平面向量的定义和表示方法

平面向量在数学中具有重要的地位，它是向量的一种特殊形式，由

大小和方向组成。本文将详细阐述平面向量的定义以及常用的表示方法。

一、平面向量的定义

平面向量是具有大小和方向的箭头，用于表示平面上两点之间的位移。平面向量通常使用字母加上一个箭头来表示，例如：→AB。其中，向量箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

平面向量的定义包括以下重要要素：

1. 大小：平面向量的大小可以通过向量的模或长度来表示，记作

|→AB|。向量的模满足非负性、正定性和三角不等式。

2. 方向：平面向量的方向由向量箭头的方向指示，可以使用角度或

者其他表示方法来描述。

3. 起点和终点：平面向量的起点和终点分别表示向量的起始位置和

结束位置，通常用两个点来表示。

二、平面向量的表示方法

平面向量可以通过以下几种常用的表示方法来表示：

1. 分解表示法

分解表示法是将平面向量分解为两个已知向量之和的形式。一般地，平面向量→AB可以表示为→AD + →DB，其中→AD和→DB是已知向量。这种表示方法常用于解题中，可以简化向量的计算。

2. 坐标表示法

坐标表示法是将平面向量表示为其在坐标系中的坐标。在平面直角

坐标系中，向量→AB的坐标表示为 (x,y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。

3. 单位向量表示法

单位向量是指模为 1 的向量，可以表示为平面上的一个点。单位向

量通常用符号→u表示。平面向量→AB可以通过除以其模得到单位向量，即→u = (1/|→AB|) × →AB。单位向量在几何和物理中有广泛的应用，可以帮助求解方向和位移等问题。

4. 极坐标表示法

极坐标表示法是将平面向量表示为极坐标系中的一个点。在极坐标

系中，向量→AB可以表示为(r,θ)，其中 r 表示向量的长度，θ 表示向

量与极轴的夹角。极坐标表示法适用于描述平面上的圆周运动和极坐

标系下的向量操作。

总结：

平面向量是具有大小和方向的箭头，用于表示平面上两点之间的位移。其定义包括大小、方向、起点和终点。常用的平面向量表示方法

包括分解表示法、坐标表示法、单位向量表示法和极坐标表示法。这

些表示方法在几何、物理和数学问题中有着广泛的应用。

以上是关于平面向量的定义和表示方法的文章，希望对您有所帮助。

平面向量的表示和坐标

平面向量的表示和坐标在数学中，平面向量是描述平面上有大小和方向的量。平面向量可以通过各种方式进行表示和描述，其中最常用的是用坐标表示法。一、平面向量的定义和性质平面向量是由两个有序实数（也可以是复数）组成的有序对。在平面直角坐标系中，平面向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为平面上的一点。平面向量的性质如下： 1. 平面向量的大小等于其模长，记作 |AB| 或 ||AB||，表示从 A 点到 B 点的距离。 2. 平面向量的方向由无穷多个与其大小相等的向量共同确定。 3. 平面向量可以通过平移、缩放、反向等运算进行操作。二、平面向量的坐标表示法平面向量的坐标表示法是一种常用的描述方法，它使用有序实数对（x，y）表示一个向量。例如，向量 AB 可以表示为 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的有序实数对表示。三、平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算包括加法、减法、数乘等操作。

1. 加法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。则它们的和为 AB+ CD = (x1 + x2, y1 + y2)。 2. 减法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。则它们的差为 AB- CD = (x1 - x2, y1 - y2)。 3. 数乘：设有向线段 AB 表示为 AB = (x, y)，常数 k 为实数。则kAB = (kx, ky)。四、平面向量的模长和方向角向量的模长表示向量的大小，可以使用勾股定理计算。设向量 AB = (x, y)，则其模长|AB| = √(x^2 + y^2)。向量的方向角表示向量与 x 轴正向的夹角。设向量 AB 的方向角为α，则有： α = arctan(y/x) (x>0) α = arctan(y/x) + π (x<0, y>=0) α = arctan(y/x) - π (x<0, y<0) α = π/2 (x=0, y>0) α = -π/2 (x=0, y<0) 注：arctan 表示反正切函数。五、平面向量的坐标系变换

平面向量的概念及表示

向量的概念及表示 1.向量的概念： (我们把既有大小又有方向的量叫向量> 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：错误!. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. 说明：(1>综合①、②才是平行向量的完整定义； (2>向量a、b、c平行，记作a∥b∥c. 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：(1>向量a与b相等，记作a＝b； (2>零向量与零向量相等； (3>任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，系这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 说明： (1>平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； (2>共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量错误!与错误!是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；b5E2RGbCAP ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是错误!＝错误!；p1EanqFDPw ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量错误!、错误!在同一直线上.DXDiTa9E3d ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.

平面向量的定义和表示方法

平面向量的定义和表示方法平面向量在数学中具有重要的地位，它是向量的一种特殊形式，由大小和方向组成。本文将详细阐述平面向量的定义以及常用的表示方法。一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的箭头，用于表示平面上两点之间的位移。平面向量通常使用字母加上一个箭头来表示，例如：→AB。其中，向量箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。平面向量的定义包括以下重要要素： 1. 大小：平面向量的大小可以通过向量的模或长度来表示，记作 |→AB|。向量的模满足非负性、正定性和三角不等式。 2. 方向：平面向量的方向由向量箭头的方向指示，可以使用角度或者其他表示方法来描述。 3. 起点和终点：平面向量的起点和终点分别表示向量的起始位置和结束位置，通常用两个点来表示。二、平面向量的表示方法平面向量可以通过以下几种常用的表示方法来表示： 1. 分解表示法

分解表示法是将平面向量分解为两个已知向量之和的形式。一般地，平面向量→AB可以表示为→AD + →DB，其中→AD和→DB是已知向量。这种表示方法常用于解题中，可以简化向量的计算。 2. 坐标表示法坐标表示法是将平面向量表示为其在坐标系中的坐标。在平面直角坐标系中，向量→AB的坐标表示为 (x,y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。 3. 单位向量表示法单位向量是指模为 1 的向量，可以表示为平面上的一个点。单位向量通常用符号→u表示。平面向量→AB可以通过除以其模得到单位向量，即→u = (1/|→AB|) × →AB。单位向量在几何和物理中有广泛的应用，可以帮助求解方向和位移等问题。 4. 极坐标表示法极坐标表示法是将平面向量表示为极坐标系中的一个点。在极坐标系中，向量→AB可以表示为(r,θ)，其中 r 表示向量的长度，θ 表示向量与极轴的夹角。极坐标表示法适用于描述平面上的圆周运动和极坐标系下的向量操作。总结：平面向量是具有大小和方向的箭头，用于表示平面上两点之间的位移。其定义包括大小、方向、起点和终点。常用的平面向量表示方法

平面向量知识点总结(精华)

平面向量一、向量的基本概念 1.向量的概念 2.零向量： 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量（与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -. 二、向量的表示方法 1.几何表示： 2.符号表示： 3.坐标表示三、平面向量的基本定理定理设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+. （1）定理核心：11 22 a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成. （3）向量的正交分解：当21e e ⊥时，就说11 22 a λe λe =+为对向量a 的正交分解．举例3 （1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B A.1 (0,0)e =，2 (1,2)e =- B.1 (1,2)e =-，2 (5,7)e = C.1 (3,5)e =，2 (6,10)e = D.1 (2,3)e =-，2 13,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ， AC 上的中线,且 AD a =，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：24 33 a b +. （3）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠. 五、平面向量的数量积 1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角. 当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2 πθ= 时，a ，b 垂直. 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅. 规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量. 举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-. （2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛ ⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4 π，则k = ____. 结果：1. （3）已知 ||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____.

平面向量的基本概念和表示方法

平面向量的基本概念和表示方法平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上具有方向和大小。在数学和物理学中，平面向量是一种常见的工具，用于描述物体的位移、力的作用、速度的方向等等。本文将介绍平面向量的基本概念和表示方法。一、基本概念平面向量由两个有序数构成，其中，第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。向量通常用小写字母加箭头来表示，比如向量a可以表示为➡a。平面向量有三个重要的性质，即方向、大小和起点。向量的方向由向量指向的位置决定，大小由向量的长度表示，起点是向量的起始位置。二、表示方法平面向量有多种表示方法，下面介绍其中常见的两种方法：坐标表示法和分解表示法。 1. 坐标表示法坐标表示法是一种常见的表示方法，将向量的两个分量表示为一个有序数对。例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x 轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。以单位向量为例，单位向

量在坐标表示法中的坐标为(1, 0)和(0, 1)，分别代表x轴和y轴的正方向。 2. 分解表示法分解表示法是将向量分解成两个分量的和的形式。以向量a为例，向量a可以分解为两个分量i和j的线性组合，即a = ai + aj。其中，i 表示向量在x轴上的分量，j表示向量在y轴上的分量。这种表示方法更直观，能够清晰地描述向量的方向和大小。三、向量运算平面向量有四种基本运算，即加法、减法、数乘和点乘。下面分别介绍这四种运算。 1. 加法向量加法将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。例如，向量a和向量b的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。 2. 减法向量减法将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。例如，向量a和向量b的差可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。向量减法也满足交换律和结合律，即a - b = -(b - a)和(a - b) - c = a - (b + c)。 3. 数乘

平面向量的定义和基本性质

平面向量的定义和基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的向量。它由起点和终点确定，并且可以用箭头表示。平面向量常用字母加上一个右箭头来表示，例如AB→表示起点为A，终点为B的向量。平面向量的定义：定义1：若平面上两个点A和B，可以唯一确定一个向量AB→。其中向量AB→的起点为点A，终点为点B。点A称为向量AB→的起点，点B称为向量AB→的终点。向量AB→可以记作AB→或者→AB。定义2：若平面上某个向量的起点是原点O，则称该向量为单位向量。单位向量的长度为1，方向可以是任意的。基本性质：性质1：平面向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。对于平面上的两个向量→AB和→CD，当且仅当|→AB|=|→CD|且它们的方向相同时，向量→AB和向量→CD相等。性质2：平面向量相反的条件是它们的长度相等且方向相反。对于平面上的两个向量→AB和→CD，当且仅当|→AB|=|→CD|且它们的方向相反时，向量→AB和向量→CD互为相反向量。性质3：平面向量的运算法则。

3.1 平面向量的加法：设→AB和→CD是平面上的两个向量，则向量→AB+→CD的终点是链接→AB和→CD的链条的终点。 3.2 平面向量的减法：设→AB和→CD是平面上的两个向量，则向量→AB-→CD的终点是链接→AB的起点与→CD的终点的链条的终点。 3.3 数乘：设k是一个实数，→AB是平面上的一个向量，则k→AB 的长度是|k||→AB|，方向与→AB相同。性质4：平面向量的共线性。对于平面的两个非零向量→AB和→CD，若存在实数k，使得 →CD=k→AB，则称向量→AB和→CD共线。同样地，若存在实数k1和k2，使得→CD=k1→AB+k2→EF，则称向量→AB、→CD和→EF共线。性质5：平面向量的数量积。对于平面的两个向量→AB和→CD，它们的数量积定义为 |→AB||→CD|cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。性质6：平面向量的数量积与夹角的关系。对于平面的两个向量→AB和→CD，它们的数量积为0的充要条件是→AB与→CD垂直，即cosθ=0。以上是平面向量的定义和基本性质。通过对平面向量的理解和运用，我们可以更好地进行平面几何的推导和计算。

平面向量概念

平面向量概念 1. 概念定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。它由两个有序实数对（x，y）表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。平面向量通常用小写字母加上一个箭头来表示，如→a。 2. 重要性平面向量是数学中的重要概念，具有广泛的应用。它在几何、物理、工程等领域中起着重要作用。 2.1 几何应用平面向量可以用于描述平面上的点、直线、曲线等几何对象的位置、方向和形状。通过向量的加法、减法、数乘等运算，可以得到平面上的向量和向量之间的关系，从而解决几何问题。 2.2 物理应用在物理学中，平面向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。通过向量的运算，可以分析物体的运动规律，解决物理问题。 2.3 工程应用在工程领域中，平面向量可以用于描述力、力矩、电场强度等物理量。通过向量的运算，可以分析结构的受力情况、电场的分布等问题，为工程设计和分析提供依据。 3. 平面向量的基本运算 3.1 加法设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a+→b=(x1+x2, y1+y2)。向量加法满足交换律和结合律。 3.2 减法设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a-→b=(x1-x2, y1-y2)。减法可以看作加法的逆运算。 3.3 数乘设有向量→a=(x, y)和实数k，则k→a=(kx, ky)。数乘改变向量的大小，但不改变其方向。

3.4 数量积设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的数量积为 →a·→b=x1x2+y1y2。数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。 3.5 向量积设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的向量积为 →a×→b=x1y2-y1x2。向量积的结果是一个向量，其大小表示两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。 4. 平面向量的坐标表示 4.1 分解与合成给定一个平面向量→a=(x, y)，可以将它分解为两个分量，一个在x轴上的分量ax=x，一个在y轴上的分量ay=y。这两个分量分别是单位向量→i=(1, 0)和 →j=(0, 1)与向量→a的数量积。 4.2 合成与分解给定两个平面向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，可以将它们合成为一个平面向量→c=(x1+x2, y1+y2)。这个合成向量是两个原向量的和。 5. 平面向量的应用举例 5.1 几何应用举例在平面几何中，平面向量可以用于解决一些几何问题。例如，已知三角形的两个顶点坐标，可以通过向量的减法求得两个边的向量，进而求得第三个边的向量和三角形的面积。又如，在解决线段相交问题时，可以将线段表示为向量，并通过向量的运算判断线段是否相交。 5.2 物理应用举例在物理学中，平面向量可以用于解决一些物理问题。例如，已知物体的初速度和加速度，可以通过向量的运算求得物体的位移和最终速度。又如，在分析力的合成和分解时，可以将力表示为向量，并通过向量的运算求得合力和分力。 5.3 工程应用举例在工程领域中，平面向量可以用于解决一些工程问题。例如，在桥梁设计中，可以通过向量的运算分析桥梁的受力情况，求得桥梁的支持力和应力分布。又如，在电场分析中，可以将电场强度表示为向量，并通过向量的运算求得电场的分布和电势差。

平面向量的定义及表示方法

平面向量的定义及表示方法平面向量是在平面上具有大小和方向的量。它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。在数学中，我们通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，坐标上的A点到 B点的向量。平面向量的定义表明，它不仅仅是点之间的连线，它还具有独立的数学性质和运算规则。我们可以通过平移、加法、乘法等操作来处理平面向量。在平面向量的表示方法方面，有几种常用的方式，包括坐标表示法、分量表示法和向量的单位表示法。 1. 坐标表示法：在笛卡尔坐标系中，平面上的向量可以用坐标表示。如果A和B 是平面上的两个点，那么向量A B⃗的坐标可以表示为(ABx, ABy)，其中ABx表示向量在x轴的投影，ABy表示向量在y轴的投影。 2. 分量表示法：分量表示法是将平面向量投影到坐标轴上的方法。对于向量A B⃗，它可以表示为A B⃗ = x⃗ i + y⃗ j，其中x⃗和y⃗分别表示向量的x和 y方向的分量，i和j是坐标轴上的单位向量。 3. 向量的单位表示法：

向量的单位表示法将向量的大小统一为1的向量，用于表示向量的方向。在平面向量中，单位向量通常用i和j表示，其中i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。例如，向量A B⃗的单位向量可以表示为A B⃗ /|A B⃗ | = (ABx / |A B⃗ |) i + (ABy / |A B⃗ |) j。除了上述常见的表示方法，平面向量还有一些其他的表示方法，如极坐标表示法和共线向量表示法，用于特殊情况下的向量表示和计算。总结起来，平面向量可以用箭头表示，通过定义和表示方法，我们可以准确地描述和计算平面上的物理量和几何问题。不同的表示方法可以根据具体情况和需要灵活运用，帮助解决实际问题和计算。掌握平面向量的定义和表示方法，对于数学和物理学习都具有重要的意义。

平面向量的定义及性质

平面向量的定义及性质平面向量是向量的一种，它有大小和方向两个属性。平面向量通常用箭头标识，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。一、平面向量的定义在平面上，我们可以用两个坐标轴来确定一个点的位置，相应地，平面向量可以由坐标轴上两个点之间的坐标差表示。设点A坐标为（x_1，y_1），点B坐标为（x_2，y_2），则从A指向B的向量通常记作向量AB，并表示为AB向量。其坐标表示为AB = (x_2 - x_1，y_2 - y_1)。二、平面向量的性质 1. 零向量性质：零向量是长度为0的向量，记作0。任何向量与零向量的相加都会保持原向量不变，即对任意向量a，有a + 0 = a。 2. 相等性质：两个向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。 3. 负向量性质：给定向量a，其负向量记作-a，它与向量a的长度相等，但方向相反。即a + (-a) = 0。 4. 平行性质：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的夹角为0度或180度，则称这两个向量平行。

5. 共线性质：如果两个向量共线，则它们可以表示为一个向量的倍数。设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)共线，则存在实数k，使得a = kb。 6. 向量加法性质：设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)，则向量a + b = (x_1 + x_2，y_1 + y_2)。 7. 向量减法性质：设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)，则向量a - b = (x_1 - x_2，y_1 - y_2)。 8. 数乘性质：设向量a = (x，y)和实数k，则ka = (kx，ky)。 9. 平行四边形法则：如果向量a和向量b的起点相同，则以向量a 和向量b的终点为相对角的四边形ABCD是平行四边形，且向量a + b 等于对角线AC。 10. 三角不等式：对于任意两个向量a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。其中|a|表示向量a的长度。总结：平面向量是指在平面上用箭头表示的向量，包含了大小和方向两个属性。通过坐标轴上两个点的坐标差可以表示平面向量。平面向量具有零向量、相等向量、负向量、平行向量、共线向量、向量加法、向量减法、数乘、平行四边形法则和三角不等式等性质。通过理解和应用这些性质，可以更好地理解和解决与平面向量相关的问题。

平面向量的基本概念

平面向量的基本概念 1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；（2）用字母表示：a 说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；（2）向量AB 的长度（或称模）：线段AB 的长度叫向量AB 的长度，记作||AB ． 3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即||1AB =；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作0；（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：////a b c ；（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：a b =；（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a ；（2）零向量与零向量相等，记作00=；（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。 4．例题分析：例1 如图1，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量。解：OA CB DO ==EF =；OB DC EO AF ===； OC AB ED FO ===． A （起点） 1）

例2 如图2，梯形ABCD 中，E ，F 分别是腰AB 、DC 的三等分点，且||AD 2=，||5BC =，求||EF ．解：分别取BE ，CF 的中点分别记为M ，N ，由梯形的中位线定理知： 1||(||)2 M N E F B C =+ 1111||()(||||)2222 EF AD MN AD EF BC =+=++ ∴3159||(2)4224EF =+= ∴||3EF =．小结： 1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量； 2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等向量的意义。 2）

平面向量的定义与运算

平面向量的定义与运算平面向量是数学中重要的概念之一，被广泛应用在几何、物理、工程等领域中。本文将介绍平面向量的定义、表示方式以及常用的向量运算，旨在帮助读者更好地理解和应用平面向量。一、平面向量的定义平面向量是指在平面上有大小和方向的量，用于表示空间中的位移、力量、速度等物理量。平面向量通常以字母加上一个箭头表示，如 AB→，其中A和B分别表示向量的起点和终点。二、平面向量的表示方式 1. 坐标表示法在平面直角坐标系中，一个向量可以由其终点的坐标减去起点的坐标得到。假设向量AB→的起点坐标为(Ax, Ay)，终点坐标为(Bx, By)，则向量AB→的表示为： AB→ = (Bx-Ax, By-Ay) 2. 分解表示法平面上的向量可以根据 x 轴和 y 轴的方向分解为两个垂直分量。假设向量AB→的终点坐标为(Bx, By)，起点坐标为(Ax, Ay)，则向量 AB→可以表示为： AB→ = (Bx-Ax)·i + (By-Ay)·j

其中，i和j分别表示平面直角坐标系中的单位向量，i表示x轴正方向的单位向量，j表示y轴正方向的单位向量。三、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积运算。 1. 加法和减法平面向量的加法和减法满足平行四边形法则。假设有向量AB→和向量AC→，则它们的和向量是从A起点到平行四边形的对角线交点的向量AD→，即： AB→ + AC→ = AD→ 减法运算可以看作是加法运算的逆运算，即： AB→ - AC→ = AD→ 2. 数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个常数。假设有向量AB→和常数k，则k乘以向量AB→的结果为： k·AB→ = (k·(Bx-Ax))·i + (k·(By-Ay))·j 3. 点积运算点积运算也称为向量的内积或数量积，用·表示。假设有向量AB→和向量AC→，则它们的点积为： AB→ · AC→ = |AB→ | · |AC→ | · cosθ

平面向量的定义

平面向量的定义平面向量是数学中重要的概念，它在几何学和物理学等领域有广泛的应用。通过定义，我们可以清晰地了解平面向量的特点、性质和运算规则。本文将介绍平面向量的定义以及相关的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。一、平面向量是由大小和方向共同决定的有向线段，用于表示平面上的位移、力、速度等物理量。它由起点和终点组成，起点表示向量作用的起始位置，终点表示向量作用的终止位置，而有向线段则表示了向量的方向和大小。在平面向量中，方向由箭头表示，箭头的末端表示向量的终点。大小通常使用向量的模或长度来表示，记作 |AB| 或 ||AB||，其中 A 和 B 分别表示向量的起点和终点。二、平面向量的性质 1. 平面向量具有位移性质：平面向量可以描述物体的位移，在空间中沿着特定的方向移动。位移的大小和方向由向量的模和方向决定。 2. 平面向量具有等价性质：两个向量如果具有相同的模和方向，则它们是等价的。即使起点和终点的位置不同，只要向量的模和方向相同，我们可以认为它们是相等的。 3. 平面向量具有相反性质：对于任意向量 A，在平面上存在一个唯一的向量 -A，它们有相同的模但方向相反。即 A 和 -A 是相互抵消的力或相反方向的位移。

4. 平面向量具有平移性质：对于平面上任意两点 A 和 B，我们可以通过平移将 A 移动到原点 O，同时将 B 移动到 P，得到表示向量 AB 的平移向量 OP。在平面向量表示中，起点和终点的具体位置可以任意选择。三、平面向量的运算 1. 平面向量的加法：向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。对于任意向量 A 和 B，它们的和记作 A + B，其起点与 A 的起点相同，终点与 B 的终点相同。 2. 平面向量的数乘：数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。对于任意向量 A 和实数 k，它们的数乘记作 kA，其起点与 A 的起点相同，终点位于向量 A 上，且与 A 的终点的距离是 A 的模乘以k 的绝对值。 3. 平面向量的减法：向量减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。对于任意向量 A 和 B，它们的差记作 A - B，可以通过 A + (-B) 计算得到。 4. 平面向量的数量积：数量积，也称为点积或内积，是指将两个向量的模与它们夹角的余弦值相乘得到一个实数。对于向量 A 和 B，它们的数量积记作 A·B 或 A B，计算公式为A·B = |A| |B| cosθ，其中θ 表示 A 和 B 的夹角。 5. 平面向量的向量积：向量积，也称为叉积或外积，是指将两个向量的模与它们夹角的正弦值相乘得到一个新的向量。向量 A 和 B 的向

初中数学知识归纳平面向量的几何应用与解题

初中数学知识归纳平面向量的几何应用与解题初中数学知识归纳：平面向量的几何应用与解题平面向量是初中数学中重要的概念之一，它不仅有着丰富的几何应用，还能帮助我们解决各种问题。本文将对平面向量的几何应用与解题进行归纳总结，帮助初中生们更好地理解和应用平面向量的知识。一、平面向量的定义及表示方法在介绍平面向量的几何应用之前，我们先来回顾一下平面向量的定义及表示方法。平面向量可以定义为具有大小和方向的箭头，常用大写字母表示，如向量A、向量B等。表示方法有两种：以坐标表示和以起点终点表示。以坐标表示时，若向量A的坐标为(a, b)，则向量A 的起点为原点(0, 0)，终点为坐标(a, b)；以起点终点表示时，可以用带箭头的线段来表示向量，箭头所指方向为向量的方向。二、平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法是指两个向量之间进行运算，得到一个新的向量。向量的加法与减法具有几何意义，可以用平行四边形法则进行计算。若有向量A和向量B，则它们的和表示为向量A + 向量B，差表示为向量A - 向量B。在计算过程中，我们需要将两个向量的起点重合，然后将两个向量依次相接，得到一个新的向量。这一运算方式在解决平面几何问题时，特别有用。三、平面向量的数量积

平面向量的数量积也称为点积，是指两个向量之间的运算。数量积的结果为标量，表示为两个向量的乘积再乘以夹角的余弦值。即若有向量A和向量B，它们的数量积表示为A·B=|A||B|cosθ。其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两向量之间的夹角。数量积具有多种几何应用，如判断向量的垂直、平行关系等。四、平面向量的解题方法 1. 利用向量的加法与减法解题：在解决平面几何问题时，我们可以将复杂的问题转化为向量的加法与减法。根据已知条件，我们可以设立方程组，然后利用向量的加法和减法运算，解出未知量。 2. 利用平面向量的数量积解题：平面向量的数量积可以帮助我们解决一些几何问题，如判断向量的垂直、平行关系等。在解决这类问题时，我们可以先计算出向量的数量积，然后利用数量积的性质进行推理。 3. 利用平移法解题：平移法是一种常用的解题方法，它利用平面向量的平移特性，将几何图形进行平移，然后通过平移后的对应关系，解决一些几何问题。五、平面向量的应用举例 1. 平面向量在平行四边形中的应用：平行四边形是平面向量最常见的应用之一。利用平行四边形法则，我们可以解决一些与平行四边形相关的问题，如求对角线的交点、判断三角形是否为等边三角形等。

平面向量的定义与运算

平面向量的定义与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的量，常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。平面向量可以理解为带有指向性的线段。一. 平面向量的定义平面向量由起点和终点确定，可以用有序实数组表示。设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB可以表示为AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。二. 平面向量的运算 1. 平面向量的加法设有向量AB = (x₁, y₁)，向量CD = (x₂, y₂)，则向量AB + CD = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。 2. 平面向量的乘法 a) 数乘：设向量AB = (x, y)，实数k，则k * AB = (kx, ky)。数乘改变向量的长度，但不改变方向。 b) 内积：设向量AB = (x₁, y₁)，向量CD = (x₂, y₂)，则向量 AB · CD = x₁ * x₂ + y₁ * y₂，也可以表示为AB · CD = |AB| |CD| cosθ，其中θ为AB与CD的夹角。

c) 外积：设向量AB = (x₁, y₁)，向量CD = (x₂, y₂)，则向量AB ×CD = x₁ * y₂ - x₂ * y₁，也可以表示为AB × CD = |AB| |CD| sinθ，其中θ为AB与CD的夹角。外积的结果是一个数。注意：内积和外积都是向量运算，结果不再是向量，而是一个数。 3. 平面向量的减法设有向量AB = (x₁, y₁)，向量CD = (x₂, y₂)，则向量AB - CD = AB + (-1) * CD，即向量AB减去向量CD等于向量AB加上向量CD的负向量。 4. 平面向量的模设有向量AB = (x, y)，则向量AB的模可以表示为|AB| = √(x²+ y²)。 5. 平面向量的单位向量设有非零向量AB = (x, y)，则该向量的单位向量可以表示为u = (x / |AB|, y / |AB|)，即向量AB除以它的模得到单位向量。三. 平面向量的性质 1. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。 2. 共线向量：若两个向量共线，则它们可以表示为一个向量的数乘。 3. 平面向量共线判定：向量AB与向量CD共线，当且仅当AB × CD = 0。 4. 单位向量：模为1的向量称为单位向量。

平面向量及其应用

平面向量及其应用一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一，它具有方向、大小和起点的特点。在数学和物理等学科中，平面向量的应用广泛，能够帮助我们解决各种问题。本文将围绕平面向量的定义、性质和应用展开讨论。二、平面向量的定义和表示方式 1. 定义：平面向量是空间中具有大小和方向的量，可以表示为有序数对或两点之差。 2. 表示方式：平面向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。也可用坐标表示，坐标中的两个数表示向量的两个分量。三、平面向量的基本运算 1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。 2. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积或内积，定义为 A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的大小，θ表示A和B的夹角。 3. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积或外积，定义为 A×B=|A||B|sinθn，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量。

四、平面向量的性质 1. 平面向量的平行与共线性：两个向量平行，当且仅当它们的夹角为0°或180°；三个向量共线，当且仅当它们的行列式为0。 2. 平面向量的垂直性：两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。 3. 平面向量的共点：三个向量共点，当且仅当它们的线性组合为零向量。五、平面向量的应用 1. 几何问题：平面向量可用于解决平面几何中的直线相交、三角形的重心、垂心和外心等问题。 2. 物理问题：平面向量在物理学中有广泛的应用，如力的合成、分解，速度和加速度的分解，以及涉及力的做功和力矩的计算等。 3. 图形变换：平面向量可用于表示图形的平移、旋转、缩放和翻折等变换，从而方便地进行图形的分析和计算。六、案例分析 1. 实例一：已知平面上两点A(-1,2)和B(3,4)，求向量AB的大小和方向。解法：向量AB=(3-(-1),4-2)=(4,2)，所以|AB|=√(4^2+2^2)=√20，向量AB的方向与x轴的夹角为arctan(2/4)=30°。 2. 实例二：已知平面上三个点A(1,2)，B(4,6)和C(7,8)，判断向量 AB和向量BC是否平行。

平面向量的定义与性质

平面向量的定义与性质平面向量是具有大小和方向的量，由一个有序的数对表示，常用有向线段来表示。平面向量可以在平面上进行运算，并具有一些特定的性质。本文将探讨平面向量的定义以及其常见的性质。一、平面向量的定义平面向量有两种常用的表示方法：坐标表示法和向量箭头表示法。 1. 坐标表示法在笛卡尔坐标系中，平面向量A可以表示为(Ax, Ay)，其中Ax和Ay分别是向量在x轴和y轴上的分量。 2. 向量箭头表示法平面向量A可以用一条有向线段来表示，线段的起点表示向量的起点，线段的方向和长度表示向量的方向和大小。二、平面向量的性质 1. 相等性两个平面向量A和B相等，当且仅当它们的方向和大小都相等。 2. 加法性平面向量的加法满足以下性质： - 交换律：A + B = B + A

- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) - 零向量：对于任意平面向量A，存在一个特殊的零向量0，使得A + 0 = A 3. 数乘性平面向量的数乘满足以下性质： - 结合律：k(A + B) = kA + kB - 数乘分配律：(k + l)A = kA + lA - 数乘结合律：k(lA) = (kl)A 其中k和l是实数，A和B是平面向量。 4. 减法性平面向量的减法可以通过将减法转化为加法来进行，即A - B = A + (-B)，其中-B是向量B的负向量，满足B + (-B) = 0。 5. 平移性平面向量的平移性质指的是，对于平面上的两个向量A和B，它们的和向量A + B的起点和终点分别是A和B的起点和终点构成的平行四边形的对角线。 6. 共线性如果一个平面向量A与另一个非零向量B共线，即存在实数k使得A = kB，那么A和B是共线的。

向量-------平面向量的定义及线性表示

■知i课梳理& 1向量的有关概念 (1)____________________________ 向量：既有大小，又有__________________________ 的量叫向量；向量的大小叫做向量的 ________. ⑵零向量：长度为 __________ 的向量，其方向是不确定的. (3) 单位向量：长度等于_________________ 的向量. (4) 平行向量：方向相同或___________的非零向量，又叫共线向量，规定：__________________ ⑸相等向量：长度相等且 ____________相同的向量. (6)相反向量：长度相等且____________相反的向量. 2•线性运算 (1)加法：三角形法则平行四边形法则. (2)减法：•满足三角形法则. (3)数乘：求实数入与向量a的积的运算. 大小:|入a=l川a|; 方向：当40时，入a的方向与a的方向_______________ ;当?<0时，入a的方向与a的方向 __________ ; 当 A 0 时，入a 0;

运算律：2(卩)=(入)!a; (J a=入汁(10； %a + b)=入汁入b.

f f f f f 1 4 AD = — -AB + "AC ，若 BC = ?DC f + yAC ,贝U x = 3. 共线向量定理向量a （a 工0）与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数入使得 __________ 诊断自测 1. 思考辨析（在括号内打“诚“x”）（1）零向量与任意向量平行.（） ⑵若 a // b , b// c ,则 a // c .（） ⑶向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A , B , C , D 四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a , b 共线时，一定有b =入？反之成立.（）考点一平面向量的概念［例1］给出下列四个命题：①若|a|=|b|,贝U a = b ; f f ② 若A , B , C , D 是不共线的四点，则“ AB = DC ”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③ 若a = b , b = c ,贝U a = c ; ④a = b 的充要条件是|a|= |b|且a / b. 其中正确命题的序号是（）［训练1］下列命题中，正确的是 ________ （填序号）. ① 有向线段就是向量，向量就是有向线段； ② 向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反; ③ 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. 考点二平面向量的线性运算［例2］（1）（2018枣庄模拟）设D ABC 所在平面内一点, （入€ R ），则 f f f ［例2］⑵在△ ABC 中，点M , N 满足AM = 2MC , BN ［训练2］（1）如图所示，已知 AB 是圆O 的直径，点 f f f 两个三等分点， AB = a , AC = b ，则AD = _______

平面向量的基本概念

平面向量的实际背景及基本概念 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别；（1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 ②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线段表示相同（等）的向量。 ③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； 7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量 A(起点) B （终点） a

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．． . 11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。（2）共线向量是可以相互平行的。例1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量（4）零向量（5）共线向量（平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定，可以平行。例2.下列命题正确的是（） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. B A O D E F