2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第5讲函数的单调性与最值精选教案理5
高考数学一轮复习导数及其应用导数与函数的单调性教学案理北师大版
第二节导数与函数的单调性[最新考纲] 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )[答案] (1)×(2)√(3)√二、教材改编1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )A．在区间(－3,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C[由图像可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函数．]2．函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数D ．减函数D [因为f ′(x )＝－sin x －1＜0在(0，π)上恒成立， 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.]3．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．(0,1] [函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，由f ′(x )＝1－1x≤0，得0＜x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1]．]4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的最大值是________． 3 [f ′(x )＝3x 2－a ≥0，即a ≤3x 2，又因为x ∈[1，＋∞ )，所以a ≤3，即a 的最大值是3.]考点1 不含参数函数的单调性求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间．1.函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增A [f ′(x )＝1－cos x ＞0在(0,2π)上恒成立，所以在(0,2π)上单调递增．] 2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [∵y ＝12x 2－ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，y ′＝x －1x＝x －1x ＋1x.由y ′≤0可解得0＜x ≤1，∴y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]，故选B.]3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 令f ′(x )＝x cos x ＞0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.]求函数的单调区间时，一定要树立函数的定义域优先的原则，否则极易出错．如T 2.考点2 含参数函数的单调性研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(1)讨论分以下四个方面 ①二次项系数讨论； ②根的有无讨论； ③根的大小讨论； ④根在不在定义域内讨论．(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，当a ＜0时，讨论函数f (x )的单调性．[解] 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －2a x＋a －2＝x －2x ＋a x.①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝x －22x≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当0＜－a ＜2，即－2＜a ＜0时，∵0＜x ＜－a 或x ＞2时，f ′(x )＞0；－a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减． ③当－a ＞2，即a ＜－2时，∵0＜x ＜2或x ＞－a 时，f ′(x )＞0；2＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．综上所述，当－2＜a ＜0时，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＜－2时，f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解，在划分函数的单调区间时，要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间断点．已知函数f (x )＝ln(e x ＋1)－ax (a ＞0)，讨论函数y ＝f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝e xe x ＋1－a ＝1－1e x ＋1－a .①当a ≥1时，f ′(x )＜0恒成立， ∴当a ∈[1，＋∞)时， 函数y ＝f (x )在R 上单调递减． ②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，得(1－a )(e x＋1)＞1， 即e x＞－1＋11－a ，解得x ＞ln a 1－a ，由f ′(x )＜0，得(1－a )(e x ＋1)＜1， 即e x＜－1＋11－a ，解得x ＜ln a 1－a .∴当a ∈(0,1)时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a1－a ，＋∞上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 1－a 上单调递减． 综上，当a ∈[1，＋∞)时，f (x )在R 上单调递减；当a ∈(0,1)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a1－a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 1－a 上单调递减．考点3 已知函数的单调性求参数根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716且a ≠0，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． [母题探究]1．(变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． [解] 由h (x )在[1,4]上单调递增得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－2xmin ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．(变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． [解] h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x min ＝－1，所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．3．(变条件)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上不单调，求a 的取值范围． [解] 因为h (x )在[1,4]上不单调， 所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x 有解，令m (x )＝1x 2－2x，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－716. (1)f (x )在D 上单调递增(减)，只要满足f ′(x )≥0(≤0)在D 上恒成立即可．如果能够分离参数，则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．(2)二次函数在区间D 上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D 的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a≥4x －1x 或3a ≤4x －1x.令h (x )＝4x －1x，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，解得a ＜0或0＜a ≤25或a ≥1.考点4 利用导数比较大小或解不等式用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′；(4)f ′(x )＋f (x )→[e xf (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x e x ′.(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ＞0都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，则( )A ．4f (－2)＜9f (3)B ．4f (－2)＞9f (3)C ．2f (3)＞3f (－2)D ．3f (－3)＜2f (－2)(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x ＞0时，有xf ′x －f xx 2＜0恒成立，则不等式x 2f (x )＞0的解集是________．(1)A (2)(－∞，－2)∪(0,2) [(1)根据题意，令g (x )＝x 2f (x )，其导数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，又对任意x ＞0都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，则当x ＞0时，有g ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)＜g (3)，则有g (－2)＜g (3)，即有4f (－2)＜9f (3)．故选A.(2)令φ(x )＝f x x ，∵当x ＞0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′＜0，∴φ(x )＝f xx在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0， ∴在(0，＋∞)上，当且仅当0＜x ＜2时，φ(x )＞0， 此时x 2f (x )＞0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．]如本例(1)已知条件“2f (x )＋xf ′(x )＞0”，需构造函数g (x )＝x 2f (x )，求导后得x ＞0时，g ′(x )＞0，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．而本例(2)则需构造函数φ(x )＝f xx解决． 1.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x2f (x 1) B ．e x1f (x 2)＜e x2f (x 1) C ．e x1f (x 2)＝e x2f (x 1)D ．e x1f (x 2)与e x2f (x 1)的大小关系不确定 A [设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意得g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1ex 1＜f x 2ex 2，所以e x1f (x 2)＞e x2f (x 1)．]2．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )＜12，则不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集为________． (－∞，－1)∪(1，＋∞) [由题意构造函数F (x )＝f (x )－12x ，则F ′(x )＝f ′(x )－12.因为f ′(x )＜12，所以F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减．因为f (x 2)＜x 22＋12，f (1)＝1，所以f (x 2)－x 22＜f (1)－12，所以F (x 2)＜F (1)，又函数F (x )在R 上单调递减，所以x 2＞1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]。
2019版高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第二节 函数的单调性与最值实用
(2)若 k＞0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同，若 k＜0，则 kf(x) 与 f(x)单调性相反；
(3)在公共定义域内，函数 y＝f(x)(f(x)≠0)与 y＝－f(x)，y ＝f1x单调性相反；
(4)在公共定义域内，函数 y＝f(x)(f(x)≥0)与 y＝ fx单 调性相同；
所以有xx－＞80＞，0， xx－≤9，
解得 8＜x≤9.
[答案] (8,9]
[方法技巧]
含“f ”号不等式的解法
原不等式
函数的性质 ―――――→
fgx＞fhx
函数的单调性 ――――――→
去
解不等式 “f ”号，转化为“g(x)＞h(x)”型具体的不等式―――――→
[易错提醒] (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立 “定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表 示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连 结，也不能用“或”连结． (3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所 以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量 x1，x2 对应的函 数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个 变量是区间内的任意两个自变量．
(2)设 t＝x2－2x－3，由 t≥0， 即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数 t＝x2－2x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所以函 数 t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． 所以函数 f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] (1)③ (2)[3，＋∞)
应用(二) 解函数不等式
[例 3] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足 f(xy)＝f(x)
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
2019-2020学年高考数学二轮复习 导数的应用 2单调性与最值学案 理.doc
2019-2020学年高考数学二轮复习 导数的应用 2单调性与最值学案理【考点】导数的应用的考察主要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.【复习目标】1、结合实例，理解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；2、独立思考，合作学习，理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会求常用函数的极大值、极小值。
【构建考点】思考1．求可导函数y=f(x)在的最值的步骤是怎样的？思考2：比较函数的最值与极值之间关系？思考3、函数()f x 在区间上单调等价于【课内探究】函数最值的应用例1已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数.(Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.变式：1、求证:在区间(1,)+∞上,函数21()ln 2f x x x =+的图象总在函数32()3g x x =的下方.2、已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++．若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围．3、设213a <<，函数()3232f x x ax b =-+在区间[]1,1-上的最大值为1，最小值为2-，求函数的解析式。
利用单调性求参数的范围:例2：若函数21()ln 22f x x ax x =--存在单调递减区间,求实数a 的取值范围.变式1、设函数f (xx 3a x 2ax ，其中a .若f (x )在上为增函数，求a 的取值范围。
变式2：已知0a >，函数()ln f x x ax =-。
2019届高三数学一轮复习精品课件：第二章 第2节 函数的单调性与最值
递增，所以 f(x)在[－1,1]上单调递减，故 f(x)在[－1,1]上的最大 值为 f(－1)＝3.
高考·导航
课时作业
首页
上页 下页
尾页
教材通关
(2)函数单调性的两种等价形式 设任意 x1，x2∈[a，b]且 x1＜x2，那么 fx1－fx2 fx1－fx2 ① ＞0⇔f(x)在[a， b]上是增函数； ＜0⇔f(x) x1－x2 x1－x2 在[a，b]上是减函数． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
A．①② C．③④
高考·导航
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
课时作业
首页
上页 下页
尾页
教材通关
解析：①y＝
在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1 在(0,1)上递增， (x＋1)在(0,1)上递减； ③结合图像可知
1 且 0＜ ＜1， 故 y＝ 2
y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1 在(0,1)上递增，且 2＞1， 故 y＝2x 1 在(0,1)上递增． 故在区间(0,1)上单调递减的函数序号
＋
是②③.
答案：B
高考·导航
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
课时作业
首页
上页 下页
尾页
教材通关
2． (2018· 天津模拟)若函数 f(x)满足“对任意 x1， x2∈(0， ＋∞)， 当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)”，则 f(x)的解析式可以是( C ) A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex
1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1) x 解析：根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
2019-2020学年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2课时 函数的单调性与最值教案.doc.doc
2019-2020学年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2课时函数的单调性与最值教案1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两数”改为“存在两数”.( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数.( √ ) (3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (4)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(5)所有的单调函数都有最值.( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( × )1.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A.y ＝1x－xB.y ＝x 2－x C.y ＝ln x －x D.y ＝e x－x答案 A解析 对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数；B ，C ，D 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调. 故选A.2.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A.－2 B.2 C.－6 D.6答案 C解析 由图像易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3.若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增答案 B解析 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0； 由y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，知b <0. ∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－b2a <0，又∵y ＝ax 2＋bx 的开口向下，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数.故选B. 4.(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 5.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________. 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示.由图像可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞).题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2) B.y ＝－x ＋1 C.y ＝(12)xD.y ＝x ＋1x(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(2，＋∞)D.(－∞，－2)(3)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为____________________________________. 答案 (1)A (2)D (3)(－∞，－1]，[0,1]解析 (1)因为y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， 所以在区间(0，＋∞)上为增函数.(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2).(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图像如图.由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数.命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性. 解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－x 2－，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增.综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增. 引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1(a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1－1－ax 2x 2－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－x 22－＝a x 2－x 1x 1x 2＋x 21－x 22－.∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数.证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0， 有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a ]上为减函数； 当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. 方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－a x2>0，解得x >a 或x <－a (舍).令f ′(x )<0，则1－a x2<0，解得－a <x <a . ∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数.题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1].(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞). ①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]. 思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________.答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A.f (x 1)<0，f (x 2)<0B.f (x 1)<0，f (x 2)>0C.f (x 1)>0，f (x 2)<0D.f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A.(－1,1)B.(0,1)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.a >－14B.a ≥－14C.－14≤a <0D.－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，－a ＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2).思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A.(8，＋∞)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(0,1)B.(－1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1]答案 (1)B (2)D解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1.确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式. 规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数.[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2).[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.[方法与技巧]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图像法、换元法. [失误与防范]1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A.y ＝1xB.y ＝e －xC.y ＝－x 2＋1 D.y ＝lg|x |答案 C解析 y ＝1x是奇函数，选项A 错；y ＝e －x是指数函数，非奇非偶，选项B 错；y ＝lg|x |是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D 错；只有选项C 是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减. 2.已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1] B.[1,2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3.已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <a D.a <b <c答案 B解析 ∵函数图像关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，即b <a <c . 4.若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A.－3B.－2C.－1D.1答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5.已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A.(0，34) B.(0，34] C.[0，34) D.[0，34] 答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数， 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－a －4a ≥3，得0<a ≤34， 综上a 的取值范围是0≤a ≤34. 6.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________.答案 (－∞，2) 解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2).综上，f (x )的值域是(－∞，2).7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2. 8.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________. 答案 3解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.9.已知f (x )＝xx －a (x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增.(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1].10.设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围.解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (1)＝0， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<f (x 1)， 所以f (x )是减函数.由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，其中0<x <2， 由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－223，1＋223. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1，2)C.(0,1)∪(1，2)D.(2，＋∞)答案 B解析 设g (x )＝x 2－ax ＋12，因为g (x )的图像开口向上，有最小值.又因为f (x )在定义域内有最小值，所以y ＝log a t 应单调递增，即a >1，且x 2－ax ＋12>0恒成立，所以1<a <2，故选B.12.函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A.f (x )＝1xB.f (x )＝(x －1)2C.f (x )＝e xD.f (x )＝ln(x ＋1) 答案 A 解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数.A 中，f (x )＝1x满足要求； B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数.13.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为______. 答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3. 所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).14.已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数.(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围. 解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }.(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2， 而h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第二节函数的单调性与最值实用课件文
函数单调性的应用
应用(一) 比较函数值或自变量的大小 [例 2] (1)已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，当
x2＞x1＞1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 恒成立，设 a＝f －12， b＝f(2)，c＝f(e)，则 a，b，c 的大小关系为____________．
02 突破点(二) 函数的最值
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的最值 (1)设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在 x0∈A，使得对于 任意 x∈A，都有 f(x)≤f(x0) ，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大值， 记为 ymax＝f(x0)． (2)设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在 x0∈A，使得对于 任意 x∈A，都有 f(x)≥f(x0)，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值， 记为 ymin＝f(x0)．
函数的单调性 ――――――→
去
解不等ห้องสมุดไป่ตู้ “f ”号，转化为“g(x)＞h(x)”型具体的不等式―――――→
求得原不等式的解集
[提醒] 上述 g(x)与 h(x)的值域应在外层函数 f(x)的定义 域内．
[易错提醒] (1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任 意子区间上也是单调的． (2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外， 还要注意衔接点的取值．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求函数的最值(值域) 1．利用函数的单调性求解函数最值的步骤 (1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值． 2．分段函数的最值 由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式， 因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上 的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大 值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最大(小)值学案
第二节 函数的单调性与最大(小)值[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第9页) [基础知识填充]1．函数的单调性 (1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间． 2．函数的最大(小)值函数单调性的常用结论(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋a x(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增加的．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |在R 上是增加的．( )(4)函数y ＝x 2－2x 在区间[3，＋∞)上是增加的，则函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间为[3，＋∞)．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝xC ．y ＝1xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [选项A ，B 中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D 为在定义域内为单调递减函数，选项C 中，设x 1＜x 2(x 1，x 2≠0)，则y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1－x 2＜0，当x 1，x 2同号时x 1x 2＞0，1x 2－1x 1＜0，当x 1，x 2异号时x 1x 2＜0，1x 2－1x 1＞0，所以函数y ＝1x在定义域上不是单调函数，故选C ．] 3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________.[1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )max ＝f (－2)＝8.](对应学生用书第10页)(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．【导学号：00090017】(1)D [由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数．欲求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D ．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)·x 1x 2－kx 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上是增加的． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上是减少的．考虑到函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上是增加的，在(－k ，0)上是减少的．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上是增加的，在(－k ，0)和(0，k )上是减少的． 法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上是增加的，在(－k ，0)和(0，k )上是减少的．[规律方法] 1.函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．2．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底． 3．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] (1)(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(1)D (2)D [(1)选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增加的，故y ＝11－x 在(－1,1)上是增加的；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上是增加的，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上是增加的；选项D 中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减少的，故y ＝2－x在(－1,1)上是减少的．(2)由x 2－4＞0得x ＞2或x ＜－2，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]已知f (x )＝x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的范围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增加的，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.4分(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)上是增加的．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.7分②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上是增加的，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]. 12分 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，8分∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值范围为(－3,1].12分[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增加的，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )． 请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减少的呢？ [变式训练2] (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．(2)(2016·北京高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.【导学号：00090018】(1)2 (2)2 [(1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. (2)法一：∵f ′(x )＝－1x －2，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立， ∴f (x )在[2，＋∞)上是减少的，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图像是将y ＝1x的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[1，＋∞)上是减少的，∴f (x )在[2，＋∞)上是减少的，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用角度1(2017·河南百校联盟质检)已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A ．f (b )＜f (a )＜f (c ) B ．f (c )＜f (b )＜f (a ) C ．f (c )＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (c )＜f (a )B [易知f (x )＝2x－2－x为单调递增函数，而a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714＞⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b ＞0，c ＝log 279＜0，所以f (c )＜f (b )＜f (a )，故选B ．] 角度2 解不等式(2017·湖北重点高中联合协作体联考)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)，则满足f (a 2－1)＋f (a －1)＞0的a 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(1，2) C ．(1,2)D ．(0，2)B [由题意知f (－x )＝(－x )3＋sin(－x )＝－x 3－sin x ＝－(x 3＋sin x )＝－f (x )，x ∈(－1,1)，∴f (x )在区间(－1,1)上是奇函数； 又f ′(x )＝3x 2＋cos x ＞0， ∴f (x )在区间(－1,1)上是增加的， ∵f (a 2－1)＋f (a －1)＞0， ∴－f (a －1)＜f (a 2－1)，∴f (1－a )＜f (a 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜a 2－1＜1，1－a ＜a 2－1，解得1＜a ＜2，故选B ．]角度3 求参数的取值范围(1)若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上是增加的；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上是增加的， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上是增加的，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．。
2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第二节函数的单调性与最值实用课件理
本节主要包括 2 个知识点： 1.函数的单调性； 函数的最值.
01
突破点(一) 函数的单调性
02
突破点(二) 函数的最值
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
01 突破点(一) 函数的单调性
自学区 抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
1．单调函数的定义
增函数
＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当 f(x)＋f(x－8)≤2 时，x 的取值范围是
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9]
() D．(0,8)
[解析] 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由 f(x)＋f(x－8)≤2，可
得 f[x(x－8)]≤f(9)，因为 f(x) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，
(4)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数 在其关于原点对称的区间上单调性相反．
[例1] (1)(2018·浙江金华十校调研)下列函数中，在区间
(0，＋∞)内单调递减的是
()
A．y＝1x－x
B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x
D．y＝ex－x
(2)(2018·广东佛山联考)讨论函数f(x)＝
[解析]
因为函数f(x)＝log2x＋
1 1－x
在(1，＋∞)上为
增函数，且f(2)＝0，
所以当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，
当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.
[答案] B
应用(二) 解函数不等式
[例 3] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足 f(xy)
2019年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.11.1导数与函数的单调性课件理
「应用提示研一研」 1．在某区间内 f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不 必要条件． 2 ．可导函数 f(x) 在 (a ， b) 上是增 ( 减 ) 函数的充要条件是对 ∀ x ∈ (a ， b) ，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3． 对于可导函数 f(x)， f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极值的必要不充分条件．
必修部分
第二章 函数、导数及其应用
第十一节 导数的应用
第一课时 导数与函数的单调性
栏 目 导 航
考情分析
1 3
考点疑难突破
基础自主梳理
2 4 课时跟踪检测1考 情 分 析考点分布 1.导数与函 数的单调性 2.导数与函 数的极值、 最 值
考纲要求 1.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系： 能利用导数研究函数的单调性，会 求函数的单调区间( 其中多项式函 数一般不超过三次)． (2) 了解函数在某点取得极值的必 要条件和充分条件：会用导数求函 数的极大值、 极小值(其中多项式函 会求闭区间上 3.导数的综 数一般不超过三次)； 函数的最大值、 最小值(其中多项式 合应用 函数一般不超过三次)． 2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题．
数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b) 为函数的最大 值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a) 为函数的最大值， f(b) 为函数的最小值．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5讲 函数的单调性与最值 1．增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I， (1)如果对于定义域I内某个区间D上的__任意两个__自变量的值x1，x2，当x1都有f(x1)(2)如果对于定义域I内某个区间D上的__任意两个__自变量的值x1，x2，当x1都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__减函数__. 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D叫做y＝f(x)的__单调区间__. 3．函数的最大值与最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值．
4．函数单调性的常用结论 区间D上单调递增 区间D上单调递减
考纲要求 考情分析 命题趋势 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2017·全国卷Ⅰ，5 2017·浙江卷，17 2016·全国卷Ⅱ，21(1) 2016·四川卷，20(1) 1．函数的单调性和最值等是高考热点题型，经常是利用单调性求最值或者是求参数的范围． 2．难度小，偏重技巧，主要以选、填形式出现，属基础试题． 3．解题时考生要认真分析，选准突破口，采用适当的方法，如数形结合、分类讨论等方法．函数的单调区间不能用并集，注意端点值的取舍．
分值：4～6分 定义法 x1f(x2) 图象法 函数图象是上升的 函数图象是下降的 导数法 导数大于零 导数小于零 运算法 递增＋递增＝递增 递减＋递减＝递减 复合法 内外层单调性相同 内外层单调性相反
5．对勾函数的单调性 对勾函数y＝x＋ax(a>0)的递增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)；递减区间为[－a，0)和(0，a]，且对勾函数为奇函数．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数y＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (2)函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为[a，b]．( × ) (3)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)·g(x)也是增函数．( × ) (4)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．( √ ) 解析 (1)错误．一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接． (2)错误．f(x)在区间[a，b]上是递增的并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能是递增的． (3)错误．举反例：设f(x)＝x，g(x)＝x－2都是定义域R上的增函数，但是 f(x)·g(x)＝x2－2x在R上不是增函数． (4)正确．易知函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，由对称性可知结论正确． 2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( D )
A．y＝11－x B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x 解析 A项中，y＝11－x＝1－x－1的图象是将y＝－1x的图象向右平移1个单位得到的，
故y＝11－x在(－1,1)上为增函数，不符合题意；B项中，y＝cos x在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；C项中，y＝ln (x＋1)的图象是将y＝ln x的图象向左平移1个单位得到的，故y＝ln (x＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；D项符合题意． 3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( C ) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 解析 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，则a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2，故选C． 4．函数f(x)＝log12 (x2－4)的单调递增区间为__(－∞，－2)__.
解析 函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝log12 t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log12 t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)
上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增． 5．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__[2，＋∞)__. 解析 ∵f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴f(x＋a)＝(x＋a－2)2－1，且当x∈[2－a，＋∞)时，函数f(x＋a)单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.
一 判断(或证明)函数的单调性 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．
【例1】 (1)判断函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上的单调性．
(2)判断并证明函数f(x)＝axx2－1(其中a>0)在x∈(－1,1)上的单调性． 解析 (1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则y1－y2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1. ∵x1>－1，x2>－1，∴x1＋1>0，x2＋1>0， 又x10，∴x2－x1x1＋1x2＋1>0，即y1－y2>0.
∴y1>y2，∴函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数． (2)f′(x)＝ax2－1－2ax2x2－12＝－ax2＋1x2－12. 又a>0，所以f′(x)<0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 二 求函数的单调区间
求函数单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间． 注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开． 【例2】 求下列函数的单调区间． (1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log12 (x2－3x＋2)．
解析 (1)由于y＝ －x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x<0， 即y＝ －x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x<0. 画出函数图象如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12 u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2. ∴函数y＝log12 (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又u＝x2－3x＋2的对称轴为x＝32，且开口向上， ∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12 u在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y＝log12 (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
三 求函数的值域(最值) 求函数值域(最值)的常用方法 (1)分离常数法．形如y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解． (2)配方法．配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a(f(x))2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．
(3)换元法．①代数换元，形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d为常数，ac≠0)的函数，可设cx＋d＝t(t≥0)，转化为二次函数求值域．②三角换元．对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响． 另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域(最值)． 【例3】 求下列函数的值域．
(1)y＝5x－14x＋2，x∈[－3，－1]；(2)y＝2x＋1－2x； (3)y＝x＋4＋9－x2； (4)y＝x＋32＋16＋x－52＋4.
解析 (1)(有界性法)由y＝5x－14x＋2，
得x＝2y＋15－4y. ∵－3≤x≤－1，∴－3≤2y＋15－4y≤－1， 解得85≤y≤3，∴函数的值域为85，3. (2)(代数换元法)令t＝1－2x(t≥0)，则x＝1－t22， ∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54.∴当t＝12，即x＝38时， y取最大值，ymax＝54，且y无最小值，∴函数的值域为－∞，54.
(3)(三角换元法)令x＝3cos θ，θ∈[0，π]，则