北师版七年级数学下册专训2 三角形的三种重要线段的应用

合集下载

专题4.1认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.1 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC. 特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明：（1）三角形的角平分线是线段； ⇔21⇔21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有∠ABD ，∠ABC ，以AD 为边的三角形有∠ADE ，∠ADC ，再以DE 为边三角形有∠DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD 为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD 边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD 为边的三角形有：∠BDC ，∠BDO ，以∠1为内角的三角形有：∠EOC ，∠ACD ．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC 的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c 的关系，进而判断ABC ．解：∠22()()0a b b c -+-=，∠0a b -=，0b c -=∠a =b =c ，∠ ABC ∆是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）∠ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝∠B ；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∠∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，∠A ＋∠C ＋∠B ＝180°，∠∠C ＝∠B ＝75°，∠满足条件的三角形是锐角三角形．(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3，∠可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∠满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm 、8cm 、4cm ；（2）5cm 、6cm 、11cm ；（3）5cm 、6cm 、10cm ；【答案】（1）不能，因为3cm ＋4cm ＜8cm ；（2）不能，因为5cm ＋6cm ＝11cm ；（3）能，因为5cm ＋6cm ＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a ，b ，c 能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可．解：三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知b a c b c -<<+，∠三条线段a ，b ，c 能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明b a c b c -<<+是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a ．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为整数，当a 为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) 212a << (2)当11a =时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知7575a -<<+，即212a <<，∠a 的取值范围是212a <<；（2）解：由（1）知，a 的取值范围是212a <<，a 是整数，∠当11a =时，三角形的周长最大，此时周长为：571123++=，∠周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三：【变式】已知：ABC 中，5AB =，21BC a =+，12AC =，求a 的范围．【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∠AB BC AC 、、是ABC 的三边，∠AC AB BC AC AB -<<+，即：a -<+<+12521125，解得：38a <<，故答案为：38a <<．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 均在小正方形的顶点上．(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ；(2) 直接写出ABC 的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)8【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：AD 即为所求；1【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ，直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求；（2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，,AD AE 分别是ABC 的中线和高，3cm AE =，26cm ABD S =△．求BC 和DC 的长．【答案】8cm BC =，4cm CD =ABD S =是ABC 的中线，得到解：由题意，得：BD AE ⋅4cm ，是ABC 的中线，12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD BE ，分别是ABC 的高，若465AD BC AC ===，，，求BE 的长．2ABC S =分别是ABC 的高，1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===，，，462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．7．如图，在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=，，边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ==，【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC >，①当7050AC CD AB BD +=+=，时，470x x +=，解得：14x =，441456AC x ∴==⨯=，14BD CD ==，50501436AB BD ∴=-=-=，36AB ∴=，36286456BC AB AC +=+=>=，满足三边关系，5636AC AB ∴==，；②当5070AC CD AB BD +=+=，时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ∴==，70701060AB BD =-=-=，60AC BC AB +==，不满足三角形三边关系，所以舍去，5636AC AB ∴==，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．举一反三：【变式】如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==，15cm BC =，90BAC ∠=︒．试求：(1) ABE 的面积；(2) AD 的长度；(3) ACE △与ABE 的周长的差．2ACE △的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，2191254(cm )2ABC =⨯⨯，AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=，ABE ACE S S ∆∆∴=，2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=；）解：BAC ∠=，AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=）解：AE 是BC BE CE =，ACE 的周长－ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．(1) 当t =___________时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2) 当t =___________时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3) 当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时，12cmBC+=速度即可求解；）根据中线的性质可知，点把ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即）分两种情况：∠P在AC1）ABC中，∠8cmAC，6cmBC，10cmAB，∠ABC的周长861024cm=++=，∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时212t=，解得6t=．故答案为：6；）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时213t=，解得 6.5t=．故答案为：6.5；）分两种情况：∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=，24t=，t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半，∠P为AB中点，213t=， 6.5．故t为2或6.5秒时，BCP的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分【变式】已知ABC的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线，如图1，则1ACM 的面积为（用含S 的式子表示，下同）；2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线，如图2，则2ACM △的面积为；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，则3ACM △的面积为；…… ）中的求解可得规律，利用规律即可求解．是ABC 的边上的中线，ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==； 2CM 是1ACM 的边AM 2， 12111244ACM ACM ABC S S S S ===；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，231128ACM ACM S S S ==，故答案为：12S ，14S ，1）解：∠112ACM SS =，211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==，以此类推，可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为：202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9．如图，CE 是ABC 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知64AFE ∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线，12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质，【变式】如图，点E 为直线AB 上一点，B ACB ∠=∠，BC 平分ACD ∠，求证：AB CD ．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：BC 平分ACD ∠，ACB BCD ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，B BCD ∴∠=∠，∠AB CD ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，ABC 中，按要求画图：(1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ；(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．【分析】（1）画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，中线AE 即为所求；（3）过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ，CF 即为ABC 中AB 边上的高．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：'''；(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少？(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可；）根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C）正方形的边长为，根据图形进行求解即可．'''如图所示：解：（1）ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C（2）∠正方形的边长为1，9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）∠∠∠；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是∠∠∠三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：∠三角形木架的形状______，说明三角形具有______；∠四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠是三角形，稳定性；∠四边形，稳定性．【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可；∠根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；∠四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。

2024年北师大版七年级下册数学期末提分复习第11招等腰三角形“三线合一”解题的六种技巧

AC，D为BC的中点.
(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试
判断△DEF的形状，并说明理由.
分类训练
【解】(1)△DEF为等腰直角三角形.
理由：连接AD，易说明△BDE≌△ADF，
所以DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
因为AB＝AC，D为BC的中点，
所以AD⊥BC.所以∠ADB＝90°.
AB的中点，∠B＝50°，求∠ACD的度数.
【解】因为CA＝CB，∠B＝50°，所以∠A＝∠B＝50°.
所以∠ACB＝180°－50°－50°＝80°.
又因为D是AB的中点，即CD是底边AB上的中线，
所以CD平分∠ACB.

所以∠ACD＝ ∠ACB＝40°.

分类训练
利用“三线合一”求线段长
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.
过程.
典例剖析
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.试说明：

∠DBC＝ ∠BAC.
等腰三角形“三线合一”的性质是说明
线段或角的倍分关系、相等关系常用的性质之
一，如解答含等腰三角形的题型时，常常要考
虑构造等腰三角形“三线合一”的基本图形来
进行解答.本例通过作垂线，根据等腰三角形
“三线合一”的性质说明角的倍分关系.
所以∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝
∠ADB＝90°.
所以△DEF为等腰直角三角形.
分类训练
(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍
有BE＝AF，请判断△DEF是否仍是(1)中的形状(不必说
明理由).
【解】△DEF仍是等腰直角三角形.

七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结

七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇：七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

北师大版七年级数学下册《三角形》专题(三角形综合复习训练)教学案

三角形单元复习★知识目标清单◆三角形中的重要线段1、一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫。

2、三角形的中线：三角形的顶点与对边中点所成的线段；3、从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，之间的线段叫做三角形的高。

◆三角形的性质：1、三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2、三角关系：三角形内角和为180 。

一个外角等于和它不相邻两内角之和。

推论：直角三角形两锐角互余。

◆三角形的分类1、三角形按角可分为：三角形、三角形和三角形；2、三角形按边可分为：三角形和三角形；◆全等三角形的性质与判定：1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线、高、对应角的平分线也相等；全等三角形的面积相等；2、全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）★方法归纳1、可通过三角形全等证明：（1）角相等；（2）线段相等；2、注意对常见全等模型的识记与运用；3、数形结合思想；分类讨论思想；方程思想；截长补短法，倍长中线法；★易错点归纳1、三角形的高、中线、角平分线都是某两点之间的线段，而不是射线或直线。

2、全等三角形的判定方法没有“AAA ”、“SSA ”3、全等三角形的对应顶点写在对应位置；★ 考点及典例解析◆ 考点一：三角形的基本概念及其性质【例1】已知三角形的一个外角等于和它相邻的内角的2倍，且等于和它不相邻的一个内角的4倍，那么这个三角形是（）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、以上三种都有可能【例2】已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，化简=---+-c b a c b a ；【例3】有木条五根，分别为cm 12，cm 10，cm 8，cm 6，cm 4任取三根能组成三角形的概率是（） A 、107 B 、53 C 、97 D 、32【例4】如图：在ABC ∆中，6:5:4::=∠∠∠C B A ，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 交于点H ；求BHC ∠的度数；◎ 变式议练一1、已知ABC ∆的两边长分别为cm a 10=，cm b 6=，则第三边c 的取值范围是；2、在下列条件中：①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠， ④12A B C ∠=∠=∠中，能确定ABC ∆是直角三角形的条件有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，FD BC ⊥，DE AB ⊥，F ABCDEDCBA153AFD ∠=︒，则_____EDF ∠=；4、如图：已知40B ∠=︒，59C ∠=︒，47DEC ∠=︒，求F ∠的度数。

北师版七年级数学下册(课时训练)4.1.3三角形的重要线段

第四章三角形4.1认识三角形4.1.3三角形的重要线段1、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做2、在三角形中，的线段，叫做这个三角形的中线。

3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，之间的线段叫做三角形的高。

4、（1）如图1，D 为S △ABC 的变BC 边的中点，若S △ADC =15, 那么S △ABC =(2)如图2，已知AD 、BE 分别是△ABC 中BC 、AC 边上的高，若0070,120,2C ∠=∠=∠=那么D C B A 21E D C B A图1 图2 5、如图在△ABC 中，BD 平分00,66,24,ABC C ABD A ∠∠=∠=∠那么=6、在⊿ABC 中，AB=AC ，周长为16cm ，AD 为BC 边上的中线，且BD=3cm ，求AB.解：∵AD 为BC 边上的中线，且BD=3cm （）∴BC=2 = cm （中点性质）又∵AB=AC ，周长为16cm （已知）∴AB+AC+BC=∴ AB=16- = AB=7、如图1在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠(1)试探究,EAD C B ∠∠∠与的关系；（2）若F 是AE 上一动点①若F 移动到AE 之间的位置时，FD ⊥BD ，如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与与的关系如何？②当F 继续移动到AE 延长线上时，如图3所示FD ⊥BC ，①中的结论是否还成立，如果成立说明理由，如果不成立，写出新的结论。

D CB A 图1E DC B A F 图3ED CB A。

北师大版七年级数学下册第四章《三角形》期末复习专题训练(一线三等角模型的应用)

七年级数学下册第四章《三角形》专题训练（一线三等角模型的应用）类型一：三等角为直角 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C任作一直线PQ,过点A作AM⊥PQ于点M,过点B作BN⊥PQ于点N, （1）如图1，当直线MN在△ABC的外部时，求证：MN=AM+BN；（2）如图2，当直线MN在△ABC的内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请指出MN与AM、BN之间的数量关系并说明理由．

2.乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来一下吧！如图，点C是直线l1上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC任意放置，其中直角顶点C与点C重合，过点 B作直线l2l1,垂足为N,过点A作直线l3

l1,垂足为M.

（1）当直线l2 ，l3位于点C的两侧时，如图1，判断线段BN,AM与MN之间的数量关系（不必说明理由）；（2）当直线l2,l3位于点C的右侧时,如图2,判断线段BN,AM与MN之间的数量系,并说明理由. （3)当直线l2,l3位于点C的左侧时,如图3,请你补全图形,并直接写出线段BN,AM， MN之间的数量关系.

（1）（2）（3）

类型二：三等角为任意角 3.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠C=∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于E.

(1)当∠BDA=115°时，∠EDC= ，∠DEC= ; (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE,请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。

L3L

L1M

40°40°

40°

A4.如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=. （1）若直线CD经过∠BCA内部，且E,F在射线CD上. ①如图1，若∠BCA=90°，=90°，则BE CF;CE AF ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； ⑵如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想。

北师版七年级下册数学第5章素养集训2.线段垂直平分线应用的四种常见题型习题课件

【答案】 B
素养集训 5．【教材P125习题T3变式】如图，某城市规划局为了方便
居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
素养集训【点拨】解决作图选点类问题，若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找．
素养集训
2．【中考·长沙】如图，B为圆心，大于 12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( B )
A．20° B．30° C．45° D．60°
素养集训 3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平
素养集训
4．【2021·河北】如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( ) A．0 B．5 C．6 D．7
素养集训
【点拨】如图，连接OP1，OP2，P1P2，因为点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，所以OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8， OP1＋OP2≥P1P2，所以0＜P1P2≤5.6.
解：如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE， GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．
素养集训 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于
点N，交BC的延长线于点M. (1)若∠A＝40°，求∠NMB的度数．解：因为在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝40°，所以∠ABC＝∠ACB＝70°. 因为AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点 M，所以MN⊥AB. 所以∠NMB＝90°－∠ABC＝20°.

北师大版七年级数学下册知识点归纳

数学七年级下册第一章：整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法整幂的乘方积的乘方式幂运算同底数幂的除法的零指数幂运负指数幂整式的加减算单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是 1 或― 1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是 1 或― 1 时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：（ 2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。

（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

四、同底数幂的乘法1、 n 个相同因式（或因数） a 相乘，记作 a n，读作 a 的 n 次方（幂），其中 a 为底数， n 为指数， a n的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专训2 三角形的三种重要线段的应用
名师点金：三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的
线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此我
们需要从不同的角度认识这三种线段．

三角形的高的应用
类型1
找三角形的高

1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边
DE上的高为________，边AE上的高为________．

(第1题)
类型2
作三角形的高

2．【动手操作题】画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)

(第2题)
类型3
求与高相关线段的问题

3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.求：
(1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
(2)AD∶BE的值．

(第3题)
类型4
说明与高相关线段和的问题(等面积法)

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，
BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G. 试说明：DE＋DF＝BG.

(第4题)

三角形的中线的应用
类型1
求与中线相关线段问题

5．如图，已知AE是△ABC的中线，EC＝4，DE＝2，则BD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6

(第5题) (第6题)
6．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则
△ABC的周长为( )
A．40 B．46 C．50 D．56
7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15
cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．

类型2
求与中线相关的面积问题

8．【中考·广东】如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD
＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．

(第8题)
9．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.

(第9题)
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为
S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，
连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到
△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的代数式表示)．

三角形的角平分线的应用
类型1
三角形角平分线定义的直接应用

10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以
AE为角平分线的三角形有________________；
(2)如图，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE
是△DAF的角平分线．

(第10题)

类型2
三角形的角平分线与高线相结合求角的度数

11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求
∠DAE的度数．

(第11题)
类型3
求三角形两内角平分线相交所成角的度数

12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
(3)当∠A＝α时，求∠BOC的度数．

(第12题)
答案
1．AB；DC
2．解：如图．

(第2题) (第4题)
3．解：(1)S△ABC＝12BC·AD＝12×4×4＝8.

因为S△ABC＝12AC·BE＝12×5×BE＝8，所以BE＝165.
(2)AD∶BE＝4∶165＝54.
4．解：如图，连接AD，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以12AC·BG＝12AB·DE＋12AC·DF.
又因为AB＝AC，所以BG＝DE＋DF.
点拨：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线
段的关系转化为面积的关系来解决．
5．A
6．A 点拨：因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24.
又因为BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.
又因为ED为△EBC的中线，所以BC＝2BD＝2×8＝16.
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.
7．解：设AD＝CD＝x cm，则AB＝2x cm，BC＝(15＋6－4x)cm.
依题意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm，则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，
解得x＝5或x＝2.
当x＝5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm；
当x＝2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，而4＋4＜13，故不能组成三角形．
所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.
8．4 点拨：因为AG∶GD＝2∶1，

所以AG∶AD＝2∶3.所以S△ABG＝23S△ABD.
又因为S△ABD＝12S△ABC，
所以S△ABG＝23×12S△ABC＝13S△ABC.
所以S△BGF＝12S△ABG＝16S△ABC＝16×12＝2.
同理S△CGE＝2，所以图中阴影部分的面积为4.
9．解：(1)a
(2)2a
理由：连接AD，易得S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，
所以S△DEC＝2a.
(3)6a
10．解：(1)△ABC和△ADF
(2)因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.
又因为∠1＝∠2＝15°，
所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.
所以∠CAE＝∠BAE＝30°.所以∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.
又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3＝15°.
所以AE是△DAF的角平分线．
11．解：在△ABC中，因为∠B＝20°，∠C＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.
又因为AE是∠BAC的平分线，

所以∠BAE＝12∠BAC＝12×100°＝50°.
在△ABD中，因为AD是高，所以∠BDA＝90°.
又因为∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA＝180°－20°－90°＝70°.
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.
12．解：(1)因为∠A＝60°，
所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，

所以∠EBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝12×120°＝60°.
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.
(2)因为∠A＝100°，
所以∠ABC＋∠ACB＝80°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝12×80°＝40°.
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.
(3)因为∠A＝α，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，

所以∠EBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝90°－
1
2
α.

所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－



90°－

2
α
＝90°＋12α.

点拨：第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个变式，第(3)问就是类比前面解决
问题的方法用含α的代数式表示．