2020版高考数学大一轮复习第8讲指数与指数函数课时达标(文)(含解析)新人教A版

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2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：8 指数与指数函数 Word版含解析

课时作业8 指数与指数函数一、选择题1．化简4a23 ·b － 13 ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23a－ 13 b 23 的结果为( C )A ．－2a 3bB ．－8ab C ．－6a bD ．－6ab2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1. 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2019·湖南永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( B )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．故选B.4．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数是( C )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C.5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝log 120.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是( B )A ．a log 1212＝1>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，c ＝a b <a .∴c <a 0时，10时，11.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.∴ab >1，∴a >b .∴10，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为( A )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t )．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝ 2.故选A.二、填空题8．不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．解析：∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22， ∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 解析：(数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0<2a <1，∴0<a <12；同理，当a >1时，解得0<a <12，与a >1矛盾．综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 10．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是0.解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．(2019·湖南益阳调研)已知函数f (x )＝2x1＋a ·2x(a ∈R )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12对称，则a ＝1. 解析：由已知，得f (x )＋f (－x )＝1，即2x1＋a ·2x ＋2－x 1＋a ·2－x＝1，整理得(a －1)[22x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0，所以当a －1＝0，即a ＝1时，等式成立．三、解答题12．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.13．(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( D ) A ．M ＝N B ．M ≤N C ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1，所以M >N ，故选D.14．已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)且f (0)＝0.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)对于函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－42＋a ＝0，得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－42·2x ＋2＝1－22x ＋1.因为函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点，所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点，∴1－k >0，即k <1.(3)∵当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x－2恒成立，即1－22x ＋1>m ·2x －2恒成立，亦即m <32x －22x (2x ＋1)恒成立，令t ＝2x ，则t ∈(1,2)，且m <3t －2t (t ＋1)＝3t ＋1t (t ＋1)＝1t ＋2t ＋1.由于y ＝1t ＋2t ＋1在t ∈(1,2)上单调递减，∴1t ＋2t ＋1>12＋22＋1＝76，∴m ≤76.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知实数a ，b 满足12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，则( B )A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a b －a解析：由12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a，得a >1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，故2a 14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b <4.由2a 2a >2，a <b2<2， ∴1<a <2,20恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14，由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.16．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max(e |x |，e |x －2|)，则f (x )的最小值为e.解析：由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e|x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.。

2020高考数学一轮复习考点规范练8指数与指数函数

D.-2X _4. 函数f(x)=1-e |x|的图象大致是(5. 若函数y=a x -b(a>0,且a 鬥)的图象经过第二、第三、第四象限A.(1, + 叼B. (0, +旳基础巩固i •化简 (x<O,y< 0)得(A.2xB.2xC.(0,1)D.无法确定 6.已知 a=20.2,b= O.40.2,C =O.40.6,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a 7.若函数f(x)=a |2x-4|(a>0,a 为)满足f(1)=~,则f(x)的单调递减区间是(A.(-s ,2]B.[2, +旳C.-2xJ Lk1D3.已知f(x)=3x-b (2<x w 4,b 为常数)的图象经过点 (2,1),则f(x)的值域为(A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1, + 乡 a b 的取值范围为()2.函数f(x)=2|x-11的大致图象是 ),则C. [-2,+ 旳D. (a,-2]8. 函数 y= 2-2 x 是( )A. 奇函数，在区间(0, +乡内单调递增B. 奇函数，在区间(0,+旳内单调递减C. 偶函数，在区间(-x ,0)内单调递增D. 偶函数，在区间(-x ,0)内单调递减9. 曲线 y=2a |x-1|-1(a>0,a 鬥)过定点 __________10.函数f(x)= ____________ - 的值域为 .15.已知函数f(x)=|2x -1|,且当a<b<c 时有f(a)>f(c)>f(b),则下列结论一定成立的是 (A. a< 0,b< 0,c<0B.a< 0,b > 0,c>0 — -a cC. 2 <2 a c小D.2 +2 <216. _______________ 记X 2-X 1为区间［x 1,x 2］的长度,已知函数y=2|x|,x € ［-2,a ］(a > 0),其值域为［m,n ］,则区间［m,n ］的长度的最小值是.三、高考预测11.函数y= -+ 1在x € ［-3,2］上的值域是_X、,12.已知函数 f(x)= (a-2)a (a>0,且 a 为),若对任意 x 1,x 2€ R ,>0,则a 的取值范围二、能力提升13.当x € (-a ,-1］时,若不等式(m 2-m) 4x -2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-1,2)D.(-3,4)14.若存在正数 x 使2x (x-a)< 1成立，则a 的取值范围是 A. (a,+汨 B.(-2,+ 叼C. (0,+ a ) D. (-1,+a )17.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6，则a,b,c 的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a考点规范练8指数与指数函数1. D2. B 解析因为f(x)=2|x-1|= -所以f(x)在［1,+ x)内为增函数，在(-円1)内为减函数•3. C 解析由f(x)的图象经过点(2,1)可知b=2.因为f(x)=3x-2在区间［2,4］上是增函数，所以f(x)min =f (2) = 1,f(x)max=f (4) = 9.故f(X)的值域为［1,9］•4. A 解析因为函数f(x)= 1 -e|x|是偶函数，且值域是(-x,0］,只有A满足上述两个性质.故选A.5. C 解析因为函数图象经过第二、第三、第四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在y轴负半轴上•令x=0，得y=a°-b= 1-b,由题意得解得故a b€ (0,1),故选C.6. A 解析由0.2<0.6,0<0.4<1,可知0.40.2>0.40",即b>c.又因为a=20.2>1,b=O.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.7. B 解析由f(1) = 一得a2=-,故a=- -- 舍去，即f(x)= - .由于y=|2x-4|在(-x,2］上单调递减，在［2, + x)上单调递增，故f(x)在(-x,2］上单调递增，在［2, + X上单调递减■故选B.8. A 解析令f(x)=2x-2-x，则f(x)的定义域为R，且f(-x) = 2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，排除C,D. 又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数，所以y= 2x-2-x在R上为增函数.9. (1,1) 解析由|x-1|=0,即x= 1,此时y=1 故函数恒过定点(1,1).10. ［0,1)解析由1-e x>0,可知e x w 1.又0<e x,所以-K -e x<0,即0W 1 -e x< 1.故函数f(x)的值域为［0,1).11•- 解析令匸-，由x€ [-3,2],得t €_.则y=t2-t+ 1=-一 - - .当t= -时,y min = -；当t=8 时,y max= 57.故所求函数的值域为一12. (0,1) U (2,+旳解析由题意知f(x)在R上是增函数•当0<a< 1时,a-2<0,y=a x单调递减，所以f(x)单调递增；当1<a< 2时,a-2<0,y=a x单调递增，所以f(x)单调递减；当a=2时,f(x)=0;当a>2时,a-2>0,y=a x 单调递增所以f(x)单调递增•故a的取值范围是(0,1) U (2,+旳.213. C 解析原不等式可变形为m -m< - •函数y= -在(-8,-1]上是减函数，当x€ (-8,-1］时,m2-m< -恒成立等价于m2-m<2，解得-1<m< 2.14. D 解析不等式2x(x-a)< 1可变形为x-a< - •在同一平面直角坐标系中作出直线y=x-a与y= 一的图象.由题意知，在(0,+ 8内，直线有一部分在y= -图象的下方.由图可知，-a< 1所以a>-1.15. D 解析作出函数f(x)=|2x-1|的图象，如图.T当a<b<c 时,有f(a)>f (c)>f (b),•••结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0.•••0<2a<l.•••f(a)=|2a-i|=i-2a<1.•••f(c)< 1, /.0<c< 1.• 1<2c<2,•f(c)=|2c-1|=2c-1,又f(a)>f (c), • 1-2a>2c-1,•2a+2c<2,故选D.16.3 解析令f(x)=y= 2|x|，则f(x)= _(1)当a=0时,f(x)=2-x在［-2,0］上为减函数值域为［1,4］.⑵当a>0时,f(x)在［-2,0)上为减函数，在［0,a］上为增函数①当0<a < 2 时,f(x)max=f(-2)=4，值域为［1,4］;②当a>2 时,f(x)max=f(a)=2a>4，值域为［1,2a］.综上(1)(2),可知［m,n］的长度的最小值为 3.17. C解析函数y=0.6x在定义域R上为减函数，0 0.6 1.5•1=0.60>0.60.6>0.61.5.而函数y=1.5x为增函数，• 1.50.6> 1.5°= 1, • b<a<c.。

2020版高考数学(文)江苏专用新精准大一轮复习：第八章8第8讲圆锥曲线中的热点问题含解析

1．(2019·镇江调研)已知点A (0，2)及椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点P ，则P A 的最大值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则－2≤x 0≤2，－1≤y 0≤1，所以P A 2＝x 20＋(y 0－2)2.因为x 204＋y 20＝1，所以P A 2＝4(1－y 20)＋(y 0－2)2＝－3y 20－4y 0＋8＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋232＋283.因为－1≤y 0≤1，而－1<－23<1，所以当y 0＝－23时，P A 2max ＝283，即P A max ＝2213. 答案：22132．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________．解析：因为m 2＞m 2－1，所以m 2＝a 2，m 2－1＝b 2. 所以c 2＝1.又3＋1＝2a ⇒a ＝2，所以dP －l 右＝1e ＝ac ＝2.答案：23．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析：因为一条渐近线方程是y ＝3x ，所以ba ＝ 3.①因为双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上，所以c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27，此双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案：x 29－y 227＝14．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋PC 的最小值为________．解析：由题意得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m ＋PC 最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即m ＋PC ＝（－3－2）2＋（－4）2＝41.答案：415．(2019·南通质量检测)若F (c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a 27，则该双曲线的离心率e ＝________．解析：设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB的面积可以表示为12·a ·a tan 2θ＝a 3b a 2－b2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.答案：546．若直线y ＝kx 交椭圆x 24＋y 2＝1于A 、B 两点，且AB ≥10，则k 的取值范围为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1得x 2＝44k 2＋1. 不妨设⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝24k 2＋1，y A＝2k 4k 2＋1，⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝－24k 2＋1，y B ＝－2k4k 2＋1.由两点间距离公式得AB 2＝16（1＋k 2）4k 2＋1≥10，解得k 2≤14.所以k 的取值范围为－12≤k ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤－12，12 7．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB →(λ＞1)，则λ的值为________．解析：根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.答案：48．已知F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，抛物线的准线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于A 、B 两点．若△AFB 为直角三角形，则双曲线的离心率为________．解析：设AB 与x 轴交点为M ，由△AFB 为直角三角形，则它为等腰直角三角形，因此有MA ＝MB ＝MF ，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，把x ＝－p 2代入双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，得A ，B的纵坐标为±bp 2a ，因此有bp 2a ＝p ，所以b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，因此e ＝ca＝ 5.答案： 59．(2019·无锡调研)设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．解析：如图，设右准线与x 轴的交点为H ，则PF 2≥HF 2. 又因为F 1F 2＝PF 2，所以F 1F 2≥HF 2，即2c ≥a 2c －c ，所以3c 2≥a 2.所以e 2≥13，即e ≥33.又因为e <1，所以e ∈⎣⎡⎭⎫33，1.答案：⎣⎡⎭⎫33，110．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AB ＝5，则满足条件的l 的条数为________．解析：因为a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，所以F (3，0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x ＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以AB ＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，因为a ＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有2条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条．答案：311．(2019·苏州模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y . 所以E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中，得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0，4)．12．(2019·南京调研测试)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．解：(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a ＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0，22)，F (0，－22)， OE →·OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设l 过该椭圆的上焦点，则l 的方程为y ＝kx ＋2，设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8，因为0＜202＋k 2≤10，所以－8＜OE →·OF →≤2，所以OE →·OF →的取值范围是[－8，2]．1．已知双曲线的两条渐近线均和圆C ：(x －1)2＋y 2＝15相切，且双曲线的右焦点为抛物线y 2＝45x 的焦点，则该双曲线的标准方程为________．解析：由题意可知双曲线的c ＝ 5.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为kx －y ＝0，根据圆心(1，0)到该直线的距离为半径15，得k 2＝14，即b 2a 2＝14.又a 2＋b 2＝(5)2，则a 2＝4，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝12．已知椭圆方程为x 216＋y 212＝1，若M 为右准线上一点，A 为椭圆的左顶点，连结AM 交椭圆于点P ，则PMAP的取值范围是________．解析：设P 点横坐标为x 0，则PM AP ＝8－x 0x 0＋4＝12x 0＋4－1，因为－4<x 0≤4，所以PM AP ＝8－x 0x 0＋4＝12x 0＋4－1≥12.所以PMAP 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 3．抛物线C 1：y 2＝4mx (m >0)和椭圆x 24m 2＋y 23m2＝1的交点为P .F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，若存在实数m ，使得△PF 1F 2的边长是连续的自然数，则m ＝________．解析：在△PF 1F 2中，PF 1最长，PF 2最短，F 1F 2＝2c ＝2m ，所以F 1F 2＝2m ，PF 1＝2m ＋1，PF 2＝2m －1，又因为P 在C 1上，所以P ()m －1，4m （m －1），将其代入椭圆x 24m 2＋y 23m2＝1得m ＝3.答案：34.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：依题意切线长PT ＝PF 22－（b －c ）2，所以当且仅当PF 2取得最小值时PT 取得最小值，而(PF 2)min ＝a －c ，所以（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，所以0c ，2b <a ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2>c 2，4（a 2－c 2）<a 2＋c 2＋2ac ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>2c 2，5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧e 2<12，5e 2＋2e －3≥0，从而解得35≤e <22，故离心率的取值范围是35≤e <22.答案：35≤e <225．(2019·苏州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(2，0)，点P ⎝⎛⎭⎫1，－153在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得F 1M ＝F 1N (F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)法一：因为椭圆C 的右焦点为F 2(2，0)，所以c ＝2，椭圆C 的左焦点为F 1(－2，0)．由椭圆的定义可得2a ＝（1＋2）2＋⎝⎛⎭⎫－1532＋（1－2）2＋⎝⎛⎭⎫－1532＝ 969＋ 249＝26，解得a ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝6－4＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.法二：因为椭圆C 的右焦点为F 2(2，0)，所以c ＝2，故a 2－b 2＝4，又点P ⎝⎛⎭⎫1，－153在椭圆C 上，则1a 2＋159b 2＝1，故1b 2＋4＋159b 2＝1，化简得3b 4＋4b 2－20＝0，得b 2＝2，a 2＝6，所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝－x ＋t 得x 2＋3(－x ＋t )2－6＝0，即4x 2－6tx ＋(3t 2－6)＝0，Δ＝(－6t )2－4×4×(3t 2－6)＝96－12t 2>0，解得－22<t <2 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3t2，x 1x 2＝3t 2－64，由于F 1M ＝F 1N ，设线段MN 的中点为E ，则F 1E ⊥MN ，故kF 1E ＝－1k MN ＝1，又F 1(－2，0)，E ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即E ⎝⎛⎭⎫3t 4，t 4，所以kF 1E ＝t 43t 4＋2＝1，解得t ＝－4.当t ＝－4时，不满足－22<t <22，所以不存在满足条件的直线l .6．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值．解：(1)因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.由题意知点A 在第二象限，点B 在第四象限．由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24b 2＋y2b2＝1，得A ⎝⎛⎭⎫－2b ，22b . 又AB ＝210，所以OA ＝10，即2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)证明：由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2. 从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2.所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1（x －22），y －2＝k 2（x ＋22），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（－4k 1k 2－4k 1＋1）4k 1k 2＋1，y ＝2（－4k 1k 2＋4k 2＋1）4k 1k 2＋1.从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22（－4k 1k 2－4k 1＋1）4k 1k 2＋1，2（－4k 1k 2＋4k 2＋1）4k 1k 2＋1.用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22（－4k 1k 2－4k 2＋1）4k 1k 2＋1，2（－4k 1k 2＋4k 1＋1）4k 1k 2＋1.所以k PQ ＝2（－4k 1k 2＋4k 2＋1）4k 1k 2＋1－2（－4k 1k 2＋4k 1＋1）4k 1k 2＋122（－4k 1k 2－4k 1＋1）4k 1k 2＋1－22（－4k 1k 2－4k 2＋1）4k 1k 2＋1＝42（k 2－k 1）82（k 2－k 1）＝12.即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)．设DA 的斜率为k ，由①知k DB ＝－14k.因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k (x －22)，得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k .又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)，得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2，所以k PQ ＝12.由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.。

高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ8 指数与指数函数课时训练文(含解析)-人教版高

【课时训练】指数与指数函数一、选择题1．(2019某某某某调研)函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．故选B.2．(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (－4)＝a 3,f (1)＝a 2，由y ＝a t(a >1)的单调性知a 3>a 2，所以 f (－4)>f (1)．3．(2018某某某某调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．4．(2018某某某某一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.故选D.5．(2018某某省实验中学分校月考)函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】函数y ＝16－2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝∈[0,4)．故选C.6．(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【答案】D【解析】由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．(2018某某某某联考)已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则下列关于f (x )的性质：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④【答案】B8．(2018某某某某联考)若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】B【解析】∵函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f (x )的定义域为[a ，＋∞)． ∵函数f (x )的定义域与值域相同， ∴函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又∵函数f (x )在[a ，＋∞)上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.故选B.二、填空题9．(2018某某某某一模)已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________. 【答案】12【解析】∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 10．(2018某某一中月考)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【答案】 3【解析】当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.11．(2018某某十校联考)已知max (a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max {e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】由于f (x )＝max {e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.12．(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值X 围为________．【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．三、解答题13．(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，某某数m 的取值X 围．【解】(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。

(课标通用)北京市2020版高考数学大一轮复习第二章 8 第八节函数与方程课件

第八节函数与方程
1.函数零点的定义
教材 2.函数零点的判定(零点存在性定理) 研 3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
读 4.二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
考考点一函数零点所在区间的判断
点突
考点二判数函数零点的个数
破考点三函数零点的应用
教材研读
1.函数零点的定义
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( C )
解析对于选项C,由图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的,故不能用二分法求解.
2.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)= 6
x
-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的
区间是 ( C )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
解析
∵f(1)=6-log21=6>0,
f(2)=3-log22=2>0,
f(3)=2-log23>0,
f(4)=
6 4
-
log24=
3 2
-2<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
3.(2017北京西城一模,4)函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.3
解析要求函数f(x)的零点个数,即求2x+log2|x|=0的根的个数,即求2x
=log 1 |x|的根的个数,即求函数y=2x与y=log 1 |x|的图象的交点个数,如图所
2
2
示:
结合图象可知,函数f(x)有两个零点.
4.函数f(x)=2cxo的s1x所, 有1, 零2x点0的,x和0等于 ( A )

2020版高考数学一轮总复习第二单元函数课时8幂函数课后作业文(含解析)新人教A版

幂函数1．在下列函数中，定义域和值域不同的函数是(C) A ．y ＝13x B ．y ＝12xC ．y ＝23x D ．y ＝x －12．设a ＝253()5 ，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是(A) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a设f (x )＝25x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为35>25，所以253()5 >252()5，即a >c .又令g (x )＝(25)x，因为0<25<1，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以352()5<252()5，即b <c .所以a >c >b .3．(2018·郑州三模)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝(12)ln x ，c ＝e ln x，则(A)A ．b >c >aB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a >b >c因为x ∈(e－1,1)，所以－1<ln x <0， a ＝ln x ∈(－1,0)，(12)ln x >e ln x >0，所以b >c .从而b >c >a .4．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是(D)因为a >0，且a ≠1，所以f (x )＝x a在(0，＋∞)上单调递增，所以排除A.当0<a <1或a >1时，B ，C 中f (x )与g (x )的图象矛盾．故选D.5．(2018·湖州期中)若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (2)的值为 2 .设y ＝f (x )＝x α，则3＝3α，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，所以f (2)＝212＝ 2.6．下列三个命题：①523->523.1-；②788-<781()9 ；③232()3-- <23()6π-- .其中正确命题的序号是 ①③ .因为y ＝52x-在(0，＋∞)上单调递减，又3<3.1，所以523->523.1-，①真；又781()9＝789-，因为8<9，所以788->789-，②假；232()3-<23()6π--，232()3--<23()6π--，③真．故正确命题的序号为①和③.7．(2018·启东模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h x ，x ∈[0，12]的值域．(1)因为h (x )为幂函数，所以m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝5，或m ＝0.若m ＝5，此时h (x )＝x 6为偶函数，不满足条件，舍去；若m ＝0，此时h (x )＝x 为奇函数，满足条件．故所求m 的值为0. (2)由(1)知h (x )＝x ，所以g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈[0，12]．令1－2x ＝t ，则0≤t ≤1，且x ＝1－t22.所以g (x )＝x ＋1－2x ＝－12t 2＋t ＋12，令φ(t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[0,1]．易知φ(t )在[0,1]上单调递增，所以12≤φ(t )≤1，即g (x )的值域为[12，1]．8．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(B)由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于A ，y ＝3－x＝(13)x 为减函数，故A 错误．对于B ，y ＝x 3，显然满足条件．对于C ，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误．对于D ，y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．9．函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为 c x b>x a，由指数函数的性质可知c <b <a . 10．已知幂函数y ＝223m m x-- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3(1)ma -+ <3(32)m a --的a 的取值范围．因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1,2.又因为函数图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数．而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1. 而y ＝13x-在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以3(1)m a -+ <3(32)m a --等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.故a 的取值范围为{a |a <－1或23<a <32}．。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训8指数与指数函数理

课后限时集训(八) 指数与指数函数(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题 1．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32C [a2a ·3a 2＝a2a ·a23＝a 2a53＝a2a56＝a 2－56＝a 76.故选C.] 2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .]3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞0，－a x，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x ＜0)的图象关于x 轴对称，函数递增，所以应选D.]4．若2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)B [因2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2＝24－2x，则x 2＋1≤4－2x ，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1，所以18≤y ≤2.]5．若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)D [不等式2x(x －a )＜1可变形为x －a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一平面直角坐标系中作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象的下方．由图可知，－a ＜1，所以a ＞－1.] 二、填空题6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 2 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.]7．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)．若f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(－∞，4] [令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．]8．(2019·西安八校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f (x －1)＞1的x 的取值范围是________．(0，＋∞) [画出函数f (x )的大致图象如图，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x ＞x －1，且x－(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)＞1成立，则结合函数f (x )的图象知只需x －1＞－1，解得x ＞0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x.(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以m ≤56.即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56.10．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解] (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x－2λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋3(－1≤x ≤2)．设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，得g (t )＝t 2－2λt ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2.当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2.所以g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝3716，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3716. (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2，①当λ≤14时，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞14，不符合，舍去；②当14＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＝－2＜14，不符合，舍去； ③当λ＞2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32＜2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为 2.B 组能力提升1．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x)，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数A [∵f (－x )＝－x (e －x＋e x )＝－[x (e －x ＋e x)]＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．任取x 2＞x 1＞0，则e x 2－e x 1＞0，ex 2＋x 1＞1，e x 2＋e －x 2－(e x 1＋e －x 1)＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1e x 1＋x 2＞0， f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A.]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)C [令f (a )＝t ，则f (t )＝2t.当t ＜1时，3t －1＝2t，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2tln 2，当t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )在(－∞，1)上单调递增，即g (t )＜g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t成立，由f (a )≥1，即当a ＜1时，3a －1≥1，解得23≤a ＜1；或a ≥1时，2a≥1，解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是a ≥23.]3．若32＋2x－3x 2＋x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋x，则x 的取值范围是________．(－1,2) [∵32＋2x－3x 2＋x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋x，∴32＋2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2x＞3x 2＋x－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋x，(*)观察知，不等式两边结构相同，故构造函数F (t )＝3t－⎝ ⎛⎭⎪⎫14t，则F (t )为R 上的单调增函数，而(*)式可以写成，F (2＋2x )＞F (x 2＋x )，根据F (x )单调递增，得2＋2x ＞x 2＋x ，即x 2－x －2＜0，解得x ∈(－1,2)．]4．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0.[解] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．所以t 2－2t ＞－2t 2＋1，即3t 2－2t －1＞0.解得t ＞1或t ＜－13，所以该不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t ＞1或t ＜－13.。

2020版高考数学(文)新探究大一轮分层演练：第二章函数概念与基本初等函数第8讲含解析

，又函数
f
(x)＝
2
x－
2 x
－
a
的一个零点在区
间 (1， 2)内，则有 f(1) ·f(2)<0 ，所以 (－ a)(4 －1－ a)<0 ，即 a(a－3)<0. 所以 0<a<3.
ex＋ a， x≤ 0，
5．已知函数 f(x)＝
(a∈ R)，若函数 f (x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是 ( )
， g( x)＝ log1x，记函数
2
h( x)＝ f( x)， f(x)> g(x)，
则函数 F(x)＝ h(x) ＋x－ 5 的所有零
点的和为 ________．
解析：由题意知函数 h(x)的图象如图所示，易知函数 h(x)的图象关于直线 y＝ x 对称，函数 F(x)所有零点
的和就是函数 y＝ h( x)与函数 y＝ 5－ x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为
x>0，
x≤ 0，
该方程等价于
①
或② － 2＋ x＝ 0，
－ x2－4x－ 2＋ x＝0，
解 ① 得 x＝ 2，解 ② 得 x＝－ 1 或 x＝－ 2，
因此，函数 g(x)＝f (x)＋ x 的零点个数为 3.
答案： 3 7．方程 2x＋ 3x＝k 的解在 [1 ， 2)内，则 k 的取值范围为 ________．解析：令函数 f(x)＝ 2x＋ 3x－ k，
1 2
＝f
1 2
－ 12＝－ 18，
1 所以 g(0) ·g 2 <0.
又函数
g(x)在
1 0，2
上是连续曲线
，

通用版2020版高考数学大一轮复习第8讲指数与指数函数学案理3

第8讲指数与指数函数1.根式n次方根概念如果x n=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N* 性质当n是时,a的n次方根为x= √an当n是时,正数a的n次方根为x=±√nn,负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作√0n=0根式概念式子√an叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,√n nn=当n为偶数时,√a nn=|a|=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:n n n=√n nn(a>0,m,n∈N*,且n>1).②正数的负分数指数幂:n-n n=n nn=n nn(a>0,m,n∈N*,且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质①a r a s= (a>0,r,s∈Q);②(a r)s= (a>0,r,s∈Q);③(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图像与性质y=a x(a>0且a≠1)a>1 0<a<1图像定义域 R值域性质过定点当x>0时, ;当x<0时, 当x>0时, ;当x<0时,在R 上是在R 上是常用结论1.函数y=a x+b (a>0且a ≠1)的图像恒过定点(0,1+b ). 2.指数函数y=a x(a>0且a ≠1)的图像以x 轴为渐近线.题组一常识题1.[教材改编] 若x+x -1=3,则x 2-x -2= .2.[教材改编] 已知2x-1<23-x,则x 的取值范围是 .3.[教材改编] 函数y=a x-1+2(a>0且a ≠1)的图像恒过定点 .4.[教材改编] 下列所给函数中值域为(0,+∞)的是 .①y=-5x ;②y=(13)1-n;③y=√(12)n-1;④y=√1-2n .题组二常错题◆索引:忽略n 的范围导致式子√n n n(a ∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.5.计算√(1+√2)33+√(1-√2)44= .6.若函数f (x )=(a 2-3)·a x为指数函数,则a= . 7.若函数f (x )=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= . 8.函数y=21n -1的值域为 .探究点一指数幂的化简与求值例1 (1)计算:823-(-78)0+√(3-n)44+[(-2)6]12= .(2)已知n12+n-12=√5,则n2+n-2-6n+n-1-5的值为.[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.变式题 (1)计算:2n-13(12n13+n43)=()A.3B.2C.2+xD.1+2x(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则√n-√n√n+√n= .探究点二指数函数的图像及应用例2 (1)函数y=nn n|n|(a>1)的图像大致是 ()A B C D图2-8-1(2)[2018·辽阳一模]设函数f(x)={|2n-1|,n≤2,-n+5,n>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是()A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)[总结反思] (1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),(-1,1n).(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.变式题 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图像如图2-8-2所示,则函数g(x)=a x+b的图像大致是()图2-8-2A B C D图2-8-3(2)函数f(x)=|a x+b|(a>0,a≠1,b∈R)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是.图2-8-4探究点三利用指数函数的性质解决有关问题微点1比较指数式的大小例3 (1)[2018·凯里一中二模]已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b(2)[2018·杭州一中模拟]已知0<a<b<1,则()A.(1-a)1n>(1-a)bB.(1-a)b>(1-a)n 2C.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b[总结反思] 指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较.微点2 解简单的指数方程或不等式例4 (1)已知函数f (x )=a+14n+1的图像过点1,-310,若-16≤f (x )≤0,则实数x 的取值范围是 .(2)方程4x+|1-2x|=11的解为 .[总结反思] (1)af (x )=a g (x )⇔f (x )=g (x ).(2)a f (x )>a g (x ),当a>1时,等价于f (x )>g (x );当0<a<1时,等价于f (x )<g (x ).(3)有些含参指数不等式,需要分离变量,转化为求有关函数的最值问题.微点3 指数函数性质的综合问题例5 (1)[2018·遵义联考] 函数f (x )=a+n e n +1(a ,b ∈R)是奇函数,且图像经过点(ln3,12),则函数f (x )的值域为 ( )A .(-1,1)B .(-2,2)C .(-3,3)D .(-4,4)(2)已知f (x )=2n -n2n +1(a ∈R)的图像关于坐标原点对称,若存在x ∈[0,1],使不等式f (x )+2x -n2n +1<0成立,则实数b 的取值范围为 .[总结反思] 指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化. 应用演练1.【微点1】已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a2.【微点1】[2018·河南八市联考]设函数f(x)=x2-a与g(x)=a x(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=(1n)0.1的大小关系是()A.M=NB.M≤NC.M<ND.M>N3.【微点2】当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-2,1)4.【微点2】若关于x的方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,12)5.【微点3】已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式(1n )n+(1n)n-m≥0,x∈(-∞,1]恒成立,则实数m的取值范围为.第8讲指数与指数函数考试说明 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图像.(3)知道指数函数是一类重要的函数模型.【课前双基巩固】知识聚焦1.n 次方根奇数偶数没有意义根式根指数被开方数 a {n (n ≥0),-n (n <0)2.(1)0 没有意义 (2)a r+s a rs a r b r3.(0,+∞) (0,1) y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数减函数对点演练1.±3√5 [解析] 把x+x -1=3两边平方,可得x 2+x -2=7,则(x-x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以x-x -1=±√5,所以x 2-x -2=(x+x -1)(x-x -1)=±3√5.2.(-∞,2) [解析] 根据指数函数性质,得x-1<3-x ,解得x<2,所以x 的取值范围是(-∞,2).3.(1,3) [解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a 0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3). 4.② [解析] 对于②,∵1-x ∈R,∴y=(13)1-n的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).5.2√2 [解析] √(1+√2)33+√(1-√2)44=1+√2+|1-√2|=2√2.6.2 [解析] 由指数函数的定义可得{n 2-3=1,n >0,n ≠1,解得a=2.7.2或12 [解析] 若a>1,则f (x )max =f (1)=a=2;若0<a<1,则函数f (x )max =f (-1)=a -1=2,得a=12.8.{y|y>0且y ≠1} [解析] 函数的定义域为{x|x ≠1},因为1n -1≠0,所以y ≠1,又指数函数y=2x 的值域为(0,+∞),故所求函数的值域为{y|y>0且y ≠1}.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)直接利用指数幂的运算法则求解即可,解答过程中注意避免符号错误;(2)由已知平方得x+x -1的值,再平方可得x 2+x -2的值,最后代入求值. (1)π+8 (2)-12 [解析](1)823-(-78)0+√(3-n )44+[(-2)6]12=23×23-1+(π-3)+26×12=22-1+π-3+23=4+π-4+8=π+8.(2)由已知可得x+x -1=(n 12+n 12)2-2=3, 则x 2+x -2=(x+x -1)2-2=7, 故原式=7-63-5=-12. 变式题 (1)D(2)√55[解析] (1)原式=2n 13·12n 13+2n 13·n 43=1+2x.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以(√n -√n√n +√n )2=√nn n +n +2nn =√4=15.因为a>b>0,所以√n >√n ,所以√n -√n √n +√n =√55. 例2 [思路点拨] (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图像可知2a+2b=2,再分析2c的范围求解. (1)B (2)B [解析] (1)由题意得y=nn n |n |={n n ,n >0,-n n ,n <0.∵a>1,∴当x>0时,函数为增函数;当x<0时,函数为减函数.结合各选项可得B 满足题意.故选B . (2)画出函数f (x )的图像如图所示.不妨令a<b<c ,则1-2a=2b-1,则2a+2b=2. 结合图像可得4<c<5,故16<2c<32,∴18<2a +2b +2c <34.故选B .变式题 (1)A (2)(0,+∞) [解析] (1)由函数f (x )=(x-a )(x-b )的图像可得0<a<1,b<-1,故g (x )=a x+b 的大致图像为选项A 中的图像. (2)根据图像得a>1,f (12)=0,b<0,所以√n +b=0,所以a+b=a-√n >1-√1=0.例3 [思路点拨] (1)将a ,b 化为同底的指数式,利用指数函数y=2x的单调性比较a ,b 的大小,再估算c ,从而得a ,b ,c 的大小关系;(2)根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于0小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案. (1)A (2)D [解析] (1)因为a=0.5-2.1=22.1>20.5>1,所以a>b>1,又因为c=0.22.1<0.20=1,所以a>b>c ,故选A .(2)因为0<a<1,所以0<1-a<1,所以y=(1-a )x是减函数, 又因为0<b<1,所以1n>b ,b>n2,所以(1-a )1n<(1-a )b ,(1-a )b<(1-a )n2,所以A,B 均错误;又1<1+a<1+b ,所以(1+a )a <(1+b )a <(1+b )b,所以C 错误;对于D,(1-a )a>(1-a )b>(1-b )b,所以(1-a )a>(1-b )b,所以D 正确.故选D .例4 [思路点拨] (1)先确定a 的值,再结合指数函数的单调性求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)0≤x ≤12 (2)x=log 23 [解析] (1)由题意知f (1)=a+14+1=a+15=-310,则a=-12.因为-16≤f (x )≤0,所以-16≤14n+1-12≤0,所以13≤14n +1≤12,所以2≤4x +1≤3,所以1≤4x≤2,解得0≤x ≤12. (2)当x ≤0时,1-2x≥0, 原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=12+√412,此时x>0,故舍去.当x>0时,1-2x <0,原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log 23,即为原方程的解.例5 [思路点拨] (1)根据条件先确定a ,b 的值,再依据指数函数的单调性及值域确定函数f (x )的值域;(2)由函数f (x )为奇函数,确定a 的值,将不等式分离变量,转化成b>g (x )的形式,从而转化为考查函数g (x )的最小值问题.(1)A (2)b>2 [解析] (1)函数f (x )为奇函数,则f (0)=a+n2=0,①函数图像过点(ln3,12),则f (ln 3)=a+n 4=12.②结合①②可得a=1,b=-2,则f (x )=1-2e +1.因为e x>0,所以e x+1>1,所以0<2e +1<2,所以-1<1-2e +1<1, 即函数f (x )的值域为(-1,1).(2)由题意知f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0,得a=1,所以f (x )=2n -12n +1.设h (x )=2n -12n +1+2x-n2n +1=(2n )2+2n +1-1-n2n +1,由题设知h (x )<0在[0,1]内有解,即不等式(2x )2+2x+1-1-b<0在[0,1]内有解,即b>(2x )2+2x+1-1在[0,1]内有解.设g (x )=(2x )2+2x+1-1,x ∈[0,1],而函数y=2x ,y=2x+1在定义域内均单调递增,所以g (x )=(2x )2+2x+1-1在[0,1]上单调递增,所以g (x )min =g (0)=2,所以b>2. 应用演练1.A [解析] 因为函数f (x )=0.4x 在R 上为减函数,所以0.40.6<0.40.2<0.40=1, 又因为20.2>20=1,所以20.2>0.40.2>0.40.6,即a>b>c. 故选A .2.D [解析] 因为f (x )=x 2-a与g (x )=a x(a>1且a ≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=(1n)0.1<1,所以M>N ,故选D .3.A [解析] 由题意知当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m<2n4n =12n 恒成立, 当x ∈(-∞,-1]时,12n ∈[2,+∞), 则m 2-m<2,解得-1<m<2,故选A .4.D [解析] 方程|a x-1|=2a (a>0且a ≠1)有两个不等实根可转化为函数y=|a x-1|与y=2a 的图像有两个不同交点.当0<a<1时,两函数图像如图①,则0<2a<1,即0<a<12;当a>1时,两函数图像如图②,而y=2a>1,不符合题意.① ②故0<a<12.5.(-∞,56] [解析] 把A (1,6),B (3,24)代入f (x )=b ·a x,得{6=nn ,24=n ·n 3,结合a>0且a ≠1,解得{n =2,n =3,所以f (x )=3·2x.要使(12)n+(13)n≥m ,x ∈(-∞,1]恒成立,只需函数y=(12)n+(13)n在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y=(12)n +(13)n在(-∞,1]上为减函数, 所以当x=1时,y=(12)n+(13)n取得最小值56, 所以只需m ≤56即可, 即m 的取值范围为(-∞,56].【备选理由】例1为指数幂的运算,涉及换元运算和指数运算,技巧性较强;例2为分段函数与函数不等式结合问题,需要分区间处理,考查函数的单调性;例3为含参不等式,进一步熟悉分离变量以及转化与化归思想;例4考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒成立问题,要善于使用分离变量法求解. 例1 [配合例1使用] 已知n 23=2+√3,则n +n -1n 13+n 13的值为 .[答案] 3[解析] 设n 13=t ,则t 2=2+√3,则n +n -1n 3+n 3=n 3+1n 3n +1n=t 2+1n 2-1=2+√3+-1=3.例2 [配合例4使用] [2018·河南林州一中调研] 已知函数f (x )={2n -1,n >1,1,n ≤1,则不等式f (x )<f (2n )的解集是 .[答案] (0,√2)[解析] 当x ≥2时,2n ≤1,不等式无解;当1<x<2时,1<2n <2,结合函数的单调性,由不等式f (x )<f (2n )得x<2n ,得1<x<√2;当0<x ≤1时,2n ≥2,不等式恒成立;当x<0时,2n <0,不等式无解.综上可得,不等式f (x )<f (2n )的解集是(0,√2).例3 [配合例5使用] 若不等式1+2x+4x·a>0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数a 的取值范围是 . [答案] (-34,+∞)[解析] 从已知不等式中分离出实数a ,得a>-[(14)n+(12)n].∵函数y=(14)n 和y=(12)n 在R 上都是减函数,∴当x ∈(-∞,1]时,(14)n≥14,(12)n≥12, ∴(14)n+(12)n≥14+12=34,从而得-[(14)n+(12)n]≤-34.故实数a 的取值范围为a>-34.例4 [配合例5使用] 已知定义在R 上的函数f (x )=2x-12n . (1)若f (x )=32,求x 的值;(2)若2tf (2t )+mf (t )≥0对任意t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)由f (x )=32⇒2x-12n =32⇒2·(2x )2-3·2x-2=0⇒(2x-2)(2·2x+1)=0.∵2x>0,∴2x=2,∴x=1.(2)由2tf (2t )+mf (t )≥0⇒2t(22n -122n )+m (2n -12n )≥0⇒m (2t-2-t)≥-2t(22t-2-2t).又t ∈[1,2],∴2t-2-t>0,∴m ≥-2t(2t +2-t ),即m ≥-22t-1, 故只需m ≥(-22t-1)max .令y=-22t-1,t ∈[1,2],可得y max =-22-1=-5, 故m ≥-5.。

2019-2020年高三数学一轮复习课件：第8讲指数与指数函数

课堂考点探究
变式题 (1)在同一平面直角坐标系中,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与 y=(1-a)x 的图像可能是
()
图 2-8-2
(2)已知函数 y=
1 2��-4
��
的图像与指数函数
y=ax 的图像关于 y 轴对称,则实数 a 的值为
() A.1 B.2 C.4 D.8
[答案] (1)C (2)C
课堂考点探究
变式题 (1)计
算:
1 9
-3×27-23+3π0=
.
(2)已知 a,b 是方程 x2-6x+4=0 的两根,且
a>b>0,则
�� +
��
=
.
[答案] (1)84 (2) 5
5
[解析] (1) 原式
=(3-2)-3×(33)-23 +3=3-2×(-3)×33× (-23) +3=36×3-2+3=362+3=34+3=84.
(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以
�� - �� 2= ��+��-2 �� = 6-2 4 =1.
��+ �� +�� +2 �� 6+2 4 5
因为 a>b>0,所以
��>
教学参考
考情分析
考点
考查方向
指数幂的运算根式化简、指数幂运算
指数函数的图像指数函数图像的判断
考例

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1
第8讲指数与指数函数
课时达标
一、选择题

1．化简2c3a481a5b216c4(a＞0，c＜0)的结果为( )
A．±4ab2 B．－4ab2
C．－ab2 D.ab2

B 解析原式＝2c3a81a5b216c4 ＝2c3a34a5b224c4＝2c3a×3ab－2c＝－ab＝－4ab2.故选
B.
2．设a＝22.5，b＝2.50，c＝122.5，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>a>c

C 解析 b＝2.50＝1，c＝122.5＝2－2.5，则2－2.5<1<22.5，即c3．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )

B 解析 |f(x)|＝|2x－2|＝ 2x－2，x≥1，2－2x，x<1，易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是
x
＝1，且过点(1,0)，(0,1)，－1，32.

又|f(x)|≥0，所以B项正确．故选B.
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
C 解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以
f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f
(4)＝9.故选C.

5．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
2

B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数

B 解析由f(－x)＝13x－3x＝－f(x)知f(x)为奇函数，因为y＝13x在R上是减函数，

所以y＝－13x在R上是增函数，又y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－13x在R
上是增函数．故选B.
6．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－4,3)
C．(－1,2) D．(－3,4)

C 解析原不等式变形为m2－m<12x.因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，所

以12x≥12－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－1故选C.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是________．

解析因为f(x)＝a－x＝1ax，且f(－2)>f(－3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，

所以1a>1，解得0答案 (0,1)
8．已知a，b∈R，且a－2b＋6＝0，则2a＋14b的最小值为________．

解析由已知得2b＝a＋6，则2a＋14b＝2a＋122b＝2a＋12a·26≥2·126＝14.
答案 14
9．已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，fx1－fx2x1－x2>0，
则a的取值范围是________．
解析当0y＝ax单调递增，所以f(x)单调递减；当a＝2时，f(x)＝0；当a>2时，a－2>0，y＝a
x
单调

递增，所以f(x)单调递增．又由题意知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．
答案 (0,1)∪(2，＋∞)
三、解答题
3

10．化简：(1)a3b23ab2ab4ab(a>0，b>0)；
(2)－278 ＋(0.002) －10×(5－2)－1＋(2－3)0.
解析 (1)原式＝a3b2abab2ab＝a·b＝ab－1.
(2)原式＝－278＋1500－105－2＋1＝－827＋500－10×(5＋2)＋1＝49＋
105－105－20＋1＝－1679.
11．(2019·巴蜀中学月考)已知f(x)＝11＋4－x.
(1)求f(x)＋f(1－x)的值；
(2)求f11 001＋f21 001＋f31 001＋…＋f1 0001 001的值．

解析 (1)因为f(x)＝11＋4－x＝11＋2×4－x＝4x4x＋2＝4x＋2－24x＋2＝1－24x＋2，f(1－x)＝
11＋4－1－x＝11＋4x·＝2
4x＋2
，所以f(x)＋f(1－x)＝1.

(2)f11 001＋f21 001＋f31 001＋f41 001＋…＋f1 0001 001＝f11 001＋
f




1 000

1 001

＋f21001＋f9991 001＋…＋f5001 001＋f5011 001＝500.
12．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.

解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，

所以f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.

又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
4

又因为f(x)是奇函数，所以原不等式等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因
为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解得t＞1或t＜－13，

故原不等式的解集为tt>1或t<－13.
13．[选做题](2019·海口中学期中)定义一种运算：a⊗b＝ a，a≥b，b，a＜b，已知函数f(x)
＝2x⊗(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是( )

B 解析由题意可得f(x)＝2x(3－x)＝ 2x，x≥1，3－x，x＜1，所以f(x＋1)＝





2x＋1，x≥0，
2－x，x＜0，
则大致图象为B项．