1.数轴上的基本公式
高一数学 数轴上的基本公式
高一数学 数轴上的基本公式
教学目标：1、理解直线坐标系.
2、理解平移向量及其坐标
教学重点：1、理解直线坐标系.
2、理解平移向量及其坐标.
教学过程：
(一) 结合初中所学的知识引出几个基本概念
1、 直线坐标系
2、 位移向量
3、 相等的向量
4、 向量的坐标（数量）
5、 数轴上点的坐标与向量的坐标（数量）之间的区别与联系
6、 沙尔定理：设A 、B 、C 是同一直线上的三个点，那么不论它们的位置怎样，都有AB ＋BC ＝AC 的关系，
（推广：设A 、A ……A 是同一条直线上的几个点，那么不 论它们的位置如何都有：A 1A 2＋A 2A 3＋…＋A n-1A n ＝A 1A n 的关系）
7、 坐标轴上向量的坐标公式：12x x AB -=
8、 坐标轴上两点之间的距离公式：||),(12x x B A d -=
（二）例子
1、设线段AB 的中点为M ，点p 为直线AB 上任意一点，求证：
(1)PA+PB=2PM
2、A 、B 是数轴上两点，点B 的坐标是－1，且|AB|=2,则点A 的坐标是（ ）。
A ．－3或1
B ．－3
C ．1
D ．3或－3
3、设A 、B 、C 、D 是同一直线上四个不同点，证明：
课堂练习：教材第74页 练习A 、B
小结：（略）
课后作业：教材第79页 习题2-1A ：1、2。
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-,AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值X围是( D )(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故选D.3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA 和||=||-||同时成立的情况有( B )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.其中正确的序号是.解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错. 答案:①②③7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )(A)(B)(C)(D)b-a解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍.解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的X围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|<a无解,求a的X围.解:法一设f(x)=|x+1|+|x-3|,由数轴上的距离公式化简得f(x)=画出f(x)图象如图所示.(1)由于函数f(x)的最小值为4,所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.(2)由于f(x)min=4,故要使|x+1|+|x-3|<a无解,要满足a≤4.法二(1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,则要使|x+1|+|x-3|<a无解,只需满足a≤4即可.。
数轴上由动点引起的分类讨论问题(学生版)-中考数学难点突破
数轴上由动点引起的分类讨论问题【模型展示】数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。
动点问题虽然较难，但观察总结过这类题目考型后会发现其实总体来说就分为三类:一、数轴上点移动后的表示【总结归纳】在数轴中动点移动的问题之间就是行程问题解决；点移动的单位长度就是路程、每秒移动的单位长度就是速度(v)，和时间(t)的基本关系：s=vt(路程=速度×时间即点移动的单位长度=每秒移动的单位长度×时间)动点向右移动后表示的数=起点+每秒移动的单位长度×时间动点向左移动后表示的数=起点-每秒移动的单位长度×时间【总结归纳】点的移动问题方法：“三找”：(1)找起点；(2)找方向；(3)找长度二、两个点之间的距离数轴上的公式：设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，AB的中点为M。
则：1、距离公式：AB=|a-b|=|b-a|(或者：右边的数-左边的数)2、中点公式：点M表示的数为：(a+b)/2；3、移动公式：当点A向右移动m个单位，则A表示的数为：a+m；当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m.三、数轴上动点移动问题【总结归纳】点的移动问题就是将点的移动后表示与用绝对值表示两点之间的距离结合起来。
方法：(1)找起点；(2)找方向；(3)找长度(4)根据距离公式列方程动点问题解题步骤：1、审题，分清楚动点在不同的时间段处于怎样的状态(时间段、速度)；2、设未知数，列出等式(列方程)；3、解方程；4、检验：将求解结果与题意对照，把不符合题意的结果舍去，留下正确的答案。
结论：数轴的动点问题【题型演练】一、单选题1.如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为()A.87B.127C.87或165D.127或1652.如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的是()A.-7B.-2C.-3D.23.如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有()①小聪：若点P，Q相对而行，当t=2时，点P和点Q重合；②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当t=6时，点P和点Q重合；③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当t=2时，点P，Q之间的距离为8；④小俐：当t=4时，点P，Q之间的距离可能为6A.1个B.2个C.3个D.4个4.在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足MA=MB，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有()①当m=2时，b=4-a；②当m=5时，若a为奇数，且5<b≤8，则a=3或5；③若b=8，BM=3OM，则m=2；④当m=3，b=4时，将点B水平右移3个单位至点B1，再将点B1水平右移3个单位至点B2，以此类推，⋯且满足MA n=MB n，则数轴上与B2022对应的点A2022表示的数为-6064．A.1B.2C.3D.45.如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为-6．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动( )秒追上点Q．A.5B.6C.7D.86.如图，数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为-1，若将A，B，C三点表示的数进行混合运算(每个数只能用一次)，则可得到最大数为()A.9B.8C.6D.57.如图，已知A，B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t t>0秒，则下列结论中正确的有()①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3；③BP=2时，t=2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．A.①③④B.②③④C.②③D.②④8.如图，已知A，B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB=12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t(t>0)秒，则下列结论中正确的有()①B对应的数是-4；②点P到达点B时，t=6；③BP=2时，t=5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题9.如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是x A=-5和x B=6．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为t秒，当0<t≤11时，若原点O恰好是线段PQ的中点，则t的值是．10.数轴上A，B两点表示的数分别为-4，2，C是射线BA上的一个动点，以C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的B 处．(1)当点C是线段AB的中点时，线段AC=．(2)若B C=3AC，则点C表示的数是．11.如图，在数轴上点A表示a，点C表示c，且|a+20|+(c-30)2=0．动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，2AB-mBC的值不随时间t的变化而改变，则m的值是．12.已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．(1)若AB=18，点D与点A重合，DE=8，则EC=；(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE =32，则CDAB=．13.如图，数轴上有两点A,B，点C从原点O出发，以每秒1cm的速度在线段OA上运动，点D从点B出发，以每秒4cm的速度在线段OB上运动．在运动过程中满足OD=4AC，若点M为直线OA上一点，且AM-BM=OM，则ABOM的值为．三、解答题14.点A、B在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点．(1)当P、B两点之间的距离为1时，则点P表示的数为；(2)当点P将A、B两点之间的距离三等分时，则点P表示的数为；(3)现在点A以每秒2个单位长度、点B以每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒4个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P 所对应的数是多少？15.已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a，b，c，且|a+24|+|b+10|+(c-10)2=0，点O为原点．(1)请写出a=；b=；c=；(2)以AB为长，BO为宽，作出长方形EFGH，其中G与A重合，H与B重合(如图所示)，将这个长方形总绕着右边的端点在数轴上不断滚动(无滑动)，求出E点第3次落在数轴上对应的数字；(3)将(2)中的长方形EFGH，G与A重合，H与B重合时开始计时，该长方形以2个单位长度/秒向右移动，当H点与C点重合时停止运动，整个过程中速度保持不变．数轴上一动点P与长方形同时开始运动，从C点出发，沿数轴向左移动，速度为3个单位长度/秒，设它们的运动时间为t，求t为何值时，点P与点H之间的距离为5(即PH=5)．16.有A，B两点，在数轴上分别表示实数a、b，若a的绝对值是b的绝对值的4倍，且A，B两点的距离是15个单位，(1)探讨a、b的值.①A，B两点都在原点的左侧时，a=，b=；②若规定A在原点的左侧、B在原点的右侧，a=，b=；(2)数轴上现有两个动点P、Q，动点P从A点出发向B点运动，每秒2个单位；动点Q从B点出发向A点运动，每秒1个单位，两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止，经过t秒后P、Q两点相距3个单位，求此时t的值.17.在数轴上有A，B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当b≥0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当b<0时，将点A向左移动b 个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．如图，点A表示的数为-1．(1)在图中画出当b=4时，点A关于点B的“联动点”P；(2)点A从数轴上表示-1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．①点B表示的数为(用含t的式子表示)；②是否存在t，使得此时点A关于点B的“联动点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．18.在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为4，点C到点B的距离为9，如图所示，设点A、B、C所对应的数的和是m．(1)若以A为原点，则m=；若以B为原点，则m=．(2)若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为6，求m的值．(3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点C移动，动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，t秒后M，N两点间距离是2，则t=秒(直接写出答案)．19.已知a+1=0，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b；+b-5(1)求a、b的值，并在数轴上标出点A和点B；(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P与点B的距离是3个单位长度；(3)在(2)的条件下，动点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发向数轴正方向运动，求几秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度．20.如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题:(1)如果点A表示数-4，将点A向右移动3个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；(2)如果点A表示数-2，将A点向右移动188个单位长度，再向左移动266个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的距离是．(3)一般地，如果A点表示的数为a，将A点向右移动b个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的距离是．(4)在(1)的条件下，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t妙(t>0)，当t为何值时，P、A两点之间的距离为9个单位长度？21.在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足a+5=0．+b-7(1)求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离．(2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？(3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？22.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26,-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：P A=，PC=；(2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止．①求当t为何值时Q点追上P点？②当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离．23.已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、-6表示，P是数轴上的一个动点.(1)数轴上A、B两点的距离为；(2)当P点满足P A=2PB时，求P点表示的数；(3)将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从点向右跳2个单位到k，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4.①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是10，则k0的值是多少？②若如此跳了1001步，棋子落在数轴上的点k1001，如果k1001所表小的数是2020，那么k0所表示的数是(请直接写答案).24.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-2、5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A、点B的距离相等，直接写出点P对应的数是；(2)若点P到点A、点B的距离之和为8．请直接写出x的值为；(3)现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点A与点B之间的距离为5个单位长度时，求点P所对应的数是多少？25.数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．(1)例图，数轴上点A，B，C三点所表示的数分别为1，3，4，点B到点A的距离AB=，点B到点C的距离BC=，因为AB是BC的两倍，所以称点B是点A，C的“关联点”；(2)若点A表示数-2，点B表示数1，下列各数-1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是；(3)点A表示数m-2，点B表示数为m+1，P是数轴上一个动点；若点P从点B出发向数轴的正方向运动，速度是每秒1个单位长度，问：当时间t为多少秒时，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，并写出此时点P表示的数．26.如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为-4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t大于0)秒．(1)点C表示的数是．(2)求当t等于多少秒时，点P到达点A处？(3)t=3时，点P表示的数是．(4)求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．27.在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．(1)点B表示的数是．(2)动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？(3)在(2)的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？28.数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别为-3，12．(1)线段AB的长为；AB，求点C表示的数；(2)若AC=13(3)在(2)的条件下点P，Q是该数轴上沿正方向同时出发的两个动点，点P以每秒3个单位长度的速度从点C出发，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，设运动时间为t秒．①请用含t的式子表示点P运动t秒后，到达位置上表示的数；②当P，Q两点到点B的距离相等时，求t的值．29.已知a是最小的正整数，b是-7的相反数，c=--2，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数，动点P从点A出发沿数轴正方向匀速运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向匀速运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t秒．(1)a=，b=，c=；(2)当t=1时，线段PQ长为；(3)若P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向匀速运动，速度为每秒4个单位长度．再运动几秒，M能追上P？再运动几秒，M能追上Q？30.已知多项式(a+10)x3+20x2-5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．(1)a=，b=，线段AB=；(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB的中点，求MC的长；(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒(t<30)，点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．31.如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3．(1)点P为数轴上一动点，其对应的数为x．①若点P到点A、点B的距离相等，则x=；②若点P到点A、点B的距离之和为10，则x=；(2)若将数轴折叠，使-1与3表示的点重合．①则-3表示的点与数表示的点重合；②若数轴上M、N两点之间的距离为2022，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数．32.如图，数轴上有三点A，B，C，表示的数分别是-4，-2，3，请回答：(1)若使C，B两点的距离等于A，B两点的距离，即CB=AB，则需将点C向左移动个单位长度；(2)点P是数轴上的一个动点，其表示的数为x，则x+4+x-3的最小值是．(3)若有两只小青蛙M，N，它们在数轴上的点表示的数分别为m，n，满足m+4+m-3=9且n+4+n+2+n-3的值最小，求两只小青蛙M，N之间的距离．(4)点P，Q，R同时分别从A，B，C出发，点P以每秒5个单位长度向数轴正方向运动，点Q以每秒4个单位长度向数轴正方向运动，点R以每秒2个单位长度向数轴负方向运动，当PQ+PR=8时，点R对应的数是．·11·。
数学新学案同步 必修2 人教B版(鲁京辽)：第二章 平面解析几何初步 2.1.1
向量的长度
(3)相等的向量
数轴上同向且等长 的向量叫做相等的向量.
知识点三
数轴上的基本公式
在数轴上，如果点 A 作一次位移到点 B，接着由点 B 再作一次 → → → → → 位移的和 位移到点 C， 则位移AC叫做位移AB与位移BC的和， 记作AC＝AB → ＋BC
向量坐标
运算法则 向量坐标
AC＝AB＋BC 对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系_____________
|AB|＝ 已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，则AB＝ x2－x1 ，d(A，B)＝______ 表示及距 |x2－x1| _______ 离公式
题型探究
类型一 数轴上的点与实数的对应关系
例1 (1)如果点P(x)位于点M(－2)，点N(3)之间，求x的取值范围；
解 由题意可知，点M(;－5，
解得a>10或a<0.
解答
(3)两点间的距离小于3. 解 根据题意得|a－5|<3，即－3<a－5<3，
解得2<a<8.
解答
反思与感悟
一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应
点到原点的距离.
跟踪训练 3
d(M，P). 解
实数x
实数x的大小 等于点P到原点的距离
0
距离
依据这个法则，实数集和数轴上的点之间建立了 一一对应 关系.
(3)数轴上点P的坐标
如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x).
知识点二
数轴上的向量及有关概念
思考1 在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？ 答案 它们都是既有大小，又有方向的量.
综上所述，A、B两点重合或点A位于点B右侧.
学案1：2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式学习目标1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系及实数运算在数轴上的几何意义.(重点)2.理解向量及其相等的概念.(重点)3.掌握数轴上向量加法的坐标运算及数轴上两点间的距离公式.(重点)4.数轴上向量坐标与其长度之间的区别与联系.(难点)基础·初探教材整理1数轴及向量概念1.一条给出了、和的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了________.2.向量的概念(1)向量：位移是一个既有又有的量，通常叫做位移向量，简称为向量.(2)相等向量：数轴上且的向量，叫做相等向量.(3)向量的坐标用表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量.预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数轴上的点与实数之间是一一对应的关系.()(2)相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等.()(3)数轴上右边点的坐标大于左边点的坐标.()教材整理2数轴上的基本公式2.在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，解下列方程：(1)|x＋3|＋|x－1|＝5；(2)|x＋3|＋|x－1|＝4.合作学习类型1 数轴上的点与实数间的关系例1 (1)若点P (x )位于点M (－2)，N (3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A (a )，B (b )的位置关系.名师指导数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.跟踪训练1.不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系：(1)A (－3.2)，B (－2.3)；(2)A (m )，B (m 2＋1)；(3)A (|a |)，B (a ).类型2 向量的相关概念辨析例2 已知AB ＝3，CD ＝－2，则下列说法不正确的是( )A.AB →>CD →B.|AB |>|CD |C.AB ＝3表示数轴上的向量AB →的坐标为3，CD ＝－2表示数轴上的向量CD →的坐标为－2D.AB ＝3表示数轴上的向量AB →的方向与数轴的方向相同；CD ＝－2表示数轴上的向量CD →的方向与数轴的方向相反名师指津1.向量和数量的区别(1)在数学中，既有大小，又有方向的量称为向量.而只有大小，没有方向的量称为数量.(2)向量的两要素是大小、方向.其中大小是代数特征，方向是几何特征，因此向量不能像实数那样比较大小，因为方向没有大小之分.2.向量的几何表示由于几何中的有向线段具有长度和方向，而向量是一种既有大小又有方向的量，因此向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，如向量AB →，A 叫做AB →的起点，B 叫做AB →的终点.跟踪训练2.如图，AB →是数轴上的一个向量，O 为原点，则下列各式中不成立的是( )A.OA ＝|OA →|B.OB ＝|OB →|C.AB ＝OB －OAD.BA ＝OA －OB探究共研型探究点 数轴上两点的距离探究1 如果两点的位置不确定，如何求其距离？探究2 向量的长度及数量的区别与联系.例3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN |＝5，|NP |＝2，求d (M ，P ).名师指津1.解答本类问题时，如果两点的相对位置不确定，一定要注意分类讨论.2.要明确向量的长度及数量的区别与联系，注意|AB |＝d (A ，B )＝|x B －x A |，AB ＝x B －x A . 跟踪训练3.已知数轴上点A 、B 、C 的坐标分别为－1、3、5，求向量AB →、BA →、BC →的坐标及A 、C 两点的距离.课堂检测1.下列各组点中，点C 位于点D 的右侧的是( )A.C (－3)和D (－4)B.C (3)和D (4)C.C (－4)和D (3)D.C (－4)和D (－3)2.下列说法正确的是( )A.点M (x )位于点N (2x )的左侧B.数轴上等长的向量是相等的向量C.向量A B →在数轴上的坐标AB ＝－BAD.数轴是有方向的直线3.若在直线坐标系中，有两点A (6)，B (－9)，且AB ＋BC ＝2 014，则点C 的坐标为________.4.在数轴上从点A (－3)引一线段到B (4)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为________.5.在数轴上求一点P ，使它到点A (－9)的距离是它到点B (－3)的距离的2倍.参考答案基础·初探教材整理1 数轴及向量概念1.原点 度量单位 正方向 直线坐标系2.(1)大小 方向(2)同向 等长(3)实数预习自测1.【答案】 (1)√ (2)√ (3)√教材整理2 数轴上的基本公式AC ＝AB ＋BC x 2－x 1 |x 2－x 1|预习自测2.解：(1)∵|x ＋3|＋|x －1|表示数轴上点到A (－3)与B (1)的距离之和，而A (－3)到B (1)的距离为|1－(－3)|＝4，又∵|x ＋3|＋|x －1|＝5，∴x ＝－3.5或x ＝1.5.∴方程的解为x ＝－3.5或x ＝1.5.(2)∵|x ＋3|＋|x －1|表示数轴上点到A (－3)与B (1)的距离之和，而A (－3)到B (1)的距离为 |1－(－3)|＝4，又∵|x ＋3|＋|x －1|＝4，∴－3≤x ≤1，∴方程的解集为{}x |－3≤x ≤1.合作学习类型1 数轴上的点与实数间的关系例1 【解析】 两点的相对位置关系由两点坐标的大小决定，可在草稿纸上画出数轴帮助理解.解：(1)由题意可知，点M (－2)位于点N (3)的左侧，且点P (x )位于点M (－2)，N (3)之间，所以－2<x <3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a ，b 的大小关系：当a >b 时，点A (a )位于点B (b )的右侧；当a <b 时，点A (a )位于点B (b )的左侧；当a ＝b 时，点A (a )与点B (b )重合. 跟踪训练1.解：(1)因为－2.3>－3.2，所以A (－3.2)位于B (－2.3)的左侧.(2)因为m 2＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫m －122＋34≥34>0， 所以m 2＋1>m ，所以B (m 2＋1)位于A (m )的右侧.(3)当a ≥0时，|a |＝a ，则A (|a |)和B (a )为同一个点.当a <0时，|a |>a ，则A (|a |)位于B (a )的右侧.类型2 向量的相关概念辨析例2 【答案】 A【解析】 准确把握数学概念是利用数学概念解决问题的关键.在题目中“AB ”，“CD ”反映的是数轴上的向量“AB →”，“CD →”的大小和方向，“|AB |”，“|CD |”反映的是数轴上向量“AB →”，“CD →”的大小.∵向量不能比较大小，∴A 选项错误；同时由向量的相关概念知，B 、C 、D 都正确.故选A. 跟踪训练2. 【答案】 B【解析】 由于点A 在原点的右侧，点B 在原点的左侧，可知点A 表示的数x 1比点B 表示的数x 2大，即OA ＝x 1>0，OB ＝x 2<0，所以OA ＝|OA →|＝|x 1|＝x 1，OB ＝x 2≠|OB →|＝|x 2|＝－x 2，AB ＝x 2－x 1＝OB －OA ，BA ＝x 1－x 2＝OA －OB .故B 不成立.探究共研型探究点 数轴上两点的距离探究1 【答案】 分类讨论.探究2 【答案】 |AB |＝d (A ，B )＝|x B －x A |，AB ＝x B －x A .例3 【解析】 先由已知条件确定M 、N 、P 的位置，注意情况是否唯一，若不唯一，尝试分类讨论.解：∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN |＝5，|NP |＝2，(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，d (M ，P )＝|MN |－|NP |＝5－2＝3.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)，d (M ，P )＝|MN |＋|NP |＝5＋2＝7.综上所述：d (M ，P )＝3或d (M ，P )＝7.跟踪训练3.解：向量AB →的坐标AB ＝3－(－1)＝4，向量BA →的坐标BA ＝－AB ＝－4，向量BC →的坐标BC ＝5－3＝2.A 、C 两点的距离d (A ，C )＝|AC |＝|5－(－1)|＝6.课堂检测1. 【答案】 A【解析】 由数轴上点的坐标可知A 正确.2. 【答案】 C【解析】 逐个判断可知.3. 【答案】 2 020【解析】设C点的坐标为x，则－9－6＋x＋9＝2 014，解得x＝2 020.4. 【答案】11【解析】∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，∴x＝11.5.解：设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5.所以P(3)或P(－5).。
数轴上两点距离公式(绝对值几何意义),中点公式
数轴上两点距离公式(绝对值几何意义)，中点公式掌握数轴的基本概念后，已知数轴上两点的具体数值时，我们可以利用数轴算出两点间距离，以及中点表示的数值。
但是如果给的是字母（大小关系不确定），那么就需要严格按照定义或公式来描述。
(一)数轴上两点之间的距离公式在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：AB=|a-b|=|b-a| （差的绝对值）在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。
反过来看，这就是绝对值的几何意义(|a-b|代表点A与点B的距离，|a|代表点A到原点的距离)，我们也可以利用这个几何意义来解一些绝对值方程。
例题1：数轴上A，B两点的距离是15，点A表示的数是5-x，点B代表的数是5+x，则数x对应的点到原点的距离是多少。
根据距离公式，两点距离AB = |5+x-(5-x)| = |2x| = 15所以|x|=7.5，即数x对应的点到原点的距离是7.5。
(注意此处不用解出x的具体值，直接根据绝对值的几何意义就可以得出答案)例题2：解方程|x|=15根据|x|的几何意义，在数轴上表示与原点距离是5的点，易知有两个点15与-15。
所以方程的解是x=15或x=-15。
例题3：解方程|x-3|=15根据|x-3|的几何意义，在数轴上表示与点(3)距离是15的点，易知有两个点18与-12。
所以方程的解是x=18或x=-12。
(二)数轴上两点的中点公式中点表示的数值：(a+b)/2简单证明:如图，设A>B，P点是AB的中点对应的数是x。
则PB的距离是x-b；则PA的距离是a-x；根据P是中点所以PB=PA。
即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2当A<B时，也可以得到x=(a+b)/2；A=B时也成立。
所以无论a，b为何值这个中点公式都成立，非常方便(不用分情况讨论)。
我们还可以把它变形成：a + (b-a)/2(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2这个变形公式可以清晰的看出中点和A点（x与a）的关系。
2.1平面直角坐标系中的基本公式
+ 2
x2
y
0
=
y1 + y2 2
x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2
y3
3
y
B( x 2,y 2)
A( x 1,y 1)
M(x ,y) x
O
C( x 3,y 3)
典例剖析：
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
变式:已知□的三个顶点(－3，0)，
1
A(0, 1)
-1
12
x
O P(x, 0)
-1
A'(0, -1)
例4.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条
对角线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴
建立直角坐标系。 y 则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
第D一(b步,c):建立C(坐a+b,c) 标系，用坐标表 示有关的量。
令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)， 则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使 得|PA|+|PB|取最小值.
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)，
∵ (|P A | |P B |)m in |A 'B |1 3
即函数y= x21 x24x8
的最小值为 1 3
2y
B(2, 2)
|A C |2 |B D |2 2 (a 2 b 2 c 2 ) |A B |2 |C D |2 |A D |2 |B C |2 |运A 第C 算三|结2 步 果:|把翻B D 代译|数2 成
因此，平行四边形四条边的平方和等于几两何条关对系角。线
平面直角坐标系中的基本公式
2.1平面直角坐标系中的基本公式（预习案25分钟）一、使用说明及学法指导：预习课本65-70 页，用25分钟完成本学案 二、基础知识1、数轴上的基本公式1）数轴：一条给出了_________，________和___________的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了______________.2）向量：位移是一个既有_______又有________的量，通常叫做 ， 简称为________。
从点A 到点B 的向量记作 。
3）向量的有关概念： （1）线段AB 的长叫做AB 的 ，记作 。
（2）数轴上 且 的向量叫做相等向量。
（3）设数轴上两点A(1X )，B(2X )，则向量AB 的坐标（或数量）AB= （4）对数轴上任意三点A,B,C 都具有关系AB+BC= . (5)设数轴上两点A(1X ),B(2X ),d(A,B)= .(6)已知数轴上两点A(1X ),B(2X ),则线段AB 的中点M 的坐标为 。
2、平面直角坐标系中的基本公式（1）平面上两点A(),(),,2211y x B y x 间的距离公式d(A,B)= ； 当AB 平行于x 轴时，d(A,B)= ； 当AB 平行于y 轴时，d(A,B)= 。
（2）A(),(),,2211y x B y x 则线段AB 的中点坐标为 。
三、 预习自测1. 下列点P 位于点Q 右侧的一组是（ ）A P(-3) Q(0)B P(-3) Q(-π)C P(22) Q(3)D P(-1) Q(2) 2. 若A,B,C,D 是数轴上的四个点，且BA=6, BC=-2， CD=6, 则AD=( ) A 0 B -2 C 10 D -103. 已知A(-3, 5)，B(2, 15) 则d(AB)=( ) A 25 B 135 C 175 D 554. 求下列各式中x 的范围:（1）3<x（2）21>-x（3）231=-+-x x（4）231>-+-x x5. 已知A(3, 4)，B(-3, 2),则AB 中点坐标为___________6. 求下列各点关于坐标原点的中心对称点 （1） (2, 3) （2）（-3， 5） （3）（a, b ）2.1平面直角坐标系中的基本公式(探究案) 探究目标：建立实数与数轴上的点或位移的对应关系，了解向量的有关概念。
数轴上的基本公式
1.直线坐标系
2.位移向量
3.相等的向量
4.向量的坐标（数量）
5.数轴上点的坐标与向量的坐标（数量）之间的区别与联系
6.坐标轴上向量 的坐标公式：
坐标轴上两点之间的距离公式：
二、课内探究
[例1]数轴上A，B两点的坐标分别为 ＝a＋b， ＝a－b，分别求AB、BA、d(A，B)、d(B，A)
A．－3B．5
C．－3或7D．－3或－7
3.到点A(-9)的距离是它到点B（-3）的距离的2倍，则该点的坐标是
。
4.根据条件，在数轴上分别画出P（x）：
（1）
（2）
（3）
规律总结
2.1.1数轴上的基本公式
【使用说明及学法指导】
1.先精读一遍教材，用红色笔勾画；再针对导学案问题导学部分阅读并回答，时间不超过15分钟；
2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范；3.找出自己的疑惑点；
4.必须记住的内容：
【学习目标】
1.理解直线坐标系
2.理解平移向量及其坐标
【重难点】
理解直线坐标系，理解平移向量及其坐标
5.在数轴上画出对应代数式 （ ）的值的所有点。
6.位于下列条件的点P（x）,位于数轴上何处？Biblioteka （1） (2)三、课后巩固
1．A、B是数轴上两点，B点的坐标 ＝－6，且BA＝－4，那么点A的坐标为()
A．－10B．－2
C．－10或－2D．10
2．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2)，则另一个端点B的坐标是()
(3)数轴上A(－2)和B(x)，又M(3)是线段AB的中点，则x＝__________.
3.在数轴上画出点M（2），找出与点M的距离是3的两点A,B,并写出它们的坐标。