵
λ − a11 − a12 ⋯ − a1n λ − a22 ⋯ − a2n − a21A的不同特征值对应的特 λI − A = ⋮ 征向量是线性无关的 ⋮ ⋮ ⋱ −a − an2 ⋯ λ − ann n1
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2 −2 2 例 1： −2 −1 4 的谱 求矩阵 A = 2 4 −1
及相异特征值的代数重复度与几何重复度 解答： 解答：
λ −2 λI − A =
2 −2 = ( λ − 3)2 (λ + 6)
2
−2 −4
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1 2 2 σ σ σ p1 , p1 ,⋯ , p11 , p12 , p2 ,⋯ , pa2 ,⋯ , p1 , p2 ,⋯ , paσ 2 a i i p1i , p2 ,⋯ , pai 为 λi 对应的特征向量。i = 1,2,⋯σ ) ( 其中： 对应的特征向量。 其中：
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证明： 的几何重复度， 证明：因为ai 是 λi 的几何重复度，所以 A 对应于λi ， 有 ai个线性无关的特征向量 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε ai ，是特征子
ε1 的基， 的基： 空间Vλ 的基，将其扩充为 Cn 的基：, ε 2 ,⋯ , ε ai , ε ai +1 , ⋯ , ε n 设 P = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε ai , ε ai +1 , ⋯, ε n ) ，则：