排列与组合的常见模式
二项式拓展之：解排列组合常用的方法
二项式拓展之：解排列组合常用的方法排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++L种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯L种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.相邻元素捆绑策略例1.【2012 辽宁5】一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为A ．33!⨯B ．()333!⨯ C ．()43!D ．9!【命题意图】本题主要考查相邻的排列问题，是简单题.【命题意图】每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()43!，故选C.练习题:1.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
上下楼梯中的排列组合问题
上下楼梯中的排列与组合问题陕西省丹凤中学李德葆 726200我们每天都要走楼梯，你是否想过：同一楼梯，有多少种走法？下面我们就来讨论这个问题。
例1 从一楼到二楼的楼梯有17 级，上楼时可以一步走1级，也可以一步走2级，若要求11步走完这段楼梯，则有多少种不同的走法？解：首先要明确11步走完这17级楼梯，需要5步走1级，6步走2级。
因此，要确定一种走法，只要确定这11步之中，哪5步走的是1级，哪6步走的6=462 种。
是2级就可以了，所以，不同的走法总数为：C11例2 某人从楼下到楼上要走17级楼梯，上楼时可以一步走1级，也可以一步走2级，则有多少种不同的走法？分析：此题和上例的区别是没有要求几步走完，需要分类讨论，把这个问题转化为例1的模式来解决。
17161514131211108=1+16+105+364+715+792+462+120+9=2584C9数学来源于生活，又能解决生活中的许多实际问题，同学们要善思多想，学会先把实际问题数学化，再用数学知识解决问题的方法。
该文发表于2006年6月14日《学习报》李德葆，男，中学高级数学教师，中国数学奥林匹克壹级教练员，陕西省高中数学竞赛省级优秀辅导员，商洛市教研室兼职教研员，2007年8月评为商洛市教学能手，2009年9月评为商洛市教学名师，2007年8月获陕西省优秀课评比与观摩活动二等奖。
他积极撰写了大量的教育教学论文，《动中求静巧解高考题》、《03年高考最后一题的算术解法》、《一道重心问题的多种解法》、《什么是平面》、《运用整体思想解竞赛题》、《课堂教学要强调结论与过程的和谐统一》、《传统意义上学生评价的不科学性》……，分别发表于《学习方法报》、《数理天地》、《学习报》、《中学时光•当代教育研究》等报刊、杂志。
识别模式巧解排列组合
识别模式巧解排列组合排列组合问题是高考的必考题，它题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，是解决排列组合的有效途径.下面笔者结合自己的教学粗浅地介绍巧解排列组合的几种方法。
1.相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1. 五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有a、60种b、48种c、36种d、24种解析：a，b把视为一人，且b固定在 a的右边，则本题相当于4人的全排列，种，2.相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是a、1440种b、3600种c、4820种d、4800种3.有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例3.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是a、1260种b、2025种c、2520种d、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有选c .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有答案：a .4.全员分配问题分组法：例4.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为a、480种b、240种c、120种d、96种答案： b.5.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例5.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有a、210种b、300种c、464种d、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？6.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式例6.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集={6人中任取4人参赛的排列}，a={甲跑第一棒的排列}，b={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：7.选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例7.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？8.可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.例8.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.9.复杂排列组合问题构造模型法：例9.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法，所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.10.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：例10.（1）30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四接直线有3×58=174对.总之，在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，找准适合的类型，就可以快速准确的解决排列组合问题；另外在解答排列组合问题时，要避免重复和遗漏，多总结规律，掌握技巧，不断提高同学们的分析问题和解决问题的能力。
高三数学排列,组合和二项式定理
精品学案：排列，组合和二项式定理高考大纲对排列，组合和二项式定理这一章的考试内容及考试要求为： 1．分类计数和分步计数原理； 2．排列组合公式3．组合组合数公式和组合数的两个性质 4．二项式定理和二项式展开式 考试要求掌握分类计数和分步计数原理，并能用他们解决一些简单的应用问题。
理解排列的意义，掌握排列的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。
理解组合的意义，掌握组合的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。
掌握二项式定理和他的展开式的性质，并能用他计算和证明一些简单的应用问题。
要点一计数原理1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 要点二排列1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）和m n A =!()!n n m -4阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．要点三组合1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且4组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；2：m n C 1+＝m n C +1-m n C要点四二项式定理1．正确理解二项式展开式中的第r ＋1项，第r ＋1项的二项式系数，第r ＋1项的系数之间的差别．2．二项系数的性质问题求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n 奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解．3．二项式的某项系数问题该问题解法多样，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，三项式（a ＋b＋c）n的展开式中，a p b q c r的系数为4．赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的x∈A，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立．特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，一般x0＝0， 1，－1取较多．一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f--，偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f+-．如二项式系数性质。
图形的排序与排列
图形的排序与排列图形的排序与排列是数学中一个重要的概念和技巧，它在解决问题、进行分析和理论研究等方面都具有广泛的应用。
本文将介绍图形的排序与排列的基本概念、方法和应用，帮助读者更好地理解和运用这一知识。
一、图形的排序图形的排序是指将给定的一组图形按照某种特定的规则或条件进行排列，使得它们按照一定的顺序呈现出来。
常见的图形排序方法有按照形状、按照大小和按照属性等多种方式。
1. 按照形状排序按照形状进行图形排序是将一组图形按照它们的形状特征进行区分和排列。
例如，对于一组由圆形、正方形和三角形组成的图形，可以按照圆形、正方形和三角形的顺序进行排序。
2. 按照大小排序按照大小进行图形排序是将一组图形按照它们的大小进行区分和排列。
例如，对于一组不同大小的正方形，可以按照它们的边长或面积大小进行排序。
3. 按照属性排序按照属性进行图形排序是将一组图形按照它们的某种属性进行区分和排列。
例如，对于一组由红色、蓝色和绿色三种颜色的正方形组成的图形，可以按照颜色的顺序进行排序。
二、图形的排列图形的排列是指将给定的一组图形按照一定的规则或条件进行布置和组合，使得它们形成一定的顺序和形态。
常见的图形排列方法有排列组合、矩阵排列和旋转排列等多种方式。
1. 排列组合排列组合是一种将图形按照一定的规则进行排列和组合的方法。
例如，对于一组由三个不同的图形组成的序列，可以通过排列组合的方法计算出所有可能的排列方式。
2. 矩阵排列矩阵排列是一种将图形按照行和列的方式进行布置和排列的方法。
例如，对于一组由正方形组成的图形，可以按照一定的行列数目进行矩阵排列。
3. 旋转排列旋转排列是一种将图形按照旋转的方式进行布置和排列的方法。
例如，对于一组由正方形组成的图形，可以通过旋转图形的方法得到不同的排列形态。
三、图形排序与排列的应用图形的排序与排列在数学中具有广泛的应用。
它不仅在解决问题和进行分析时可以发挥重要的作用，还可以用于理论研究和实际应用中。
第三节 排列与组合(二)
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考点探究
考点3 用间接法求组合数
【例 3】 平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3 点 共线． (1)用这 9 个点可以确定多少条直线？ (2)用这 9 个点可以确定多少个三角形？ (3)用这 9 个点可以确定多少个四边形？
【例 1 】 (1) 方程 x ＋ y ＋ z ＝ 9 共有 n 组正整数解，则 n 等于
28 _____________ ．
(2)10 名战士站成一排，从中任选 3 个互不相邻的战士去执行一项 任务，则不同的选派方法的种数是________ 56 ． 点评：组合数计数对应的元素不考虑其在位臵上的顺序，解决有关 组合数计数问题时， 关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只 有一种顺序．
1 3 4 边形的个数为 C4 － C C － C 9 5 4 4＝105.
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点评：当一个组合数的分类较多，或正面求解较复杂时，可用从 反面考虑，在整体中把不符合的组合数去掉得到满足条件的组合数．
考点探究
变式探究
3． 从 4 名男生和 5 名女生中任选 5 人参加数学课外小组． (1)选 2 名男生和 3 名女生，且女生甲必须入选的方法数 为________ 36 ； (2)最多选 4 名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方 法数为________ ． 90
3 3 3 DEF，GHK，)，那么 C9 C6C3种分法中还包括了(ABC，GHK，DEF)，
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(DEF，ABC，GHK)，(DEF，GHK，ABC)，(GHK，ABC，DEF)，
(完整版)高中数学《排列组合》教学设计
高中数学《排列组合》教案设计【教案目标】1．知识目标（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能;（3)熟练应用排列组合问题常见解题方法；（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。
2．能力目标认清题目的本质,排除非数学因素的干扰,抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系,化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。
3．德育目标（1)用联系的观点看问题；（2)认识事物在一定条件下的相互转化；(3）解决问题能抓住问题的本质。
【教案重点】：排列数与组合数公式的应用【教案难点】：解题思路的分析【教案策略】:以学生自主探究为主，教师在必要时给予指导和提示，学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。
【媒体选用】：学生在计算机网络教室通过专题学习网站，利用网络资源(如在线测度等）进行自主探索和研究.【教案过程】一、知识要点精析（一)基本原理1.分类计数原理2。
分步计数原理3。
两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关即“联斥性”:（1)对于加法原理有以下三点：①“斥”——互斥独立事件；②模式:“做事”——“分类”——“加法”③关键：抓住分类的标准进行恰当地分类,要使分类既不遗漏也不重复。
（2）对于乘法原理有以下三点:①“联”——相依事件；②模式：“做事”—-“分步”——“乘法"③关键：抓住特点进行分步,要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立.(二）排列1．排列定义2．排列数定义3．排列数公式（三）组合1．组合定义2．组合数定义3．组合数公式4．组合数的两个性质(四)排列与组合的应用1。
排列的应用问题(1）无限制条件的简单排列应用问题,可直接用公式求解。
（2)有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法"求解。
2．组合的应用问题（1）无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解.（2）有限制条件的组合问题,可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法"求解.3．排列、组合的综合问题排列组合的综合问题，主要是排列组合的混合题，解题的思路是先解决组合问题，然后再讨论排列问题。
初一数学的方案问题
初一数学的方案问题在初一学年的数学课程中，方案问题是一个常见的考点。
通过方案问题，学生可以锻炼解决问题的能力，培养逻辑思维和推理能力。
本文将介绍初一数学方案问题的基本概念、解题方法以及一些例题。
一、方案问题的基本概念方案是指解决问题的方法或步骤，而方案问题则是指在给定条件下，求解问题的不同方法或步骤的个数。
解决方案问题需要考虑问题的具体条件，并通过逻辑推理和数学方法进行分析。
在初一数学中，方案问题主要包括排列、组合和分配等内容。
1. 排列排列是指从若干个元素中选取其中的若干个进行排列，考虑元素的顺序。
在排列中，元素不重复出现，且每个元素只能出现一次。
排列分为有重复元素和无重复元素两种情况。
以一个简单的例子来说明排列的概念。
假设有三个数字1、2、3，要求从中选取两个数字进行排列。
根据排列的定义，我们可以列出所有可能的排列情况为(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)和(3,2)。
所以，此时的排列个数为6。
2. 组合组合是指从若干个元素中选取其中的若干个进行组合，不考虑元素的顺序。
在组合中，元素仅能出现一次，但是顺序不重要。
组合问题常常涉及到的是如何从一定数量的元素中选取部分元素的情况。
继续以上述例子为例，假设要求从三个数字1、2、3中选取两个数字进行组合。
根据组合的定义，所有可能的组合情况为(1,2)、(1,3)和(2,3)。
所以，此时的组合个数为3。
3. 分配分配是指将一定数量的物品依次分配给若干个人或物体的过程。
在分配问题中，通常需要考虑分配的条件以及分配方案的合理性。
例如，有10个苹果和3个盘子，要求将这些苹果平均地分配到三个盘子中。
首先，需要确定分配的条件，即每个盘子应该有几个苹果。
根据平均分配的原则，每个盘子应该分得3个苹果，剩下一个苹果不能平均分配，所以可以选择丢弃或者在某一个盘子中多放一个苹果。
因此，分配苹果的方案共有三种情况：(3,3,4)、(3,4,3)和(4,3,3)。
排列组合问题的类型及解题策略
排列组合应用题的类型及解题策略四川省双流县中学 周汝东排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A 22种；中间4个为不同的商业广告有A 44种，从而应当填 A 22·A 44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A ）720B ）360C ）240D ）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A 种例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
排列组合应用题的解法
排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C n 0种结果；1个人通过，有C n 1种结果，……；n 个人通过，有C n n 种结果。
所以一共有C C C n n n n n 012+++= 种可能的结果。
解法2：用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n 个人也是这样。
所以一共有2n 种可能的结果。
例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类：（1）乙取a ，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有3129⨯+=()种分配方式。
二. 特殊元素（位置）优先例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？解：个位选0，有P 94个，个位不选0且万位不能选0，有C C P 418183个，所以一共可以得到P C C P 9441818313775+=个偶数。
注 0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。
例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？解：先排甲，有P 41种排法。
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排列与组合的常见模式
1、投邮式：将n个不同的元素不受任何限制条件地放到m个不同的位置上去。
例1：将4封不同的信投到3个信筒中去，问有多少种不同的投法？
例2：5本不同的书送给6个人，有多少种不同的送法？
2、座位式：将n个不同的元素放到m个不同的位置上去，每个位置只放一个。
例1：用0-----9的十个数字一共可以组成多少个不同的7位数电话号码？
3、“在与不在”式：某些元素必须在某个位置上或不在某个位置上。
例1：从6 名短跑运动员中选举人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种不同的参加方法？
例2：7人站成一排其中甲只能站两端，乙只能站中间，有多少种不同站法？
4、“邻与不邻”模式：某些元素必须在一起或某些元素不在一起。
例1：将三名男生和4名女生排成一排，在下列条件下各有多少种不同的排法？
(1)3名女生排在一起；
(2)每两名男生都不邻且男生不在最左端；
(3)男、女生间隔排列。
5、“均分与非均分”模式：
例1：将6本不同的书分3个人，在下列条件下各有多少种不同的分法？
(1)每人分2本；
(2)一人分1本，一人分2本，一人分3本；
(3)甲分1本，乙分2本，丙分3本。
(若这6本书相同呢？)
例2：将6本不同的书分成3组，在下列条件下各有多少种不同的分法？
(1)每组2本；
(2)一组1本，一组2本，一组3本；
(3)第一组1本，第二组2本，第组3本。
(若这6本相同呢？)
6、“至多与至少”模式：
例1：某医院有内科医生12名，外科医生8名，要选派5名参加救灾医疗队，其中：
(1)某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有几种选法？
(2)至少有1名内科医生和1名外科医生当选，有几种选法？
(3)至多有3名内科医生，至少也要有1名内科医生参加，有几种选法？
7、“对称性”模式：
例1：6人站成一排，其中甲必须站在乙的右(可以不相邻)，有多少种不同的站法？。