特征函数和矩母函数PPT课件
特征函数
特函数
概率学术语
01 函数定义
03 函数应用
目录
02 函数性质
特征函数，是指在概率论中，任何随机变量完全定义了它的概率分布的函数。
函数定义
在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。在实直 线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：
函数应用
由于连续定理，特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中。 矩 特征函数还可以用来求出某个随机变量的矩。只要第n个矩存在，特征函数就可以微分n次，得到： 例如，假设X具有标准柯西分布。那么。它在 t=0处不可微，说明柯西分布没有期望值。另外，注意到个独 立的观测的样本平均值具有特征函数，利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值 与总体本身具有相同的分布。 特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母 函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。 一个例子 具有尺度参数θ和形状参数k的伽玛分布的特征函数为： 假设我们有： 其中X和Y相互独立，我们想要知道X+Y的分布是什么。
函数性质
特征函数具有以下基本性质： 勒维连续定理 如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布；反之，如果两个随机变量具有相同 的概率分布，它们的特征函数也相同(显然)。 独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。 反演定理 在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。 给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F： 。 一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值 的积分可能是无穷大。 博赫纳-辛钦定理/公理化定义
特征函数和矩母函数概要知识交流
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征
函数为
(t) eitx f (x)dx
对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特
征函数为
(t) (t1,t2,L
, tn ) EeitX
E
exp
i
n
tk
X
k
k1
性质：
(1) (0) 1, (t) 1, (t) (t) 。 (2) (t)在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则
k 0
k 0
k n1
P (n) (s) n! pn k(k 1) (k n 1) pk skn k n1
令s 0,则P (n) (0) n! pn
故pn
P (n) (0) ，n n!
0,1，
(2)
P(s) pk sk , P(s) kpk sk1
k 0
k 1
E( X ) kpk P(1) k 1
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于
P（X
k）
k
k！e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k 0
(eit ) k
k！
麦克劳林公式
e eeit e (eit 1)
例2 设随机变量X服从[a，b]上的均匀分布，求X的 特征函数。
解
X的概率密度为
1 f (x) b a
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1kΒιβλιοθήκη 1DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
第七章特征函数
第七章 特征函数7.1 特征函数的定义及基本性质定义1：设X 为维实随机向量，称为n Xit TEe t =)(ϕX 的特征函数(characteristicfunction )。
一些常见分布的特征函数。
例1：，则其c.f.为),(~p n B X .1,)()(p q pe q t n it −=+=ϕ例2：X 服从参数为λ的Poisson 分布，则其c.f.为 ).1(exp )(−=it e t λϕ例3：，则其c.f.为),(~2σµN X .)(2221t t i e t σµϕ−=特征函数基本性质：1) 1)0(=ϕ；2) （有界）n R t t ∈∀≤,1)(ϕ 3) （共轭对称）；_______)()(t t −=ϕϕ4) （非负定）对任意给定正整数，任意t 和任意复数m n m R t t ∈L 21,m αααL 21,，0≥)(11−∑∑==m l mk k l k l t t ααϕ；5) )(t ϕ为n R 上的连续函数。
证明：4) 0)(2111)(11≥==−∑∑∑===−==ml Xit l ml mk k l X t t i ml mk k l k l TlTk l Ee E Ee t t αααααϕ∑∑。
定理1：（Bocher ）n R 上的函数)(t ϕ是某个随机变量的特征函数当且仅当)(t ϕ连续非负定且1)0(=ϕ。
定理2：（增量不等式）设)(t ϕ是X 的特征函数，则对任意t 有n R h ∈,[])(Re 12)()(2h t h t ϕϕϕ−≤−+由此)(t ϕ在n R 上一致连续。
证明：[][]∫∫−=−=−++dP ee dP ee t h t Xih Xit Xit Xh t i T T T T 1)()()(ϕϕ，由Schwarz 不等式[])(Re 121)()(222h dP edP et h t Xih Xit T T ϕϕϕ−=−≤−+∫∫。
概率论与数理统计_第4章1节概要
ei tb E (ei ta ) ei tb (at )
例如：设 ~N , , 求 t . t2 解：设 = , 则 ~ N 0,1 , t e 2 故 t Eeit Eeit eit Eeit
特别地，若 ~ U a, a , 则
1 sin at t e dx ， a 2a at 注意，此时 t 是实值的！
a itx
【标准正态分布】
(t )
1 1
2π
e e
i tx
x2 2
dx dx 1
2π
1
cos tx e
e
dF ( x)
定义
若实随机变量 的分布函数为 F ( x) ，则称
(t ) Ee
it
t R
为 的特征函数 (characteristic function). 显然特征函数只与分布函数有关，因此又称某一分布 函数的特征函数.
(t ) Ee E cos t i sin t
x2 2
2π
i sin tx e
x2 2
dx
由于 (t )
'
1
2π
cos tx e
x2 2
dx
x2 2
2π
x sin tx e
dx
1
2π
x2 2
sin tx de
x2 2
1 sin tx e 2π
§37 特征函数
中南大学数学院 概率统计课程组
§3.6 条件分布与条件期望、 回归与第二类回归
在前一章中，对离散型随机变量，我 们曾经研究了ξ在已知发生的条件下的分布 问题，并称P(ξ =xi|η =yj)为条件分布，类似 的问题对连续型随机变量也存在。
设 ( ξ ,η ) 是二维连续型随机变量，由于
P{Y y} 0, 所以 P{ x | y}
其它.
当0 x 1,
f| ( y | x)
f (x, y) f (x)
1
2x
0,
,
x y x, 其它。
(3)
P{
1 |Y 2
0}
P{ 1 , 0}
2
P{ 0}
y
yx
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
2
1
0 1/2
x
y x
例25 设二维随机变量（，）服从二元正态分布：
~ (ξ,η) N(μ1,μ2,σ12,σ22,r)
[2] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统 计(3版).北京:高等教育出版社,2001,12.
[3] 梁之舜,邓集贤,杨维权,司徒荣,邓永录. 概率论与数理统计(2版).北京: 高等教育 出版社,1988,10.
[4] 韩旭里,王家宝,陈亚力,裘亚峥. 概率 论与数理统计.北京:科学出版社,2004.
f
( x,
y)
1, | y | x, 0, 其它.
0
x
1,
试求：（1） f (x) ; f ( y) （2） f| (x | y) ; f| ( y | x)
(3) P{ 1 | 0}.
2
求：(1) f (x), f ( y); (2) f| (x | y), f| ( y | x)
【工程数学课件】4.3 母函数
或取两次，L ，或取r次，L ，是用如下形式表示：
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体 的排列数为nr。
解：设ar为所求的排列数，则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的 指数母函数为：
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。 解：设a2r为所求的方式数，则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普 通母函数为：
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有：a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是，某个物体在排列中不取，或取一次，
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给 定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选，或选一次， 或选二次,…
《概率论与数理统计课件》 特征函数
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT
k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
现代精算风险理论01：损失分布
现代精算风险理论01：损失分布⽬录第⼀讲 损失分布第⼀节 随机变量的数字特征⼀、特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数是对分布函数的变换，常⽤于确定独⽴随机变量之和的分布。
特征函数：对于随机变量 X ，其分布函数为 F (x ) ，其特征函数的定义为：ϕX (t )=E e i tX .定理：分布函数序列 F n (x ) 收敛于分布函数 F (x ) 的充分必要条件是 F n (x ) 的特征函数 ϕn (t ) 收敛于 F (x ) 的特征函数 ϕ(t ) 。
矩母函数：对于随机变量 X ，其分布函数为 F (x ) ，其矩母函数的定义为：m X (t )=E e tX .矩母函数⼀般要求 t >0 ，并且 t 的取值范围和参数分布的参数有关，使得矩母函数存在。
定理：随机变量 X 的 k 阶矩等于矩母函数的 k 阶导数在 t =0 处的取值，即E X k =d kd t km X (t )t =0.定理：如果随机变量 X 和 Y 相互独⽴，则有ϕX +Y (t )=E e i t (X +Y )=E e i tX E e i tY =ϕX (t )ϕY (t ).m X +Y(t )=E e t (X +Y )=E e tXE e tY=m X(t )m Y(t ).注意：随机变量的矩母函数可能存在，也可能不存在。
如果随机变量的矩母函数不存在，则该随机变量的分布被称为重尾分布或厚尾分布（这是重尾分布的⼀种定义）。
定理：假设随机变量 X n 和 X 的矩母函数存在，则 X n 的矩母函数 m n (t ) 收敛于 X 的矩母函数 m (t ) 的充分必要条件是 X n 的分布函数 F n (x ) 收敛于 X 的分布函数 F (x ) 。
⼆、概率母函数和累积量母函数概率母函数：对于随机变量 X ，其概率母函数的定义为：[][][]|[][][][][][]g X (t )=E t X =∞∑k =0t k Pr(X=k ).从定义可以看出，概率母函数仅⽤于取值为⾃然数的随机变量。
概率论 4.1 特征函数
i 1 i 2
r1 r2
e
i (1 2 )
e
a bi
e (cos b i sin b)
a
一、定义
定义1 设ξ、η为实值随机变量，称ζ= ξ+ iη为
2
复随机变量，这里 i
1, 称
为ζ的数学期望.
复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和 性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如 E 具有与实数 学期望类似的性质. 定义2 设ξ为实随机变量，称
性质7
任何特征函数f (t)在 (−∞, ＋∞)
f(t) 是非负定的： 对任意正整数n及任意实数
n
t 1 , t 2 , , t n ， 复数 1 , ,
，有
0
这个性质是特征函数的最本质属性之一. 事实上，我们有如下的 波赫纳尔—辛钦(Bochner-Khinchine)定理 函数f (t ) 为 特征函数的充要条件是f (t ) 非负定，连续且f (0) =1.
则f (t)是特征函数，它的分布列为
P ( x n ) a n , n 1 ,2 ,
关于分布函数的可加性
特征函数有很多重要的应用. 比如, 用它来讨论分布函数 的可加性将非常方便.
回忆: 所谓可加性，是指若ξ与η相互独立，服从同一 类型分布，则其和ξ+η也服从该类分布，且其分布中 的参数是ξ与η的相应参数之和. 可加性也称再生性.
事实上我们有如下的波赫纳尔辛钦bochnerkhinchine定理函数f四逆转公式与唯一性定理定理1逆转公式设分布函数fx的特征函数为fitxitx分布函数可由特征函数唯一确定定理2唯一性定理定理3逆傅里叶变换则分布函数fx的导数存在且连续此时dt对应的随机变量必为连续型cost是某随机变量的特征函数