高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.1 不等式的性质活页作业1 北师大版选修45
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4不等式的证明(一)训练北师大版选修4-5(2021年整理)
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1。
4 不等式的证明（一）一、选择题1.若a,b为不等的正数，则（ab k＋a k b)－（a k＋1＋b k＋1） (k∈N＋）的符号( )A。
恒正 B.恒负C.与k的奇偶性有关D。
与a，b大小无关解析(ab k＋a k b）－a k＋1－b k＋1＝b k(a－b）＋a k(b－a）＝(a－b)（b k－a k）∵a〉0，b〉0，若a〉b，则a k>b k,∴（a－b)（b k－a k）〈0；若a<b，则a k〈b k，∴(a－b)（b k－a k）〈0.答案B2.若a>1，m＝错误!＋错误!，n＝错误!＋错误!,则m与n的关系是( )A.m〈nB.m〉nC.m≤n D。
m≥n答案B3.设a、b、c、d、m、n∈(0，＋∞），P＝错误!＋错误!,Q＝错误!·错误!,则有（)A。
P≥Q B.P≤QC。
P>Q D.P〈Q解析采用先平方后作差法。
∵P2－Q2＝(ab＋cd＋2错误!）－错误!＝2错误!－错误!ad－错误!bc＝－错误!错误!≤0，∴P2≤Q2，又∵P>0,Q>0，∴P≤Q。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.1绝对值不等式训练北师大版选修4_5word格式
绝对值不等式一、选择题1. 对随意x，y∈ R， | x－ 1| ＋ | x| ＋| y－ 1| ＋| y＋ 1| 的最小值为 ()A.1B.2C.3D.4分析利用三角不等式直接求解 .∵x，y∈R，∴| x－1|＋| x|≥|( x－1)－ x|＝1，| y－1| ＋ | y＋1| ≥ |( y－ 1) － ( y＋1)| ＝ 2，∴| x－ 1| ＋ | x| ＋ | y－ 1| ＋ | y＋ 1| ≥ 3.∴ | x－ 1| ＋ | x| ＋ | y－ 1| ＋ | y＋ 1| 的最小值为 3.答案 C2. 若函数f ( x) ＝ | x＋ 1| ＋ |2 x＋a| 的最小值为 3，则实数a的值为 ()A.5或8B.－1 或 5C.－1 或－ 4D.－4 或 8分析利用绝对值的几何意义分类议论，依据分析式特点确立函数最小值点从而求a.(1) 当－ 1≤－a，即≤2 时，2 a－3x－a－1，x≤－ 1，f ( x)＝－x－a＋1，－ 1<x<－a，2a3x＋a＋1，x≥－2.易知函数f ( ) 在xa a＝－处取最小值，即1－＝3. x2 2所以 a＝－4.a(2)当－ 1>－2，即a>2 时，－3x－a－1，x≤－a 2，f ( x)＝ ax＋a－1，－2<x<－1，3x＋a＋1，x≥－ 1.a a易知函数 f ( x)在 x＝－2处取最小值，即2－ 1＝ 3，故a＝ 8. 综上a＝－ 4 或 8.答案D3. 假如存在实数x＋ 1建立，那么实数 x 的会合是 ()x ，使 cos α ＝ 2x2A.{ －1， 1}B.{ x | x <0，或 x ＝1}C.{ x | x >0，或 x ＝－ 1}D.{ x | x ≤－ 1，或 x ≥ 1}x 1分析 由 |cos α | ≤ 1，所以 2＋2x ≤ 1.又 x ＋ 1＝ |x|＋1≥1.2 2x22|x||x| 1∴ 2 ＋ 2|x| ＝ 1，当且仅当 | x | ＝1 时建立，即 x ＝± 1. 答案 A4. 正数 a 、 b 、 c 、 d 知足 a ＋ d ＝ b ＋ c ， | a －d | ＜ | b －c | ，则 () A. ad ＝ bc B. ad <bcC. ad >bcD. ad 与 bc 大小不定分析 ∴ a ＋ d ＝ b ＋ c ，∴ a 2＋2ad ＋ d 2＝ b 2 ＋2bc ＋ c 2，a 2＋ d 2－b 2－c 2＝ 2bc － 2ad ，∵ | a － d |<| b －c | ，∴ a 2－2ad ＋ d 2<b 2－2bc ＋ c 2，a 2＋ d 2－b 2－c 2<2ad －2bc ，∴ 3bc － 2ad <2ad － 2bc ，即 ad >bc .答案C5. 已知定义在 [0 ， 1] 上的函数 f ( x ) 知足：① f (0) ＝ f (1) ＝ 0；1②对全部 x ， y ∈ [0 ，1] ，且 x ≠ y ，有 | f ( x ) － f ( y )|< 2| x － y |.若对全部 x ， y ∈ [0 ，1] ， | f ( x ) － f ( y )|< k 恒建立，则 k 的最小值为 ()11A. 2B. 4C.2 11π D. 8分析先利用特值法确立范围，再联合函数的取值特征求解.1 1取 y＝0，则| f ( x)－f (0)|< 2| x－ 0| ，即 | f ( x)|< 2x，1取 y＝1则| f ( x)－ f (1)|< 2| x－ 1| ，1 1 1 1 1 1即| f ( x)|< 2(1 －x). ∴| f ( x)| ＋ | f ( x)|< 2x＋2－2x＝2，∴| f ( x)|< 4. 不如取f ( x) ≥ 0，则111 10≤f ( x)< 4， 0≤f ( y)< 4，∴ | f ( x) －f ( y)|< 4－ 0＝4，1要使 | f ( x) －f ( y)|< k恒建立，只要k≥4.1∴k 的最小值为4.答案 B二、填空题6. 已知－ 2≤a≤3，－ 3<b<4，则a－ | b| 的取值范围为 _____________________.分析∵－ 3<b<4，∴ 0≤ | b|<4 ，－ 4<－ | b| ≤ 0，又－ 2≤a≤3，∴－ 6<a－ | b| ≤ 3.答案( －6，3]7. x， y∈R，若| x|＋| y|＋| x－1|＋| y－1|≤2，则 x＋ y 的取值范围为________.分析利用绝对值的几何意义求解，注意等号建立的条件. 由绝对值的几何意义知， | x|＋| x－ 1| 是数轴上的点x 到原点和点 1 的距离之和，所以| x| ＋ | x－ 1| ≥ 1，当且仅当x∈[0，1]时取“＝”.同理 | y| ＋ | y－ 1| ≥ 1，当且仅当y∈[0，1]时取“＝”.∴|x| ＋ | y| ＋ | x－ 1| ＋ | y－ 1| ≥2.而| x| ＋ | y| ＋ | x－ 1| ＋ | y－ 1| ≤2，∴| x| ＋ | y| ＋ | x－ 1| ＋ | y－ 1| ＝2，此时 x∈[0，1]， y∈[0，1]，∴( x＋ y)∈[0，2].答案[0 ，2]三、解答题8. 已知 | x＋ 1|< ε4 ，| y－2|<ε4 ，| z＋3|<ε4 ，求证： | x＋2y＋z|< ε .证明| x＋2y＋z| ＝| x＋ 1＋2( y－ 2) ＋z＋ 3| ≤| x＋ 1| ＋|2( y－ 2)| ＋ | z＋3|ε ε ε＝| x ＋ 1| ＋2| y － 2| ＋ | z ＋ 3|< 4 ＋ 2 ＋ 4 ＝ ε .∴ | x ＋ 2y ＋z |< ε .9. 若 a ， b ∈ R ，且 | a | ＋ | b |<1 ，证明方程 x 2＋ ax ＋ b ＝ 0 的两个根的绝对值均小于1.证明 法一 2＋ ax ＋ b ＝01 2，依据根与系数的关系，有 1设方程 x 的两根为 x ，x a ＝－ ( x＋ x 2) ， b ＝ x 1x 2，代入 | a | ＋ | b |<1 得 | x 1＋ 2| ＋| 1 2|<1 ，①x x x若用 | x 1| － | x 2 | ≤ | x 1＋ x 2| 对①式作放缩代换，有| x | － | x | ＋ | x | · | x |<1 ，12 12即(| x 1| － 1)(| x 2| ＋ 1)<0.∵ | x 2| ＋ 1>0，得 | x 1| － 1<0，∴ | x 1|<1.若用 | x 2| － | x 1| ≤ | x 1＋ x 2| 对①式作放缩代换，有 | x 2| － | x 1| ＋ | x 1| · | x 2|<1. 同理，由 (|x 2|－ 1)(|1| ＋ 1)<0 ，得 | x 2|<1.x所以，方程 x 2＋ ax ＋ b ＝0 的两个根的绝对值均小于1.法二 假定方程 x 2＋ ax ＋b ＝ 0 起码有一根的绝对值不小于 1. 不失一般性，令 | x 1| ≥ 1， 则依据一元二次方程根与系数的关系，有| a | ＝ | － ( x ＋x )| ＝ | x ＋x | ≥ | x | － | x | ≥ 1－ | x | ，1212122| b | ＝ | x x | ＝ | x 1 | · | x | ≥ | x |.1 222将以上两个不等式相加，得 | a | ＋ | b | ≥ 1. 这与已知 | a | ＋ | b |<1 矛盾 . 究其原由是假定错误所致 .所以方程 x 2＋ ax ＋ ＝ 0 的两根的绝对值均小于1.b10. 已知 f ( x ) ＝ax 2＋ bx ＋c ，且当 | x | ≤ 1 时， | f ( x )| ≤ 1，求证：(1)| c | ≤ 1；(2)| b | ≤ 1.证明(1) 由 | f (0)| ≤ 1，得 | c | ≤ 1.(2) 由 | f (1)| ≤ 1，得 | a ＋ b ＋c | ≤ 1，由| f ( － 1)| ≤ 1，得 | a － b ＋ c | ≤1，| （a ＋b ＋ c ）＋（－ a ＋b －c ）|1 ∴| b | ＝2≤ 2(| a ＋b ＋ c | ＋ | a － b ＋ c |) ≤ 1.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.1绝对值不等式活页作业2北师大版选修4_5word格式
活页作业(二) 绝对值不等式一、选择题1．设ab＞0，下面四个不等式中，正确的是( )①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④解析：∵ab＞0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.∴①和④正确．答案：C2．若|x|≤1时都有|ax＋b|≤1，下列不等式必成立的是( )A．|a|≤|b|≤1 B．|b|≤|a|≤1C．|a|≤1，|b|≤1 D．|a|＋|b|≤1解析：取x＝0，得|b|≤1.再分别取x＝1，－1，得|a＋b|≤1，|a－b|≤1.故|2a|＝|(a＋b)＋(a－b)|≤|a＋b|＋|a－b|≤2.所以|a|≤1必成立．答案：C3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( ) A．5 B．4C．8 D．7解析：由题意，得|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A4．已知x∈R，y∈R，则|x|＜1，|y|＜1是|x＋y|＋|x－y|＜2的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解析：若|x|＜1，|y|＜1，则当(x＋y)(x－y)≥0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＋(x－y)|＝2|x|＜2；当(x＋y)(x －y )＜0时，|x ＋y |＋|x －y |＝|(x ＋y )＝－(x －y )|＝2|y |＜2.若|x ＋y |＋|x －y |＜2，则2|x |＝|(x ＋y )＋(x －y )|＜|x ＋y |＋|x －y |＜2，即|x |＜1；2|y |＝|(x ＋y )－(x －y )|＜|x ＋y |＋|x －y |＜2，即|y |＜1.答案：D二、填空题5．已知|a ＋b |＜－c (a ，b ，c ∈R )，给出下列不等式：①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a |＜|b |－c ；⑤|a |＜－|b |－c .其中一定成立的不等式是________(填序号)．解析：∵|a ＋b |＜－c ，∴c ＜a ＋b ＜－c .∴a ＜－b －c ，a ＞－b ＋c ，①②成立．∵|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ，∴|a |＜|b |－c ，④成立．答案：①②④6．有下列三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23.其中真命题的序号是________. 解析：①∵|a |－|b |≤|a －b |＜1，∴|a |＜|b |＋1.②∵|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |.③∵|y |＞3，∴1|y|＜13.∵|x |＜2，∴|x||y|＜23. 三个命题均是真命题．答案：①②③三、解答题7．求函数f (x )＝|x －4|－|x －3|的最大值，并求出取最大值时x 的范围． 解：f (x )＝|x －4|－|x －3|≤|(x －4)－(x －3)|＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －－，|x －4|≥|x－3|，即x≤3时，函数f(x)取最大值1.8．已知函数f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，求证：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.证明：(1)∵f(0)＝c，f(1)＝c，∴f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x2－x2＋c－x21＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|.∵0≤x1≤1,0≤x2≤1，x1≠x2，∴0＜x1＋x2＜2.∴－1＜x1＋x2－1＜1.∴|x2＋x1－1|＜1.∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.一、选择题1．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.答案：B2．若关于x的不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是( )A．7 B．9C．5 D．11解析：令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；当x＜3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.综上，函数f(x)的最小值为5.故原不等式恒成立，只需a≤5即可．从而实数a的最大值为5.答案：C二、填空题3．已知函数f (x )＝3x ＋1，当|x －1|＜b 时，有|f (x )－4|＜a ，a ＞0，b ＞0，则a 与b 满足的关系是________.解析：因为|f (x )－4|＝|3x －3|＝3|x －1|＜a ，所以|x －1|＜a 3. 又当|x －1|＜b 时，有|f (x )－4|＜a ，即当|x －1|＜b 时，有 |x －1|＜a 3， 所以b ≤a 3，即a －3b ≥0. 答案：a －3b ≥04．已知α，β是实数，给出四个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞22，|β|＞22；④|α＋β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：因为|α＋β|＝|α|＋|β|成立的条件为αβ≥0，当αβ≥0时，有|α＋β|≥|α－β|，若|α|＞22，|β|＞22，则|α＋β|＝|α|＋|β|＞42＞5.答案：①③⇒②④三、解答题5．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且函数|f (x )|的最大值为M ，求证：|1＋b |≤M .证明：∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |， M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |.∴|1＋b |≤M .6．已知a ，b ∈R ，且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值． 解：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16.①若ab ≥0，则|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②若ab ＜0，则|a |＋|b |＝|a －b |≤16.故当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝1，a ＋2b ＋4＝－4，即a ＝8，b ＝－8时，|a |＋|b |取得最大值，且|a |＋|b |＝|a －b |＝16.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.1绝对值不等式活页作业2北师大版选修45
活页作业(二) 绝对值不等式一、选择题1．设ab＞0，下面四个不等式中，正确的是( )①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④解析：∵ab＞0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.∴①和④正确．答案：C2．若|x|≤1时都有|ax＋b|≤1，下列不等式必成立的是( )A．|a|≤|b|≤1 B．|b|≤|a|≤1C．|a|≤1，|b|≤1 D．|a|＋|b|≤1解析：取x＝0，得|b|≤1.再分别取x＝1，－1，得|a＋b|≤1，|a－b|≤1.故|2a|＝|(a＋b)＋(a－b)|≤|a＋b|＋|a－b|≤2.所以|a|≤1必成立．答案：C3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( ) A．5 B．4C．8 D．7解析：由题意，得|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A4．已知x∈R，y∈R，则|x|＜1，|y|＜1是|x＋y|＋|x－y|＜2的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解析：若|x|＜1，|y|＜1，则当(x＋y)(x－y)≥0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＋(x－y)|＝2|x|＜2；当(x＋y)(x－y)＜0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＝－(x－y)|＝2|y|＜2.若|x ＋y |＋|x －y |＜2，则2|x |＝|(x ＋y )＋(x －y )|＜|x ＋y |＋|x －y |＜2，即|x |＜1；2|y |＝|(x ＋y )－(x －y )|＜|x ＋y |＋|x －y |＜2，即|y |＜1.答案：D二、填空题5．已知|a ＋b |＜－c (a ，b ，c ∈R )，给出下列不等式：①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a |＜|b |－c ；⑤|a |＜－|b |－c .其中一定成立的不等式是________(填序号)．解析：∵|a ＋b |＜－c ，∴c ＜a ＋b ＜－c .∴a ＜－b －c ，a ＞－b ＋c ，①②成立．∵|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ，∴|a |＜|b |－c ，④成立．答案：①②④6．有下列三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a－b |；③若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23.其中真命题的序号是________. 解析：①∵|a |－|b |≤|a －b |＜1，∴|a |＜|b |＋1.②∵|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |.③∵|y |＞3，∴1|y |＜13.∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23. 三个命题均是真命题．答案：①②③三、解答题7．求函数f (x )＝|x －4|－|x －3|的最大值，并求出取最大值时x 的范围． 解：f (x )＝|x －4|－|x －3|≤|(x －4)－(x －3)|＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x －x －，|x －4|≥|x －3|，即x ≤3时，函数f (x )取最大值1.8．已知函数f (x )＝x 2－x ＋c 定义在区间[0,1]上，x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2，求证：(1)f (0)＝f (1)；(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.证明：(1)∵f(0)＝c，f(1)＝c，∴f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x22－x2＋c－x21＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|.∵0≤x1≤1,0≤x2≤1，x1≠x2，∴0＜x1＋x2＜2.∴－1＜x1＋x2－1＜1.∴|x2＋x1－1|＜1.∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.一、选择题1．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.答案：B2．若关于x的不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是( )A．7 B．9C．5 D．11解析：令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；当x＜3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.综上，函数f(x)的最小值为5.故原不等式恒成立，只需a≤5即可．从而实数a的最大值为5.答案：C二、填空题3．已知函数f(x)＝3x＋1，当|x－1|＜b时，有|f(x)－4|＜a，a＞0，b＞0，则a与b 满足的关系是________.解析：因为|f(x)－4|＝|3x－3|＝3|x－1|＜a，所以|x －1|＜a 3. 又当|x －1|＜b 时，有|f (x )－4|＜a ，即当|x －1|＜b 时，有 |x －1|＜a 3， 所以b ≤a 3，即a －3b ≥0. 答案：a －3b ≥04．已知α，β是实数，给出四个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞22，|β|＞22；④|α＋β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：因为|α＋β|＝|α|＋|β|成立的条件为αβ≥0，当αβ≥0时，有|α＋β|≥|α－β|，若|α|＞22，|β|＞22，则|α＋β|＝|α|＋|β|＞42＞5.答案：①③⇒②④三、解答题5．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且函数|f (x )|的最大值为M ，求证：|1＋b |≤M .证明：∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |， M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |.∴|1＋b |≤M .6．已知a ，b ∈R ，且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值． 解：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16.①若ab ≥0，则|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②若ab ＜0，则|a |＋|b |＝|a －b |≤16.故当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝1，a ＋2b ＋4＝－4，即a ＝8，b ＝－8时，|a |＋|b |取得最大值，且|a |＋|b |＝|a －b |＝16.。
高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 学业分层测评1 实数大小的比较 不等式的性质 北师大版选修45
第1章 不等关系与基本不等式 学业分层测评1 实数大小的比较 不等式的性质 北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ，d ∈R 且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋c ＞b ＋d B ．a －c ＞b －d C ．ac ＞bdD ．a d ＞b c【解析】 ∵a ＞b ，c ＞d ，∴a ＋c ＞b ＋d . 【答案】 A2．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 当a ＞0且b ＞0时，一定有a ＋b ＞0且ab ＞0.反之，当a ＋b ＞0，ab ＞0时，一定有a ＞0，b ＞0.【答案】 C3．设角α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的范围是( )A ．－π<α－β<0B ．－π<α－β<πC ．－π2<α－β<0D ．－π2<α－β<π2【解析】 ∵α<β，∴α－β<0.①又－π2<α<β2，－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－π<α－β<π，结合①得－π<α－β<0，故选A. 【答案】 A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝ND ．不能确定【解析】 M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y －(－5) ＝(x －2)2＋(y ＋1)2.∵x ≠2或y ≠－1，∴x －2≠0或y ＋1≠0， ∴(x －2)2或(y ＋1)2均非负且至少一个大于零， ∴M ＞N . 【答案】 A5．设a ，b 为非零实数，若a ＜b ，则下列不等式成立的是( )【导学号：94910002】A ．a 2＜b 2 B ．a 2b ＜ab 2C.1ab2＜1a 2bD ．b a ＜a b【解析】 取a ＝－2，b ＝1时，有a ＜b ，显然A ，B ，D 错误．对于C ，∵1ab2－1a 2b ＝a －b a 2b 2＜0.∴1ab2＜1a 2b总成立，C 正确．【答案】 C 二、填空题6．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值范围是________． 【解析】 ∵－4＜b ＜2，∴0≤|b |＜4， ∴－4＜－|b |≤0.又1＜a ＜3，∴－3＜a －|b |＜3. 【答案】 (－3,3) 7．给出四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0. 能得出1a ＜1b成立的有________．【解析】 1a ＜1b ⇔1a －1b＜0⇔b －aab＜0，∴①②④可推出1a ＜1b成立． 【答案】 ①②④8．若a ＞1，b ＜1，则ab ＋1与a ＋b 大小关系为ab ＋1______a ＋b . 【解析】 ab ＋1－a －b ＝a (b －1)－(b －1) ＝(a －1)(b －1)，∵a ＞1，b ＜1，∴(a －1)(b －1)＜0， ∴ab ＋1－a －b ＜0，ab ＋1＜a ＋b .【答案】 ＜ 三、解答题9．若a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，试比较a ，b ，c 的大小． 【解】 b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0. ∴b ≥c .由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2＋1.∴c －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴c ＞a ，∴b ≥c ＞a .10．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞yy ＋b .【证明】 因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b，x ＞y ，所以x a ＞y b ，所以a x ＜b y. 故a x ＋1＜b y＋1， 即0<x ＋a x ＜y ＋by ， 所以xx ＋a ＞yy ＋b.能力提升]1．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1. ∴当a >0，b >0时，b <1a ；当a <0，b <0时，b >1a.∴“0<ab <1”不是“b <1a”的充分条件．而取b ＝－1，a ＝1，显然有b <1a，但不能推出0<ab <1，∴“0<ab <1”不是“b <1a”的必要条件．【答案】 D2．若a >b >0，则下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b >a b B ．b 2＋1a 2＋1>b 2a2 C ．a ＋1a>b ＋1bD ．a a>b b【解析】 选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2a ＋b a ＋2b ＝54，ab＝2，由此可知选项A 不成立．利用不等式的性质可知，当a >b >0时，1a <1b ，由此可知，选项C 不恒成立．取a ＝12，b ＝14，则a >b >0，则a a ＝b b ，故选项D 不恒成立．故选B.【答案】 B3．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________.【导学号：94910003】【解析】 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81.又3≤xy 2≤8， ∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y4的最大值是27. 【答案】 274．已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小． 【解】 f (a )－f (b )＝ma a －1－mb b －1＝m b －a a －b －.∵a ＞b ＞1，∴(a －1)(b －1)＞0，b －a ＜0.当m ＞0时，f (a )－f (b )＜0，f (a )＜f (b )． 当m ＝0时，f (a )＝f (b )．当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，f(a)＞f(b)．。
高中数学 1.1不等式的性质课件 北师大版选修45
判断两个实数 a 与 b 的大小归结为判断它们的差 a-b 的符号,至于差究
竟是多少则是无关紧要的.
(2)求商比较法.
当 a>0,b>0 时,①������������>1⇔a>b;②������������<1⇔a<b;③������������=1⇔a=b.
【做一做 1-1】 比较大小:x2+3
剖析:区别:在等式的两边同时乘或除以同一个数(除数不为 0)时,所得 结果仍是等式;在不等式的两边同时乘或除以同一个数(除数不为 0)时会出 现 两 种情况:若这个数为正数,则不等号方向不变,若这个数为负数,则不等 号 方 向改变.
联 系 :不等式的基本性质和等式的基本性质,对不等式(或等式)两边形
(2)性质 2:如果 a>b,b>c,那么 a>c.
(3)性质 3:如果 a>b,那么 a+c>b+c.
推论:如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d.
(4)性质 4:如果 a>b,c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,c<0,那么 ac<bc.
推论 1:如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd.
为 假 命题.
解:(1)真命题.理由:根据不等式的性质 3,由 a>b,可得 a+(-c)>b+(-c),即
a-c>b-c. (2)假命题.理由:由不等式的性质 4 可知,如果 a>b,c<0,则������������ < ������������,即不等
式 的 两边同乘一个数时,必须明确这个数的正负.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式活页作业4北师大版选修45word格式
活页作业 ( 四) 平均值不等式一、选择题1．设 0＜a＜b，a＋b＝ 1，则以下不等式正确的选项是()A．b＜ 2ab＜ a2＋ b2＜a2＋b2B． 2ab＜b＜a2＋b2＜ a2＋ b2 C． 2ab＜a2＋b2＜b＜ a2＋ b2D． 2ab＜a2＋b2＜ a2＋ b2＜b 解析：∵ 0＜a＜b且a＋b＝ 1，∴0＜＜＜1.a b∴ a2＋ b2＞2ab， b＞ a2＋ b2，且a2＋b2＞ b.故 2ab＜a2＋b2＜b＜a2＋ b2.答案： C2．以下不等式正确的选项是()A．a＋b≥ 2 ab B．a3＋b3＋c3≥ 3abc a2＋ b2a＋b＋ c 3C．≥ ab D．≥ abc 23解析：选项 A， B， D忽视了，，c 的条件应为正实数．a b答案： C13．设函数f ( x) ＝ 2x＋x－ 1( x＜ 0)，则函数 f ( x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数解析：由于 x＜0，1所以 f ( x)＝－－2x＋－x－1≤1－ 2 －2x·－1＝－ 2 2－1，－ x12当且仅当－ 2x＝－x，即x＝－ 2 时取等号．所以函数 f ( x)有最大值－22－ 1.答案： A2y8x24．已知x＞ 0，y＞ 0，若不等式x＋y＞ m＋2m恒成立，则实数 m的取值范围是()A． ( －∞，－2] ∪ [4 ，＋∞)B． ( －∞，－4] ∪ [2 ，＋∞) C． ( － 2,4)D． ( －4,2)解析：有2yx ＋8xy≥ 216＝ 8，要使不等式2yx＋8xy2＞m＋2m 2恒成立，则m＋2m＜8.解得－4＜ m＜2.答案： D二、填空题5．若x＞ 0，则函数f ( x) ＝x＋32的最小值是________.x232x x 32解析：由于 x＞0，所以 f ( x)＝ x＋x2＝2＋2＋x2≥3x x 32x x 3232·2·x2＝ 6，当且仅当2＝2＝x2，即x＝ 4 时取等号．答案： 66．若对任意x ＞0，关于x的不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是≤x2＋ 3x ＋ 1________.1x2＋ 3x＋ 11解析：由 x＞0，知原不等式等价于不等式0＜a≤x＝ x＋x＋3恒成立．1111所以a≤ x＋x＋ 3 min＝ 5，即 0＜a≤5. 解得a≥5.答案：15，＋∞三、解答题11 7．设单位圆的内接三角形的面积为4，三边长分别为a，b，c 且不全相等，求证：a＋1 1b＋ c＞a＋b＋ c.11c证明：∵三角形的面积S＝2ab sin C＝4，sin C＝2，∴abc＝1.1 1 1 abc abc abc∴a＋b＋c＝a＋b＋c＝ bc＋ac＋ab＝＋＋＋＋＋≥ c ab＋ a bc＋b ac ＝2abc( a＋b＋c) ＝a＋b＋c，当且仅当a＝ b＝c 时取等号．∵三边长a， b， c 不全相等，1 11∴a＋b＋c＞ a＋ b＋ c.8．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝ 1，求 4a＋ 4b＋ 4c2的最小值，并求出取最小值时a，b， c 的值．解：明显 4a>0,4 b>0,4 c2＞0.则 4a＋ 4b＋ 4c2≥334a＋ b＋ c2 ，当且仅当 a＝ b＝ c2时取等号．由于 a＋ b＋ c＝1，所以 a＋ b＝1－ c.22123所以 a＋ b＋ c ＝ c － c＋1＝c－2＋4.123所以当 c＝2时， a＋ b＋c获得最小值4.11a b2获得最小值，且最小值为 3 2.从而当 a＝b＝， c＝时，4＋4＋ 4c42一、选择题111．给出以下不等式：①x＋x≥2；②x＋x≥ 2；③若0＜a＜ 1＜b，则 log a b＋ log b a≤－ 2；④若0＜a＜ 1＜b，则 log a b＋ log b a≥ 2. 此中正确的是()A．②④B．①②C．②③D．①②④1解析：①当 x＞0时， x＋x≥2；1当 x＜0时， x＋≤－2.故①错误．x111②由于x 与x同号，所以x＋x＝ |x|＋|x|≥ 2. 故②正确．③当 0＜a＜ 1＜b时， log a b＜ 0， log b a＜ 0，所以－ log a b＞ 0，－ log b a＞ 0.1所以 log a b＋log b a＝ log a b＋logab≤－ 2. 故③正确．④由③，知log a b＋ log b a≥ 2 是错的．答案： C2．关于x∈0，π2，关于x 的不等式1sin2xp＋ cos2x ≥ 16 恒成立，则正数p 的取值范围为 ()A． ( －∞，－ 9] C． ( －∞， 9]B． ( －9,9] D． [9 ，＋∞)解析：令t ＝sin2x，则cos 2x＝ 1－t .∵ x∈0，π2，∴ t ∈(0,1)．1p关于 x 的不等式sin2x＋cos2x≥16可化为1p≥16－t(1－ t )．1令 y＝16－t(1－ t )，则 y＝17－1t＋ 16t 1≤17－2t·16t ＝ 9，当且仅当11＝ 16t，即t＝时取等号，t4所以，原不等式恒成立，只需p≥9.答案： D二、填空题3．已知x＞ 0，y＞ 0，x＋ 2y＋ 2xy＝ 8，则x＋ 2y的最小值是 ________.x＋ 2y 2解析：∵ 2xy＝x·(2 y) ≤，∴8＝x＋ 2y＋ 2xy≤x＋ 2y＋x＋2y2，2即 ( x＋ 2y) 2＋ 4( x＋ 2y) － 32≥ 0.∵ x＞0， y＞0，∴ x＋2y≥4，当且仅当x＝2， y＝1时取等号，即x＋2y 的最小值是4.答案： 44．已知二次函数f () ＝ax2＋ (x∈ R) 的值域为 [0 ，＋∞ ) ，则a＋1c＋ 1＋ 2＋的最小x x c c a值为 ________.解析：∵二次函数 f ( x)＝ ax2＋2x＋ c( x∈R)的值域为[0，＋∞)，11∴ a＞0且 c－a＝0.∴ c＝a.a＋ 1 c＋ 12111∴c＋a＝ a ＋ a＋a2＋a≥2a2·a2＋12a·＝ 4，a1当且仅当a＝a，即 a＝1时取等号．答案： 4三、解答题x＋ 2－xx∈R，关于 x 的不等式 f (2 x)≥ mf( x)－65．已知函数f ( x) ＝ 2，若关于任意恒成立，务实数m的最大值．解：由条件，知 f (2 x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝[ f ( x)]2－2.由于关于x 的不等式 f (2 x)≥mf( x)－6对任意 x∈R恒成立，且 f ( x)＞0，＋4所以关于 x 的不等式 m≤对任意 x∈R恒成立．而＋ 444＝ f ( x)＋≥ 2＝4，当且仅当f ( x) ＝ 2，即x＝ 0 时取等号，所以 m≤4.故实数 m的最大值为4.6．x，y，a，b均为正实数，x， y 为变数， a， b 为常数，且a＋ b＝10，a＋b＝1， x x y＋ y 的最小值为18，求a，b的值．a b解：∵ x＋ y＞0， a＞0， b＞0且x＋y＝1，a b bx ay∴ x＋ y＝( x＋ y)x＋y＝ a＋ b＋y＋x≥ a＋ b＋bx ay＝ a＋ b＋222y· x ab＝(a＋b) ，bx ay当且仅当y ＝x时取等号．此时 ( x＋y) min＝ ( a＋b) 2＝ 18，即 a＋ b＋2 ab＝18.又 a＋ b＝10，a＋ b＋ 2ab＝ 18，联立a＋ b＝ 10.a＝2，a＝8，解得或b＝8b＝2.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质课件北师大版选修4_509302158
(5)乘方 如果 a＞b＞0，那么 an___＞____bn(n 为正整数)． (6)开方
如果 a＞b＞0，那么n a＞n b(n∈N，n≥2)．
2．(1)“如果 a＞b，且 c＞d，那么 a－c＞b－d”一定成立 吗？
(2)“如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd”一定成立吗？
提示：(1)不一定成立，如 5＞2，－3＞－10，而 5－(－3) ＜2－(－10)．
(2)不一定成立，如 5＞2＞0,10＞1＞0，而150＜21.
甲同学认为 a＞b⇔1a＜1b，乙同学认为 a＞b＞0⇔1a＜1b，丙 同学认为当 ab＞0 时，a＞b⇔1a＜1b.请你思考一下，谁的观点正 确？
解：丙．如果 a＝2，b＝－3，那么12＞－13.所以甲同学的观 点错误．如果1a＝－12＜1b＝1，那么 a＝－2 不大于 b＝1.因此， 乙同学的观点也是错的．同号的两个数，大的倒数小、小的倒
高中数学北师大版选修4-5第一章不等关系与基本不等式课件 (共8份打包)1
法二 由绝对值的定义，得当 x＞3 时，|x－3|＋|x＋1|＝ (x－3)＋(x＋1)＝2x－2；当－1≤x≤3 时，|x－3|＋ |x＋1|＝(3－x)＋(x＋1)＝4；当 x＜－1 时，|x－3|＋|x＋1|＝ (3－x)－(x＋1)＝2－2x，即 y＝|x－3|＋ |x＋1|＝24x，－－2，1≤x＞x≤3，3，画出该函数的图像，
【点评】 含绝对值不等式的证明，往往可通过平方法、 换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝 对值不等式定理||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|证明不等式，常要对绝 对值内的式子进行分析组合、添项、减项，使待证式与已知之 间联系起来，最后通过绝对值的运算完成证明．
1．已知|x|＜a4，|y|＜a6，求证：|2x－3y|＜a.
2－2x，x＜－1. 如图所示．由图像可得 y≥4. ∴当－1≤x≤3 时，y 取得最小值 4.
绝对值不等式定理的应用
若关于x的不等式a＜|x－4|＋|x ＋3|恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析：∵|x－4|＋|x＋3|≥|(x－4)－(x＋3)|＝7， ∴a<7.故实数a的取值范围是(－∞，7)． 答案：(－∞，7)
在数轴上把a，b，a＋b表示出来(分ab＞0，ab＜0两种情 况)．
解：(1)当ab＞0时(如图所示)；
(2)当ab＜0时(如图所示)．
2．绝对值不等式定理 对任意实数a和b，有|a＋b|≤______|_a_|＋__|_b|，当且仅当ab≥0
时，等号成立．
1．|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有怎样的大小关系？ 提示：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
3．绝对值不等式的常用结论 (1)设a，b是任意实数，有||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当ab≤0 时，等号成立． (2)对任意实数a，b，c，有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅 当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立．
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1-4-1 比较法课件 北师大版选修4-5
题型二 作商比较法
a＋b 例 2 设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab) 2 .
a＋b 【证明】 因为 aabb>0，(ab) 2 >0，
1.作差法的依据 若 a，b∈R，则 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 2．作差法的步骤 作差→变形→判断符号(与 0 比较大小)→结论．
3．作商法的依据 若 a>0，b>0，则ba>1⇔a>b；ba＝1⇔a＝b；ba<1⇔a<b. 4．作商比较法适用证明的不等式的特点 适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些 不同底数对数值的大小比较.
所以
aabba＋b＝aa－2 bbb－2 a＝(ba)a－2 b，所以当 a＝b 时，显
（ab） 2
然有(ba)a－2 b＝1；当 a>b>0 时，ba>1，a－2 b>0；当 b>a>0 时，0<ba<1，
a－2 b<0，由指数函数的单调性，有(ba)a－2 b>(ba)0＝1，
a＋b 综上可知，对任意 a>0，b>0，都有 aabb≥(ab) 2 .
A．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
【解析】 采用特值法进行求解验证即可，若 x＝1，y＝2， z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则 ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10， ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是 az＋ by＋cx.
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活页作业(一) 不等式的性质
一、选择题
1．若2－m与|m|－3异号，则实数m的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－3,3)
C．(2,3) D．(－3,2)∪(3，＋∞)
解析：法一 因为2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－
3)＜0，即(m－2)(|m|－3)＞0.
所以 m≥0，m－m－＞0或 m＜0，m－－m－＞0.解得
m＞3或0≤m＜2或－3＜m
＜0.
法二 取m＝4符合题意，排除B，C两项；取m＝0可排除A项．
答案：D
2．给出下列命题：
①若a＞b且a，b同号，则1a＜1b；
②若1a＞1，则0＜a＜1；
③a≥b且ac≥bc⇒c≥0；
④若a＞b，n∈N＋⇒a2n－1＞b2n－1.
其中真命题个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①正确．因为ab＞0，a＞b，所以aab＞bab，即
1b＞1
a
.
②显然成立．
③错误．因为ac≥bc，即(a－b)c≥0，
而a≥b，当a＝b时，c∈R.
④正确．因为n∈N＋，2n－1为奇数，条件可放宽，
即a＞b，则得a2n－1＞b2n－1.
答案：C
3．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①ca＞cb；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中，正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：由a＞b＞1，c＜0，得1a＜1b，ca＞cb.
由幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，得ac＜bc.
因为a－c＞b－c，
所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)．
故①②③均正确．
答案：D
4．若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
解析：∵a＜0，－1＜b＜0，
∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b2＜1.
∴1－b2＞0，ab－a＝a(b－1)＞0.∴ab＞a.
∵ab－ab2＝ab(1－b)＞0，∴ab＞ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＜0，∴a＜ab2.
故ab＞ab2＞a.
答案：D
二、填空题
5．把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是________.
①如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d；
②如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd；
③如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么ac＝bd；
④如果a＝b，那么a3＝b3.
解析：因为幂函数y＝x3在R上是增加的，所以④成立．
答案：④
6．lg(x2＋1)与lg x(x＞0)的大小关系是________.
解析：lg(x2＋1)－lg x＝lgx2＋1x＝lgx＋1x.
∵x＞0，∴x＋1x≥2＞1.
∴lgx＋1x＞0，即lg(x2＋1)＞lg x.
答案：lg(x2＋1)＞lg x
三、解答题
7．已知a，b，x，y都是正数，且1a＞1b，x＞y.
求证：xx＋a＞yy＋b.
证明：因为a，b，x，y都是正数，且1a＞1b，x＞y，
所以xa＞yb.所以ax＜by.
故ax＋1＜by＋1，即0＜x＋ax＜y＋by.
所以xx＋a＞yy＋b.
8．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与
地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．若同时增加相等的
窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？
解：设窗户面积为n，地板面积为m，则110≤nm＜1.
设增加的窗户面积和地板面积均为t，
由nm＜1.得m＞n.
∴mt＞nt.
∴mt＋mn＞nt＋mn，即m(n＋t)＞n(m＋t)．
∴n＋tm＋t＞nm，即采光条件变好了．
一、选择题
1．若a＞b＞0，则下列不等式恒成立的是( )
A．2a＋ba＋2b＞ab B．b2＋1a2＋1＞b2a2
C．a＋1a＞b＋1b D．aa＞bb
解析：选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知2a＋ba＋2b＝54，ab＝2.由此可知选项A不成
立．由不等式的基本性质，可知当a＞b＞0时，1a＜1b.由此可知选项C不恒成立．取a＝12，
b＝14，则a＞b＞0，但aa＝b
b
.故选项D不恒成立．
答案：B
2．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0.所以x＞0，
z＜0.由 x＞0，y＞z，可得xy＞xz
.
答案：C
二、填空题
3．若0＜x＜π2，则2x与3sin x的大小关系是否确定？________(选填“是”或“否”)．
解析：令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.
当cos x＜23时，f′(x)＞0；当cos x＝23时，f′(x)＝0；当cos x＞23时，f′(x)＜0.
所以当0＜x＜π2时，函数f(x)先减后增．而f(0)＝0，fπ2＝π－3＞0，故函数f(x)
的值与0的关系与x取值有关，即2x与3sin x的大小关系不确定．
答案：否
4．已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lgxy≤2，则lgx2y的取值范围是________.
解析：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lgxy≤2，得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2.
而lgx2y＝2lg x－lg y＝12(lg x＋lg y)＋32(lg x－lg y)，
所以－1≤lgx2y≤5.
答案：[－1,5]
三、解答题
5．已知m∈R，a＞b＞1，函数f(x)＝mxx－1，试比较f(a)与f(b)的大小．
解：f(a)－f(b)＝maa－1－mbb－1＝mb－aa－b－.
∵a＞b＞1，
∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.
∴当m＞0时，f(a)－f(b)＜0，即f(a)＜f(b)；
当m＝0时，f(a)＝f(b)；
当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．
6．实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，试比较x，y，z的大小．
解：由x2－2x＋y＝z－1，得z－y＝(x－1)2≥0，即
z≥y.由x＋y2＋1＝0，得y－x＝y2＋y＋1＝y＋122＋34＞0，即y＞x.故z≥y＞x
.