2013届高考数学(理)一轮复习课件： 直线、平面垂直的判定及其性质
《直线、平面垂直的判定及其性质》新课程高中数学高三一轮复习课件
连接BO并延长交AC于F.
∵PA⊥平面ABC,BF 平面ABC,
∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC, ∴BF⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BF⊥PC.
连接BQ并延长交PC于M,连接MF. ∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,
∵AB 平面EAB,∴AB⊥CD.
学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面. 若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰 三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.
举一反三
1. （2010·淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正 方形，DF⊥平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证： GN⊥AC.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)定义:如果直线 与l 平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平l
面α互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫 做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段, 垂线段的长度叫做点到平面的距离. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直 线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与 这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面. (5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
举一反三
2. 如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求 证:OQ⊥平面PBC.
高考数学大一轮复习 第三节 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 苏教版
直线、平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，就说直线 l 与
平面 α 互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
一条直线与一个平面 判定 内的两条相交直线都 定理 垂直，则该直线与此
平面垂直
符号语言
关系，(2)不正确；(3)正确；(4)中 α 与 β 可能相交，(4)
不正确． 答案：(1)(3)
2．已知平面 α，β 和直线 m，给出条件：①m∥α；②m⊥α； ③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有 m⊥β.(填所 选条件的序号) 解析：若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β.故填②④. 答案：②④
aa，∩bb⊂＝αO
l⊥a
⇒l⊥α
l⊥b
性质 垂直⊥αα⇒a∥b
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
一个平面过另一个平 判定
面的 垂线 ，则这两 定理
个平面互相垂直
l⊂β l⊥α
⇒α⊥β
答案：必要不充分
2．(2014·盐城摸底)设 m，n 是两条不同的直线，α 是一个平面，
有下列四个命题： (1)若 m⊥n，m⊂α，则 n⊥α； (2)若 m⊥α，n∥m，则 n⊥α； (3)若 n∥α，m⊂α，则 n∥m； (4)若 m∥α，n∥α，则 m∥n. 其中真命题是________(填序号)． 解析：对于(1)，n⊂α，n 与 α 相交，n⊥α 都有可能；对于
线也与直线 m 垂直； (4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直
的直线与另一个平面也不垂直． 其中所有真命题的序号为________．
高三数学总复习直线、平面垂直的判定及其性质PPT课件
5．(教材习题改编)将正方形 ABCD 沿 AC 折成直二面角后， ∠DAB＝________.
解析： 如图所示，取 AC 的中点 O，连接 OD，OB，DB， 由条件知，OD⊥OB，设 AD＝1，则 OD＝OB＝ 22，
所以 DB＝ OD2＋OB2＝1. 所以△ADB 为正三角形， 故∠DAB＝60°. 答案：60°
线面垂直问题的常见类型及解题策略 (1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合 图形进行推理，或者依据条件举出反例否定． (2)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而 证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质 定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平 行的探索性问题”的求解方法(见本章第四节的[通关锦囊])．
(2)①连接 AD1，由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体，知 AD1∥BC1， 因为 F，P 分别是 AD，DD1 的中点，所以 FP∥AD1.从而 BC1∥ FP.
而 FP⊂平面 EFPQ，且 BC1⊄平面 EFPQ，故直线 BC1∥平面 EFPQ.
②如图，连接 AC，BD，则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，可得 CC1⊥BD.
(1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)若 PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥 E-BCF 的体积； (3)证明：EF⊥平面 PAB.
[自主解答] (1)证明：由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面 PAD，故AB⊥PH.
又∵PH为△PAD中AD边上的高，∴AD⊥PH. ∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PH⊥平面ABCD.
提示：垂直． 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平
第37讲 直线、平面垂直的判定与性质-高三数学一轮复习(提高版)课件
• 【解答】 在矩形CDEF中，CD⊥DE. • 又因为∠ADC＝90°，所以CD⊥AD. • 因为DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE. • 又因为DM⊂平面ADE，所以CD⊥DM. • 又因为AB∥CD，所以AB⊥DM. • 因为AD＝DE，M为AE的中点，所以AE⊥DM. • 又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以MD⊥平面ABE. • 因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥MD.
• (2) 求证：平面BEF⊥平面PCD. • 【解答】因为AB⊥AD，所以四边形ABED为矩形， • 所以BE⊥CD，AD⊥CD， • 因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，所以
PA⊥底面ABCD. • 因为CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD， • 又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， • 所以CD⊥平面PAD.
●典型示例
如图(1)，在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥平面 ABCD， PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1) 求证：PC⊥BC；
• 【解答】 因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. • 由∠BCD＝90°，得CD⊥BC， • 又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PCD， • 所以BC⊥平面PCD. • 因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC.
所以 B1D＝ BD2＋BB21＝ 10. 在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1， 所以 DF＝ CD2＋CF2＝ 5. 显然DF2＋B1F2＝B1D2， 所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF.
• 证明线面垂直的常用方法及关键
高考数学一轮总复习 8.4 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 苏教版
• 1．转化思想：垂直关系的转化
• 2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线 中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在 ，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时 ，一般要用性质(xìn第g二十z九页h，共ì3)6页定。 理，在一个平面内
• 创新(chuàngxīn)突破7——求解立体几何中的探 索性问题
第二十五页，共36页。
• 【训练(xùnliàn)3】 (2013·辽宁卷)如图，AB是 圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O 上的点．
• (1)求证：BC⊥平面PAC； • (2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，
求证：QG∥平面PBC.
第二十六页，共36页。
• 证 明 ( 1 ) 由 A B 是 圆 O 的 直 径 ( z h íj ìn g ) ， 得 AC⊥BC，
第二十页，共36页。
•审题路线 (1)取PA的中点H⇒证明四边形DCEH 是平行四边形⇒CE∥DH⇒根据线面平行的判定 定理(dìnglǐ)可证． 证•(2明)证(1明)如A图B，⊥取EPFA⇒的证中点明HA，B连⊥接FEGH⇒，D证H明. AB⊥平面 因EF为GE⇒为证P明B 的M中N点⊥，平面EFG⇒得到结论．
• 么这两个平面互相垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒
.
第三页，共36页。
3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角 θ 的范围：θ∈0，π2.
第四页，共36页。
• 辨析感悟 • 1．对线面垂直的理解 • (1)直线a，b，c；若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
• 【典例】 (2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点， 点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到 △A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
高三数学一轮复习优质课件2：8.4 直线、平面垂直的判定与性质
(1)证明：AB⊥平面 ODE； (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值．
【解答】 (1)证明：如图，因为 DO⊥α，AB⊂α，所以 DO⊥AB.连结 BD，由题设知，△ABD 是正三角形．又 E 是 AB 的中点，所以 DE⊥AB.
第八章 立体几何
8.4 直线、平面垂直的判定与性质
[考情展望] 1.本节从内容上考查线线垂直，线面垂直， 面面垂直的判定与应用问题.2.从能力上考查空间想象能力， 逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力.3.从题型上 主要以正方体、长方体、棱柱、棱锥等多面体为载体，利用 填空题或解答题的形式进行考查，试题难度一般都是中档难 度，也有少部分试题为中等偏上难度．
考向二 面面垂直的判定与性质 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD ⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
【解答】 (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA 垂直于 这两个平面的交线 AD，所以 PA⊥底面 ABCD.
2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直 则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合 理转化是证明线面垂直的基本思想．
3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
对点训练 如图，已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的 中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面 PCD.
高三数学复习课件【直线、平面垂直的判定及其性质】
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证明：(1)因为 AB⊥平面 PAD，PH⊂平面 PAD， 所以 PH⊥AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高，所以 PH⊥AD. 因为 AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， 所以 PH⊥平面 ABCD.
(2)如图，取 PA 的中点 M，连接 MD，ME. 因为 E 是 PB 的中点，所以 ME 綊12AB. 又因为 DF 綊12AB，所以 ME 綊 DF， 所以四边形 MDFE 是平行四边形，所以 EF∥MD. 因为 PD＝AD，所以 MD⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD，所以 MD⊥AB. 因为 PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面 PAB， 所以 EF⊥平面 PAB.
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[解题师说] 1．证明面面垂直的 2 种方法
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(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二
面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直
角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平
面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加
以解决．
2．三种垂直关系的转化
线线垂直
判定 性质
线面垂直
判定 性质
面面垂直
[冲关演练] 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC， AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D 为线段 AC 的 中点，E 为线段 PC 上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面 BDE⊥平面 PAC； (3)当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E-BCD 的体积．
此平面垂直
_a_，__b_⊂__α_
_a_∩___b_＝__O__
_l_⊥__a___
⇒l⊥α
_l⊥ __b_
2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第10章 第60讲 平面与平面垂直
5.设a，b表示两个不同平面，m，n是平面a，b 外的两条不同直线. 给出四个论断：①m⊥n；②
a⊥b；③n⊥b；④m⊥a.以其中三个作为条件，
余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命 ②③④⇒①或①③④⇒② 题： ___________________________.
【例1】
用判定定理证明面 面垂直
本题以立体几何中的棱柱为载体，重点考查 立体几何中的垂直关系的探索及推理论证．第(1)
问要证线线垂直，可通过线面垂直即可得证；第(2)
问是开放性探究问题．要使得平面DMC1⊥平面 CC1D1D，关键在于找出其中一个面的一条垂线， 而另一个平面恰过这条垂线，从而问题转化为寻 求平面CC1D1D的垂线．由条件DB＝BC，可联想
2 方法1：由1 知，B1C BC1.
又AB 平面B1 BCC1，所以AB B1C . 因为AB I BC1＝B，所以B1C 平面ABC1. 而AC1 平面ABC1，所以B1C AC1. 同理可证B1 D1 AC1. 又因为B1C I B1 D1＝B1， 由1 知MN / / AC1，所以MN 平面B1 D1C. 又MN 平面B1MC，故平面B1 D1C 平面B1MC . 故AC1 平面B1 D1C.
面面垂直的性质定 理的应用
【例2】 如下图，已知平面α、β、γ满足α⊥γ，β⊥γ， α∩β＝l，求证：l⊥γ.
【证明】方法1：设α∩γ＝AB，β∩γ＝BC，如图 所示． 在γ内任取一点P，过P作直线m，n分别垂直于 直线AB，BC. 因为α⊥γ，β⊥γ，所以m⊥α，n⊥β. 又α∩β＝l，所以lα且lβ，所以m⊥l，n⊥l. 而m∩n＝P，所以l⊥γ.
使得平面DEF 平面ABCD，并证明你的结论．
高考数学课程一轮复习 第13课时 直线、平面垂直的判定及其性质
第13课时 直线、平面垂直的判定及其性质【考点点知】知己知彼，百战不殆垂直关系也是立体几何中两种最重要的关系之一，新课标要求熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质，并能利用这些判定和性质解决一些几何问题．在新高考中主要用这些判定和性质定理证明一些线线、线面、面面的垂直关系，以是小的判断题，也可以是大逻辑推理题．考点一: 直线与平面垂直1.如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就 说直线a 垂直于平面α,记作a ⊥α.直线a 叫做平面α的垂线,平面α叫 做直线a 的垂面,垂线和平面的交点B 称为垂足2.过平面α外一点A 向平面α引垂线,则点A 和垂足B 之间的距离叫 做点A 到平面α的距离.考点二: 直线与平面垂直的判定定理1.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．2.符号语言:考点三: 直线与平面垂直的性质定理1.直线和平面垂直的性质定理；如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．2.符号语言://a a b b αα⊥⎫=⎬⊥⎭. 考点四: 两个平面垂直的判定定理1.平面角是直角的二面角叫做直二面角.一般地, 如果两个平面所成的二面角是直二面角,我们就说这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3.符号语言:若,l l αβ⊥⊂, 则αβ⊥ .考点五: 两个平面垂直的性质定理1.两个平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.2.符号语言：若α⊥β，α∩β=CD ，AB ⊂α, 且AB ⊥CD 于β,则AB ⊥β．【小题热身】明确考点，自省反思1.（2009山东卷）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 条件.ABCDPE2.已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的序号是 .①m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ ②m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥③m m n n αα⇒⊥，⊥∥ ④n m n m αα⇒∥，⊥⊥3.（2009浙江卷）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．【考题点评】分析原因，醍醐灌顶 例1.设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的 条件.思路透析:若,,,l m n ααα⊥⊂⊂则l m ⊥且l n ⊥;反之若l m ⊥且l n ⊥,则不一定有l α⊥, (当且仅当,m n 为相交直线时有l α⊥). ∴“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分不必要条件.点评:若直线与平面垂直，则平面内有任意直线与该直线垂直，这无数条直线也垂直，应注意“ 任意”、“ 所有”与“ 无数”的区别.例2.如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，求证：平面V AB ⊥平面VCD ； 思路透析:证明:∵AC=BC=a ,∴△ACB 是等腰三角形，又D 是AB 的中点， ∴CD ⊥AB ，又VC ⊥底面ABC ， ∴VC ⊥AB ，于是AB ⊥平面VCD ，又AB 平面V AB ，∴平面V AB ⊥平面VCD.点评:两个平面垂直的判定定理和性质定理分别有线面垂直得出面面垂直，以及面面垂直得到线面垂直，从这一方面可知线面垂直与面面垂直的密切关系，解决有关问题时，经常利用“ 线线垂直—线面垂直—面面垂直”这种转化思想.例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；思路透析:（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥= ，∵，CD ⊥∴平面PAC ． 而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C = ，所以AE ⊥平面PCD ． 而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥， AB PD ⊥∴．又AB AE A = ∵，综上得PD ⊥平面ABE ．点评:证明直线垂直于平面，必须先证明直线垂直于平面内的两条相交直线，至于这条直线是否过两条相交直线的交点并不重要.例4.如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===，等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．思路透析:（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD =．（Ⅱ）当A D B △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥． 又因AC BC =，所以AB CE ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．综上所述，总有AB CD ⊥．点评:动平面运动时几何体中相对的特殊线线位置关系的不变性探索一直以来是立体几何的一个难点,考生对该几何位置的探索与发现仍处理猜想与找特殊位置的论证阶段,因而扣分情况较为严重.此类型问题可利用分析法加在分析论证,结合线面垂直的性质定理加以分析即可找分类而得证该命题.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 如图，正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中， 不正确的是( ).EDBC AOS BACA.点H 是△A 1BD 的垂心B.AH ⊥平面CB 1D 1C.AH 的延长线经过点C 1D.直线AH 和BB 1所成角为45° 2.,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题： ①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥其中真命题是( )A. ①③B. ①④C. ②④D.③④ 3.（2009安徽卷）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是( ) ① 相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；② 由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点；③ 若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;⑤ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱． A. ①④⑤ B. ②④ C. ③④⑤ D.①②④⑤4. 下列5个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥面MNP 的图形是( )A. ②③④B. ①⑤C. ①④⑤D. ③④【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（ ） ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是 .2. m 、n 表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为 . ①α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m ，则m ⊥α ④m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β3.Rt △ABC 在平面α内的射影是△A 1B 1C 1，设直角边AB ∥α，则△A 1B 1C 1的形状是_____________三角形.4.△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为_____________ cm.5.设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ⊄β，b ⊄α，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.6.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则①A 点到CD 1的距离为________； ②A 点到BD 1的距离为________； ③A 点到面BDD 1B 1的距离为______； ④A 点到面A 1BD 的距离为_____； ⑤AA 1与面BB 1D 1D 的距离为_______. 二、解答题:7.已知D 为平面ABC 外一点，且DA 、DB 、DC 两两垂直．求证：顶点D 所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即2222ADC BDC DAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=．8. (2009福建卷)如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD == 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD . （I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积．第13课时 直线、平面垂直的判定及其性质参考答案【小题热身】1. 必要不充分2. ④3. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【即时测评】1. D2. B3. A4. C【课后作业】一、填空题:1. ①④2. ③④3. 直角4. 35. 本题为开放性问题.可以填上a ⊥b ，也可以填a ∥β，或b ∥α.6. ①26 ②36 ③22 ④33 ⑤22 二、解答题:7. 解析: 如图，设DA =a ，DB =b ，DC =c ，则ab S ADB 21=∆，bc S BDC 21=∆，ac S ADC 21=∆．在△ABD 中，作DM ⊥AB 于M ，则22ba ab DM +=．∵CD ⊥AD ，CD ⊥DB ，∴CD ⊥平面ADB ，∴ CD ⊥DM ．在Rt △CDM 中，=++=+=22222222b a b ac CD DM CM 22222222ba a c cb b a +++， 又∵AB CM ⊥, ∴221()2ABCSAB CM ∆=⋅22222222221()4a b b c c a a b a b ++=+⋅+ 2222221()4a b b c c a =++222ADB BDC CDA S S S ∆∆∆=++． 8. 解析:（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=222,BD AB BD AD AB DE∴==∴+=∴⊥ 又 平面EBD ⊥平面ABD平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBDDF ⊂ 平面,EBD AB DE ∴⊥（Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BDCD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥ B 在Rt DBE ∆中，2DB DE DC AB ====12ABE S DB DE ∆∴=⋅= 又AB ⊥ 平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥14,42ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD而AD ⊂平面1,,42ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=⋅=综上，三棱锥E ABD -的侧面积，8S =+。
高考数学一轮专项复习讲义(通用版)-直线、平面垂直的判定及性质(含解析)
直线、平面垂直的判定及性质复习要点1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质定理与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题．一直线与平面垂直1．定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．2．判定定理与性质定理二直线和平面所成的角1．斜线和平面所成角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．2．如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为90°.3．如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°.4．直线和平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.三平面与平面垂直1．二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．2．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．3．判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言1．若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．垂直于同一条直线的两个平面平行．3．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．4．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．1．判断下列结论是否正确．(1)“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的必要不充分条件．(√)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)若直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，则直线a ∥直线b .(√)(5)若平面α⊥平面β，直线a ⊥平面β，则a ∥α.()2．(教材改编)在三棱锥P ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O .(1)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心；(2)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心．答案：(1)外(2)垂3．(2024·福建泉州模拟)已知平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，α∩β＝l ，给出下列说法：①若m ⊥n ，则m ⊥l ；②若m ⊥l ，则m ⊥β；③若m ⊥β，则m ⊥n ，其中正确说法的序号为()A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，α∩β＝l ，①若m ⊥n ，可得m ，l 可能平行，故①错误；②若m ⊥l ，由面面垂直的性质定理可得m ⊥β，故②正确；③若m ⊥β，可得m ⊥n ，故③正确．故选D.答案：D4．(多选)如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是()A．BC⊥平面PACB．AE⊥EFC．AC⊥PBD．平面AEF⊥平面PBC解析：对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；对于B，由A项可知BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，而EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，由B项可知AE⊥平面PBC，因而AC与平面PBC不垂直，若AC⊥PB，则易得AC⊥平面PBC，矛盾，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PBC，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确．故选ABD.答案：ABD题型线线垂直与线面垂直典例1(2024·福建三明模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，△AB1C为等边三角形，四边形AA1B1B为菱形，AC⊥BC，AC＝4，BC＝3.求证：BC⊥平面ACB1.证明：在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝5，因为四边形AA1B1B为菱形，所以BB1＝AB＝5.因为△AB1C为等边三角形，所以B1C＝AC＝4，则BB21＝BC2＋B1C2，所以BC⊥B1C.【小技巧】三角形中垂直关系的证明多利用勾股定理的逆定理或等腰三角形“三线合一”．又AC⊥BC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面ACB1，所以BC⊥平面ACB1.【换个思路】也可通过求证AB1⊥BC得解，此时需要证明AB1垂直于BC所在的某个平面，同样可采用倒推法挖掘垂直关系，虽过程较繁琐，但此法有助于快速掌握线面垂直判定定理的运用，可以很好地锻炼逻辑思维能力，同学们不妨一试！1．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直线与平面垂直的性质．(5)向量法：a⊥b⇔a·b＝0.2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．这也算一个二级结论．(4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行.对点练1(2024·河南许平汝名校模拟节选)如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，CD＝2，M是DD1的中点．证明：BC⊥B1M.证明：如图所示，连接BD，B1D1，∵AB＝AD＝1，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，∴BD＝AB2＋AD2＝2，BC＝12＋2－12＝2，∴BD2＋BC2＝CD2，∴BC⊥BD.∵BB1⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BB1⊥BC.又BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面B1BDD1，∴BC⊥平面B1BDD1，∵B 1M ⊂平面B 1BDD 1，∴BC ⊥B 1M .题型面面垂直典例2(1)(2022·全国乙卷，文)如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠BDC ，E 为AC 的中点．可推得△ADB 与△CDB 全等，从而有AB ＝BC.①证明：平面BED ⊥平面ACD ；②设AB ＝BD ＝2，∠ACB ＝60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求三棱锥F ABC 的体积．(2)(2024·重庆巴蜀中学校考节选)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ＝PB ，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝3，∠BAD ＝30°.暗示出△ABD的特殊性．求证：平面PBD ⊥平面PAB .(1)①证明：因为AD ＝CD ，∠ADB ＝∠BDC ，DB ＝DB ，所以△ADB ≌△CDB ，所以BA ＝BC ，又E 为AC 的中点，所以AC ⊥BE ，AC ⊥DE ，△ADC 和△ABC 都是等腰三角形，才有DE ⊥AC ，和BE ⊥AC.因为BE ∩DE ＝E ，且BE ，DE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面ACD,所以平面BED ⊥平面ACD .学会逆向思维，发现解题突破点，欲证平面BED ⊥平面ACD ，而AC ⊥交线DE ⇒AC 必须垂直于平面BDE.②解：由①可知BA ＝BC ，因为∠ACB ＝60°，AB ＝2，所以AC ＝2，则BE ＝3，DE＝12AC ＝1，又BD ＝2，所以BD 2＝BE 2＋DE 2，所以DE ⊥EB .本小问中数量关系，就是要推得这个位置关系DE ⊥EB.连接EF (图略)，易知当△AFC 的面积最小时，EF 取最小值，由△ABD ≌△CBD ⇒FA＝FC ，S △FAC ＝12AC·EF.从而推出EF 有最小值时△AFC 面积最小．在Rt △BED 中，EF 的最小值为E 到BD 的距离，故当△AFC 的面积最小时，EF ＝DE ·BEBD ＝32.由射影定理知EF 2＝DF ·FB ，又DF ＋FB ＝BD如图，在Rt △EDB 中，EF ⊥BD ，射影定理有如下三个结论：①EF 2＝DF·BF ；②ED 2＝DF·DB ；③BE 2＝BF·BD.＝2，易知FB >DF ，所以DF ＝12，FB ＝32.方法一：因为DE ⊥AC ，DE ⊥BE ，AC ∩BE ＝E ，AC ，BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，则F 到平面ABC 的距离d ＝BF BD ×DE ＝34.应用比例关系来计算的．故V F ABC ＝13S △ABC ×d ＝13×34×4×34＝34.方法二：由①知BD ⊥AC ，又BD ⊥EF ，AC ∩EF ＝E ，AC ，EF ⊂平面ACF ，所以BD ⊥平面ACF ，所以BF 即为B 到平面ACF 的距离，故V F ABC ＝V B AFC ＝13S △AFC ×BF ＝13×12×AC等积变形，巧用BF ⊥平面AFC ，以BF 作为棱锥的高．×EF ×BF ＝34.(2)证明：在△ABD 中，AD ＝2，AB ＝3，∠BAD ＝30°，则BD 2＝4＋3－2×2×3×32＝1，所以BD ＝1，利用数量关系的特殊性，进而推得AB ⊥BD.则BD 2＋AB 2＝AD 2，所以AB ⊥BD .【会联想】根据题目中的数量关系，联想利用余弦定理、勾股定理的逆定理求解．又平面PAB ⊥平面ABCD ，下面一段证明正好是面⊥面性质定理的应用．因此每当条件中出现面面垂直时，我们注意力集中在寻找是否存在垂直于交线的直线上，从而为线⊥面创造条件．平面PAB∩平面ABCD＝AB，【警示】利用面面垂直的性质定理时，注意不要忘记对交线的说明．BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB.1．证明面面垂直的方法(1)面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.此方法将问题转化为线面垂直问题，一般找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面平行．(2)只要证明两个平面所构成的二面角的平面角为90°即可．(3)性质：α∥β，β⊥γ⇒α⊥γ(客观题常用)．(4)向量法：证明两个平面的法向量垂直．2．面面垂直的性质已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面；于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.对点练2(1)(2024·广西桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点．①求证：平面PCD⊥平面ACE；②求点B到平面ACE的距离．(2)(2024·广东湛江模拟)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝32，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱AA1上，且A1E＝2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN.(1)①证明：由PA＝AD＝PD，E为PD的中点，可得AE⊥PD，因为CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，而AE ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AE ，由CD ∩PD ＝D ，则AE ⊥平面PCD ，又AE ⊂平面ACE ，所以平面PCD ⊥平面ACE .②解：如图，连接BD ，与AC 交于O ，则O 为BD 的中点，所以点D 到平面ACE 的距离即为点B 到平面ACE 的距离．由平面PCD ⊥平面ACE ，过D 作DM ⊥CE ，垂足为M ，则DM ⊥平面ACE ，则DM 为点D 到平面ACE 的距离．由CD ⊥平面PAD ，可得CD ⊥PD ，又CD ＝DE ＝1，所以DM ＝12CE ＝22，即点B 到平面ACE 的距离为22.(2)证明：在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，则AA 1⊥BN .∵N 是棱AC 的中点，△ABC 为正三角形，∴BN ⊥AC .又AA 1∩AC ＝A ，∴BN ⊥平面AA 1C 1C ，∵ME ⊂平面AA 1C 1C ，∴BN ⊥ME .又AB ＝4，AA 1＝32，A 1E ＝2EA ，则EA ＝2，A 1E ＝22，∴A 1E A 1M ＝ANAE＝2，则△A 1EM 和△ANE 相似，故∠A 1EM ＝∠ANE ，∴∠A 1EM ＋∠AEN ＝∠ANE ＋∠AEN ＝90°，则∠MEN ＝90°，故EN ⊥ME .又EN ∩BN ＝N ，EN ，BN ⊂平面BEN ，∴ME ⊥平面BEN ，而ME ⊂平面MEB ，∴平面MEB ⊥平面BEN .题型平行与垂直的综合问题典例3如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，A 1D ∩AD 1＝O ，E 为线段AB 上的一点．(1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点．线∥面性质定理可推得OE∥BD1.(2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．(1)证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O，所以O为AD1的中点．又因为OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1，平面ABD1就是过OE的辅助平面，与平面D1BC相交．所以OE∥BD1.又因为O为AD1的中点，所以E为AB的中点．(2)解：存在点E，当AE＝12时，平面D1DE⊥平面AD1C，本小问应逆向推理，寻找突破口．由于D1D⊥AC，欲使平面D1DE⊥平面AD1C，只须使得动点E满足DE⊥AC即可．从而使得AC⊥平面D1DE.理由如下：设AC∩DE＝F，因为四边形AA1D1D为正方形，所以D1D⊥AD，又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D，所以D1D⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，当AE＝12时，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝AEAD＝12，利用正切值相等，来反映AC⊥DE.即∠BAC＝∠ADE可推得AC⊥DE.在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BCAB＝12，所以∠ADE＝∠BAC，又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°，所以∠ADE＋∠DAC＝90°，则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE，又因为DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE，所以AC⊥平面D1DE.又因为AC⊂平面AD1C，所以平面D1DE⊥平面AD1C.平行与垂直的综合对点练3(2024·四川宜宾诊断)如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，将△ADE沿DE折起，使二面角ADEB为直二面角，如图2，连接AB，AC.(1)求四棱锥ABCED的体积；(2)在图2中，过点E作平面EFG∥平面ABD，分别交BC，AC于点F，G.求证：EG⊥平面ABC.(1)解：如图，取DE的中点O，连接AO.∵AD＝AE，∴AO⊥DE.∵二面角ADEB为直二面角，∴平面ADE⊥平面BCED，又平面ADE∩平面BCED＝DE，AO⊂平面ADE，∴AO⊥平面BCED.由已知AD＝AE＝DE＝2，BC＝4，AO＝3，梯形BCED的高为3，∴四棱锥A BCED 的高为AO ＝3，梯形BCED 的面积S ＝12×(2＋4)×3＝33，∴四棱锥A BCED 的体积为13×33×3＝3.(2)证明：连接OF ，AF ，∵平面EFG ∥平面ABD ，平面EFG ∩平面ABC ＝FG ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴AB ∥FG ，同理BD ∥EF ，又DE ∥BF ，∴四边形BFED 为平面四边形．∵BF ＝DE ＝12BC ，∴F 为BC 的中点，∴G 为AC 的中点，又EA ＝EC ，∴EG ⊥AC .∵AO ⊥平面BCED ，BC ⊂平面BCED ，∴AO ⊥BC ，又OF ⊥BC ，AO ∩FO ＝O ，AO ，FO ⊂平面AOF ，∴BC ⊥平面AOF .∵AF ⊂平面AOF ，∴BC ⊥AF .∵G 为Rt △AFC 的斜边AC 的中点，∴GF ＝GA .∵EA ＝EF ＝2，GE 是△GEA 与△GEF 的公共边，∴△GEA ≌△GEF ，∴∠FGE ＝∠AGE ＝90°，故EG ⊥GF ，又EG ⊥AC ，AC ∩GF ＝G ，AC ，GF ⊂平面ABC ，∴EG ⊥平面ABC .。
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【思路点拨】 PQ⊥DQ.
(1) 证 明 PQ⊥ 平 面 DCQ ， 只 需 证 PQ⊥DC 且
(2)设AB＝a，分别计算两棱锥体积，求出体积比．
【尝试解答】 (1)由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形． 因为 QA⊥平面 ABCD，所以 QA⊥DC， 又四边形 ABCD 为正方形，DC⊥AD，又 QA∩AD＝A， 所以 DC⊥平面 PDAQ，可得 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ＝PQ＝ PD， PQ⊥QD. 则 2 又 DQ∩DC＝D，所以 PQ⊥平面 DCQ.
【提示】
不可以．如果这无数条直线是平行的，则这条直线和
这个平面的位置关系不确定
2．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线有什么位置关 系？垂直于同一平面的两个平面呢？
【提示】 这两条直线平行或相交或异面；垂直于同一个平面的 两个平面可能平行，也可能相交
直线与平面垂直的判定与性质
(2011· 辽宁高考)如图 7－5－2， 四边形 ABCD 为正方形，QA⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA＝ 1 AB＝ PD. 2 (1)证明：PQ⊥平面 DCQ； (2)求棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值．
直线、平面垂直的综合应用
如图 7－ 5－6所示，平行四边形 ABCD中，
∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD 沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平
面ABD.
(1)求证：AB⊥DE； (2)求三棱锥E—ABD的侧面积．
【思路点拨】 (1) 在△ABD中，AB⊥BD → AB⊥平面BDE → AB⊥DE . (2)分别计算各侧面面积求和．
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是___________，就说这两个 直二面角
平面互相垂直． 垂线 (2)判定定理：一个平面过另一个平面的____，则这两个平面垂直． 垂直于交线 (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线 与另一个平面垂直．
1．一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，可以说这条直线 和这个平面垂直吗？
高考在对立体几何中的考查中，垂直问题是考查的重点 之一，考查线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用，以及 线面角、二面角的求法，重点考查转化思想的应用，以及空间 想象能力和推理论证能力，主要以解答题的形式考查，解题规 范性至关重要．
规范解答之十三
利用数量关系证明线线垂直
图7－5－10 (12分)(2011·课标全国卷)如图7－5－10，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60° ，AB＝2AD，PD⊥底 面ABCD.
(2)设 AB＝a. 由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高， 1 所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1＝ a3. 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高， 2 又 PQ＝ 2a，△DCQ 的面积为 a2， 2 1 3 所以棱锥 P—DCQ 的体积 V2＝ a . 3 故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1.,
(2)由(1)知 AB⊥BD，CD∥AB， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3，DE＝DC＝AB＝2， 1 ∴S△ DBE＝ DB· DE＝2 3. 2 又∵AB⊥平面 EBD，BE⊂平面 EBD，∴AB⊥BE. ∵BE＝BC＝AD＝4， 1 ∴S△ ABE＝ AB· BE＝4. 2 ∵DE⊥BD，平面 EBD⊥平面 ABD， ∴ED⊥平面 ABD， 又 AD⊂平面 ABD，∴ED⊥AD， 1 ∴S△ ADE＝ AD· DE＝4. 2 综上，三棱锥 E—ABD 的侧面积 S＝8＋2 3.,
【尝试解答】 (1)在△ABD 中，∵AB＝2，AD＝ 4，∠DAB＝60° ， ∴BD＝ AB2＋AD2－2AB· ADcos∠DAB＝2 3， ∴AB⊥BD. 又∵平面 EBD⊥平面 ABD， 平面 EBD∩平面 ABD＝BD，AB⊂平面 ABD， ∴AB⊥平面 EBD， ∵DE⊂平面 EBD，∴AB⊥DE.
直线、平面垂直的判定 及其性质
1．直线与平面垂直
任意一条 (1)定义：如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，则直线l与平 面α垂直． 相交 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
平行． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________ 2．直线和平面所成的角 平面上的射影 (1)平面的一条斜线和它在_______________所成的锐角叫做这条直
线面角、二面角
(2011· 广东高考)如图 7－5－8， 在锥体 P—ABCD 2，PB＝2，E，F 分别是 BC，PC 的中点．
图 7－5－8 (1)证明：AD⊥平面 DEF； (2)求二面角 P—AD—B 的余弦值．
【思路点拨】 (1)取AD的中点G，则平面PGB∥平面DEF， 只需证AD⊥平面PGB即可．(2)作出二面角的平面角∠PGB， 在△PGB中求解．
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D—PBC的高．
如图7－5－3，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、 N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°， (1)求证：MN⊥平面PCD； (2)试问矩形ABCD满足什么条件时，PC⊥BD.
【解】 (1)证明 如图，取 PD 的中 点 E，连结 AE，NE. ∵E、N 分别为 PD、PC 的中点， 1 ∴EN 綊 CD. 2 又∵M 为 AB 的中点， 1 ∴AM 綊 CD. 2
线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面
90°和0°. 所成的角分别为____________
3．二面角的有关概念
两个半平面 (1)二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面 角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面 垂直于棱 内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角． 4．平面与平面垂直
(2011· 湖南高考)如图 7－5－9，在圆锥 PO 中，已知 PO＝ 2， ⊙O 的直径 AB＝2，点 C 在 AB 上，且∠CAB＝30° ，D 为 AC 的 中点． (1)求证：平面 PAC⊥平面 POD； (2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明 因为OA＝OC，D是AC的中 点，所以AC⊥OD. 又 PO⊥ 底 面 ⊙ O ， AC⊂ 底 面 ⊙ O ， 所 以 AC⊥PO. 又OD，PO是平面POD内的两条相交直线， 所以AC⊥平面POD，
【尝试解答】 (1)取 AD 中点 G，连结 PG， BG. ∵四边形 ABCD 为菱形，且 E，G 分别为 BC， AD 中点， 则 BG 綊 DE. 又 F 为 PC 中点，则 EF∥PB， 则平面 DEF∥平面 GBP. ∵G 是 AD 中点且 PA＝PD， ∴PG⊥AD.
1 在△ABG 中，AG＝ ，AB＝1，且∠DAB＝60° ， 2 3 由余弦定理得 BG＝ ，AB2＝AG2＋BG2，则 AG⊥BG. 2 ∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面 PGB，即 AD⊥平面 DEF. (2)由(1)知二面角 P—AD—B 的平面角为∠PGB. 7 在 Rt△PGA 中，PG＝ PA2－AG2＝ . 2 3 在△PGB 中，BG＝ ，PB＝2，由余弦定理知，cos∠PGB＝ 2 7 3 ＋ －4 2 2 2 PG ＋BG －PB 4 4 21 ＝ ＝－ ., 2PG· BG 7 7 3 2× × 2 2
所以平面BEF⊥平面PAD.,
如图7－5－5所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中， AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.D是BC的中 点． (1)求证：AD⊥CC1； (2) 若 AM ＝ MA1 ， 求 证 ： 平 面 MBC1⊥ 侧 面 BB1C1C. 【证明】 (1)∵AB ＝ AC ， D 是 BC 的 中 点 ，
∴EN 綊 AM. ∴四边形 AMNE 为平行四边形． ∴MN∥AE. ∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA＝45° ， ∴△PAD 为等腰直角三角形，∴AE⊥PD. 又∵CD⊥AD，CD⊥PA， ∴CD⊥平面 PAD， 又 AE⊂平面 PAD，∴CD⊥AE. 又 CD∩PD＝D，∴AE⊥平面 PCD. ∴MN⊥平面 PCD. (2)当矩形 ABCD 为正方形时，PC⊥BD，证明如下： 若四边形 ABCD 为正方形，则 AC⊥BD， 又 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD， 又 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC， 则有 PC⊥BD.,
由于AC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面POD，
(2)在平面 POD 中， O 作 OH⊥PD 于 H， OH⊥平面 PAC. 过 则 连结 CH，则 CH 是 OC 在平面 PAC 上的射影． 所以∠OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角． 1 在 Rt△ODA 中，OD＝OA· 30° . sin ＝ 2 3 在 Rt△POD 中，PD＝ OD2＋PO2＝ ， 2 OD· PO 2 由 OH· PD＝OD· PO，得 OH＝ ＝ ， PD 3 OH 2 在 Rt△OHC 中，sin∠OCH＝ ＝ ， OC 3 故直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为 2 3
如图 7－5－7，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面 BDE； (2)求证：CF⊥平面 BDE.
【证明】 (1)设 AC 与 BD 交于点 G. 1 因为 EF∥AG，且 EF＝1，AG＝ AC 2 ＝1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形， 所以 AF∥EG. 因为 EG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE， 所以 AF∥平面 BDE.
∴AD⊥BC，
又∵侧面BB1C1C⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴AD⊥平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.