线性代数_考研笔记

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考研辅导--线性代数--第1章行列式

第一章行列式◆ 基础知识概要1.n 阶行列式的定义二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=.三阶行列式.333231232221131211a a a a a a a a a 112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.对角线法则：n 阶行列式的定义()1212111212122212,,,121...n nn tnj j nj j j j n n nna a a a a a D aa a a a a ⋅⋅⋅==-∑ ,它是取自不同行不同列的n 个数的乘积1212...n j j nj a a a 的代数和（共!n 项），其中各项的符号为()1t-，t 代表排列12,,,n j j j ⋅⋅⋅的逆序数，简记为()det ij a .n 阶行列式也可定义为()121212,,,1...nnt i i i n i i i D a a a ⋅⋅⋅=-∑，其中t 为行标12,,,n i i i ⋅⋅⋅排列的逆序数.例1.1 计算行列式（1）12n λλλ；（2）12nλλλ.练习：计算下列行列式（1）234134201300400；（2）111212220n nnna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（上三角形行列式）；（3）11212212n n nna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （下三角形行列式）.2. 行列式的性质与计算 2.1行列式的性质（1）行列式与其转置行列式相等；（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号；特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零；（3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面；即以数k 乘以行列式等于用数k 乘以行列式的某一行或某一列；特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零；（4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零；特别地：比例系数为1（5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第i 列的元素都是两数之和：()()()1112111212222212i i n i i nn n ni ninn a a a a a a a a a a D a a a a a '⋅⋅⋅+⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，则D 等于如下两个行列式之和：1112111112112122222122221212i n i n i n i n n n ninnn n ninn a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a '⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k 倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.注：（1）交换行列式的第,i j 两行（或列），记作i i r r ↔（或i j c c ↔）；（2）第i 行（列）提出公因子k ，记作i r k ÷（或i c k ÷）；（3）以数k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上，记作i j r kr +（或i j c kc +）.范德蒙（Vandermonde ）行列式()3122222123111111231111nn i j nj i nn n n n nx x x x V x x x x x x x x x x ≤<≤----⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏注右边是“大指标减小指标”.例1.2 计算行列式111311212524131122D ---=.（答：332）练习：计算行列式（1）3112513420111533D ---=---；（答：40）（2）3111131111311113D =；（答：48） (3) 1234234134124123D =；（答：160）（4）2324323631063a b c d aa b a b c a b c d D a a b a b c a b c d aa b a b c a b c d++++++=++++++++++++；（答：4a ）（5）222111a ab acD ab b bc acbcc +=++；（答：2221a b c +++）（6）1234000000a x a a a x xD x x x x +-=--；（答：431i i x x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑）（7）222b c c aa b D ab c a b c +++=；（8）()()()()()()()()()()()()2222222222222222123123123123a a a a b b b b D cc c cd d d d ++++++=++++++.2.2行列式依行（列）展开余子式：ij M ，代数余子式：()1i jij ij A M +=-定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即()112211,2,,ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑，或()112211,2,,nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑.注：此定理的主要作用是——降阶.推论行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即()112210ni j i j in jn ik jk k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑，或()112210ni j i j ni nj ki kj k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑.例1.3 用降阶的方法解例1.2.练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题.例1.4 设1121234134124206A --=-，求（1）12223242234A A A A -+-；（2）3132342A A A ++.解（1）1222324212122122313241422340A A A A a A a A a A a A -+-=+++=. （2）因为ij A 的大小与元素ij a 无关，因此，313234112111214132341410322121401201120142642064206A A A -----++===-=---.练习：（1）设1234511122321462221143156，则（a ）313233A A A ++=？（b ）3435?A A +=（c ）5152535455?A A A A A ++++=（答：0，0，0）（2）设,ij ij M A 分别为行列式3010222202001201D =--中元素ij a 的余子式和代数余子式，试求（a ）31323334A A A A +++；（b ）41424344M M M M +++；（c ）14244432M M M -++.2.3拉普拉斯（Laplace ）展开定理定义在一个n 阶行列式D 中，任意选定k 行（比如第12,,k i i i ⋅⋅⋅行）和k 列比如12,,k j j j ⋅⋅⋅列）（k n ≤）.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的位置组成一个k 阶行列式，称为行列式D 的一个k 阶子式，记作1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭，划去12,,k i i i ⋅⋅⋅行和12,,k j j j ⋅⋅⋅列后余下的元素按照原来的位置组成的n k -阶行列式，称为k 阶子式1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭的余子式，记作1212k c k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭.在余子式前面加上符号()()()12121k k i i i j j j ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-后被称之为的代数余子式.记作()121212121s t k k c c k k i i i i i i A A j j j j j j +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭，这里1212,k k s i i i t j j j =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.定理1.2 在n 阶行列式D 中，任意选定k 列121k j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c i i i nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑. 类似地，任意选定k 行121k i i i n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c j j j nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑.证（略）注这是定理1.2的推广，它仍然是一种——降阶的思想.例1.4 在行列式1214012110130131D -=中取定1，2行，得到6个子式1,21211,201A ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭， 1,21121,302A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,21411,401A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,22152,312A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,22462,411A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,21473,421A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 对应的代数余子式分别是()()()12121,213181,231c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12131,203131,311c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12141,201111,413c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12231,213112,301c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12241,211132,403c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12341,210113,401c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由Laplace 展开定理可知()()()()()1823115163717D =-⨯-+⨯+⨯-+⨯+⨯-+-⨯=-.例1.5 证明111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 证由Laplace 定理展开，选定第1,2,,k ⋅⋅⋅行，得12112121,2,1,2,,k c j j j nk k k k D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑1,2,1,2,,1,2,,1,2,,c k k A A k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭()()()1111111212111k rk k k kk r rra ab b a a b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅11111111k rk kk r rra ab b a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.注例1.5的结论可以简记为A ABC B=⋅.练习：1.计算（1）123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e ；（2）1111111111110000k kk krk kk rr rrc c a a c c a a b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.2. 设A 为n 阶方阵，A a =，B 为m 阶方阵，B b =，则23O AB O为（）（A ）6ab -, （B ）23n mab -, （C ）()123mnn m ab -, （D ）()123m nn m ab +-.◆ 行列式的计算举例例1.6 计算n 阶行列式n x a a a a x a aD a a x a a a a x=解法1112,3,2,3,(1)(1)(1)000(1)000(1)000i i C C r r ni ni nx n a a a a x n a aa a x n a x a a x a D x n a a x a x a x n a a a x x a+-==+-+-+--==+--+-- []()1(1)n x n a x a -=+--.解法212,3,11111100010000100001i r r n i n nn n a a a a a a a a xaa axaa ax aa x a aa x a a x a D aa x a a a x a x a a a a x aaa xx a -=+++----===----①如果x a =，则1110000100000100001n n a a a a D +--==--②如果x a ≠，则12,3,11100000000(1)()0000C i x anax aC n nanx ai n n a a a a x a x a D x a x a x a --+-=+++--==+--- .综合①、②有：()()11n n D x n a x a -=+--⎡⎤⎣⎦.例1.7 计算行列式1221100001000000001n nn n xx x xa a a a x a ----∆=-+.解按第一列展开，12321100001000001n n n n x x x x a a a a xa -----∆=-+110001000(1)01000001n n xa x x +--+---()121n n n n n x a x x a a ---=∆+=∆++221n n n x a x a --=∆++== 12121n n n n x a x a x a ---∆++++又111x a x a ∆=+=+，11n n n n x a x a -∴∆=+++ .例1.8 计算2n a ba bab Dcd c dcd=.解法1 依第一行展开12200(1)00000000n n a ba b ab a b D ab cdc dcdcdd c +=+-2112(1)2(1)2(1)(1)()n n n n adD bc D ad bc D -+---=--=-,222(1)2(2)112()()()()().n n n n n n D ad bc D ad bc D a b ad bc D ad bc ad bc cd----=-=-==-=-=-解法2 利用Laplace 展开定理，选定第1行和第2n 行展开，则1221212121,21,2,,c n j j nn n D A A j j j j ≤<≤⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1,21,21,21,2c n n A A n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()1212211n n n a b D c d+++-=⋅-()()21n ad bc D -=-⋅=⋅⋅⋅ 1()n ab ad bc cd-=- ().n ad bc =-练习：计算n 阶行列式（1）122222222232222n D n=；（答：()22!n --）（2）01211111001001n n a a a D a -=，其中110n a a -⋅⋅⋅≠；（答：111011n n i i a a a a --=⎛⎫⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭∑）（3）2222212121212naa aa aDaaa a=；（答：()1nn a+）（4）()()()()111111111n nnn nnna a a na a a nDa a a n----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅；（5）1231110000220000011 nn n Dn n⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--。

2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳

2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳线性代数是考研数学一科目中的重要内容之一，涉及到矩阵、向量、线性方程组等多个概念和方法。

了解历年考研数学一专题线性代数的题目，可以帮助考生更好地掌握该专题的重点和难点，提高解题能力。

本文将对2024年考研数学一专题线性代数历年题目进行归纳，以供考生参考。

1. 矩阵运算题矩阵的加法、减法、乘法是线性代数的基本内容，考研中常涉及到矩阵的运算性质和运算规律。

如下是一道历年考研数学一专题线性代数中的矩阵运算题目：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，矩阵C=（c_{ij}）_{p×k}，试证明：(A×B)×C=A×(B×C)。

解析：首先我们需要明确矩阵的乘法运算满足结合律。

对于(A×B)×C，先计算矩阵A和矩阵B的乘积，得到(m×p)的矩阵D。

然后将矩阵D与矩阵C相乘，得到(m×k)的矩阵E，即(A×B)×C=E。

同样地，对于A×(B×C)，先计算矩阵B和矩阵C的乘积，得到(n×k)的矩阵F。

然后将矩阵A与矩阵F相乘，得到(m×k)的矩阵G，即A×(B×C)=G。

因此，(A×B)×C=E=A×(B×C)=G，即(A×B)×C=A×(B×C)。

2. 矩阵的秩题矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。

在考研数学一专题线性代数中，关于矩阵的秩有很多题目，如下所示：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，且秩(A)=r，秩(B)=s。

试证明：1) 秩(AB)≤min{r,s}；2) 如果r=s，且r=min{m,n,p}，则秩(AB)=r。

西安交大西工大考研备考期末复习线性代数第1章二阶与三阶行列式

推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
2 10 6 8 2276
0 3 15 9 12 7910
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
求解三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
1 0 2T 1 2 3 2 4 6 0 4 5 3 5 8 2 6 8
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8 , 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
练习2 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。

考研数学一2024线性代数历年题目全解

考研数学一2024线性代数历年题目全解考研数学一考试是以线性代数为主要内容的学科，对于考生而言，熟练掌握历年的线性代数题目并进行全面解析和讲解是提高题目解答水平的重要方法。

本文将全面解析考研数学一2024年线性代数历年题目，并通过详细的解题过程和讲解，帮助考生深入理解线性代数的基本概念和解题方法。

1. 第一题解析：首先，我们需要明确题目所给的条件和要求。

根据题目中提供的条件，我们可以得到...2. 第二题解析：题目中要求我们...通过以上的解析和讲解，我们可以发现，在解题过程中，需要注意的是...3. 第三题解析：对于此题，我们可以运用...通过以上的解析和讲解，我们可以总结出...4. 第四题解析：题目要求我们...通过以上的解析和讲解，我们可以发现，在解题过程中，需要注意的是...5. 第五题解析：对于此题，我们可以运用...通过以上的解析和讲解，我们可以总结出...通过对上述五道历年线性代数题目的解析和讲解，我们可以发现，线性代数是一门涉及多个概念和技巧的学科。

在解题过程中，需要运用到...总结：通过对考研数学一2024年线性代数历年题目的全面解析和讲解，我们发现了一些解题的方法和技巧。

在考试中，我们应该注重对基本概念和方法的掌握，并灵活运用到具体的题目解答中。

通过不断的练习和总结，我们可以提高解题水平，顺利应对考试。

在学习线性代数的过程中，我们还需重点掌握...希望以上的全面解析和讲解可以帮助考生更好地掌握线性代数的内容和解题方法，为取得优异的成绩奠定坚实的基础。

祝愿各位考生在考研数学一中取得好的成绩！。

考研线性代数复习-行列式(2014)

例6 证明行列式(归纳法)
α+β
Dn
0 1 αβ 0 α n +1 − β n +1 = 0 1 α+β 0 α−β (α ≠ β ) 0 0 1 α+β 0
1 n ( n −1) 2
= (2) A (aij )n×n , k ∈ R ⇒| kA |= kn | A | . | A || B |=| BA | = (3) A (= aij )n×n , B (bij )n×n ⇒| AB |=
注 (1) | A + B |≠| A | + | B |
= (2 ) A (a = (bij )n×m ⇒ | AB|=| BA| ij )m× n , B
1≤ i < j ≤ n
∏
( x j − xi )
=− ( xn xn−1 )( xn − xn− 2 ) ( xn − x1 ) ( xn−1 − xn− 2 ) ( xn−1 − x1 ) ( x2 − x1 )
例如，计算4阶行列式
3 a1 2 a1 b1 D4 = a1 b12 3 b1 3 a2 2 a2 b2 2 a2 b2 3 b2 3 a3 2 a3 b3 2 a3 b3 3 b3 3 a4 2 a4 b4 2 a4 b4 3 b4
Bnm C mm
O C mm | Ann || C mm | Ann O = 0 C mm Ann O
(5) 范德蒙行列式
Dn =
1 x1 2 x1 n −1 x1
1 x2 2 x2 n −1 x2

1 1 x n −1 x n 2 2 xn x = −1 n n −1 n −1 xn x n −1

2023考研线代重点内容解析及备考技巧

2023考研线代重点内容解析及备考技巧2023考研线性代数，作为考研数学中的一门核心课程，难度系数颇高，需要学生们花费大量时间和精力去掌握。

那么，在备考线性代数这门课程时，我们需要掌握哪些重点内容，以及需要注意哪些备考技巧呢？本文将为大家一一讲解。

首先，我们需要关注2023考研线性代数的考试大纲，以便确定备考的重点内容。

从往年考试的趋势来看，计算和证明两方面的内容都会较为重视。

其中，计算部分包括行列式和矩阵的运算、特征向量和特征值、线性方程组的求解等内容；证明部分则包括对于线性空间、线性变换、矩阵的一些基本性质的证明，比如矩阵的逆的存在唯一性及其求法、可逆矩阵的特征值和特征向量的关系等。

此外，矩阵的秩和行列式的性质，也是考试中所关注的重要内容。

其次，在备考时，我们需要掌握一些有效的备考技巧。

首先，合理规划时间。

线性代数作为一门难度较大的课程，需要学生们在备考时投入大量时间和精力。

因此，对于备考者而言，合理规划时间显得尤为重要。

建议学生们在备考时采取阶段性复习和掌握知识的方法，优先掌握易错或重要的知识点。

其次，注重习题练习。

对于线性代数这类课程，学习的关键在于练习。

在备考期间，我们需要把思路清晰的题目进行分类，有计划地针对不同类型题型进行有针对性的习题练习，一方面保障时间不浪费，另一方面也可以通过做练习题来拓展解题思路，提高应对考试的能力。

优化分析审题策略。

考研线性代数试题较难，涉及面广，所以备考时我们要注重审题，在逐步了解题意后，建议先进行合理的想象、推理以及揣摩,对于问答题型，要明确问题的提出和回答，在计算时注意有序，减轻出误差的可能性，在揭晓答案后，还应重读题目，核对自己的答案是否满足测试要求和测试环节的完整性。

最后，在备考线性代数时，与老师和同学的沟通交流也是非常重要的。

可以参加老师的辅导课和交流小组，能够及时掌握新的考试动态和重点难点，更好地掌握自己的备考进度，降低复习的失误率；同时，学生们可以发现自身存在的问题，及时纠正并在群内分享解题方法，有助于快速提升自己的解题能力和信心。

6考研基础复习(线性代数)二次型

A = (a ij ) n×n , AT = A .
一、二次型的基本内容
1、二次型及其矩阵表示、
的矩阵，对称阵 A 称为二次型 f ( x ) 的矩阵，的二次型. 二次型 f ( x ) 称为对称阵 A 的二次型.
是实 A 数时，是实二次型，为实对称阵. 数时，f ( x ) 是实二次型，为实对称阵.
（定二次型，（负）正则称该二次型为正负）定二次型，定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵. 称为正（定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别、
f ( x 1 , L , x n ) = x T Ax ，如果实二次型
对于任意一组不全为零的实数 x = ( x 1 , L , x n ) T ，都有
二、典型题型分析及举例
例6.6
——题型：基本概念题题型I：题型
4、二次型和矩阵的正定性及其判别、
正定；特征值全正； ② A 正定；特征值全正；一切主子式全 > 0 ；一切顺序主子式全 > 0 ； A 与 E 合同 A 1 正定；正定；存在可逆矩阵 C ，使 A = C T C ；
4、二次型和矩阵的正定性及其判别、
A 正定；正定；
的矩阵为：的矩阵为：二次型的秩为：二次型的秩为：
， .
二、典型题型分析及举例
例6.2
——题型：基本概念题题型I：题型
二次型：二次型：
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x1 + x 2 + x 3 + 2 x1 x 2 + tx 2 x 3
是正定的，那么 t 应满足不等式：应满足不等式：正定的， .

线性代数5章考研

第五章矩阵对角化本章命题概况：10年34套考题中五章出题总数:占第二部分题量之比重:23.00%；五章分值占第二部分分值之比重:25.20%。

是第二位命题率100%知识背景一：1.矩阵计算与应用中：对角阵是特点很鲜明的矩阵如：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λn k n nnk n λλλλλλ2121再如：inλλλλ∏==Λ21再如：对角阵的秩很好求一般矩阵可否借助上面的优势！？知识背景二：利用矩阵对角化左边的二次齐次函数的标准化问题:如！二次曲线表示什么图形?4655212221=-+x x x x 二次齐次函数，可以标准方程可标准化为二次曲线表示椭圆！⇒=+42212221y y知识一：特征值与特征向量1.引例：121-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P A n k n n nλλλ ⇒Λ=-AP P 1若 Λ=P AP.,,2,1,k i X AX i i i ==λ的构造要满足上式与可以对角化时，当ΛP A 的特征向量。

的关于叫的特征值，非零向量是此时，我们称数λλA X A说明.,0言的特征值问题是对方阵而特征向量≠x ().0,0,的特征值都是矩阵的方程即满足值有非零解的方程组就是使齐次线性的特征值阶方阵A E A x EA A n λλλλ=-=-2.特征值与特征向量的概念.,,, , 的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义λλλλA x A xAx x n n A =3.求法：这个等式叫特征方程、左边的行列式叫特征多项式0E =-A λ也可记做4.特征值基本性质：）（特征值的和A tr =⇒Aλ①的特征值)(λf ⇒是)(A f 的特征值，且有相同的特征向量；练习1：3113的特征值和特征向量求⎪⎭⎫⎝⎛--=A λ注意：n 阶矩阵有对应特征多项式是关于的n 次多项式，特征方程有n 个特征根；特征值的积=5.相关阵的特征值：是A 0f 0A f =⇒=）（）（λ⇒的特征值是E A A A 42422323-+--+-λλλ02302322=+-⇒=+-λλE A A解练习1：3113的特征值和特征向量求⎪⎭⎫⎝⎛--=A 的特征多项式为A λλ----31131)3(2--=λ)2)(4(682λλλλ--=+-=.4,221==λλ的特征值为所以A ,00231123,2211⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛----=x x 对应的特征向量应满足时当λ⎩⎨⎧=+-=-.0,02121x x x x 即,21x x =解得0.11 1≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k p 取为所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛----=x x x x 即由时当λ0.11 ,221≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=l l p x x 取为所以对应的特征向量可解得练习2. （08-2-13-4）设A 的特征值为λ,2,3，其中λ未知，且48A 2-=，则λ==+-E A A 43,25.相关阵的特征值：②λA 的特征值是⇒1-λ是1-A 的特征值，且有相同的特征向量；③λ是A 的特征值⇒λA*A 是的特征值，且有相同的特征向量；④TA A ,有相同的的特征值，但不一定有相同的特征向量；⑤相似矩阵有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。

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.. . .. . .. . 专业学习资料 . 第一章行列式性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3 行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。第行（或者列）乘以，记作 (或 )。推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行（或者列）提出公因子，记作 (或 )。性质4 行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式之和：

′

′ = ′ ′ ′ 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

定义在阶行列式，把（）元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做（）元的余子式，记作；记

，叫做（）元的代数余子式。

引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即

定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即.. . .. . .. . 专业学习资料 . ，，，或，，推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。和范德蒙德行列式

克拉默法则 ① 如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即

，

那么，方程组①有唯一解，，，其中，，，是把系数行列式矩阵中第列的元素用方程组

右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即

，，

定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组没有非零解定理如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零第二章矩阵级其运算定义1 由个数，，，排成的行列的数表，称为行列矩阵； .. . .. . .. . 专业学习资料 . 以数为，元的矩阵可简记作（）或（）矩阵也记作。行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。阶矩阵也记作。特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵和的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作；注意不同型的零矩阵是不同的。

特殊矩阵阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为，其他元素为；

对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作，，

定义2 矩阵的加法设有两个矩阵（）和（），那么矩阵与的和记作，规定为

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；矩阵加法满足运算律（设，，都是矩阵）（i.）（ii.） .. . .. . .. . 专业学习资料 . 定义3 数与矩阵相乘

数乘矩阵满足下列运算规律（设，都是矩阵，，为数）（i.）；（ii.）；（iii.）（iv.）

定义4 矩阵与矩阵相乘设（）是一个矩阵，（）是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵（），其中，，，；，，，，并把此乘积记作注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；矩阵的乘法性质（不满足交换律）（i.）（）（）（ii.）（iii.），（）A =BA+CA （iv.）（v.）；，

矩阵的转置 .. . .. . ..

. 专业学习资料 . 定义5 把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作。性质：（i.）；

（ii.）（iii.）（iv.）

定义6 由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵的行列式，记作或det A；（，为阶方阵，为数）（i.） =

（ii.） = （iii.） =

伴随矩阵定义：的各个元素的代数余子式性质：

定义7 对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，使，则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵。定理1 若矩阵可逆，则定理2 若，则矩阵可逆，且其中为矩阵的伴随阵。 .. . .. . .. . 专业学习资料 . 是可逆矩阵的充分必要条件是推论若或，则

方阵的逆阵满足下述运算规律：（i.）若可逆，则亦可逆，且

（ii.）若可逆，数，则可逆，且（iii.）若，为同阶矩阵且均可逆，则亦可逆，且

分块矩阵的运算法则（i.）分块矩阵的加法矩阵的加法（ii.）数与分块矩阵相乘数与矩阵相乘（iii.）分块矩阵与分块矩阵相乘矩阵与矩阵相乘（iv.）分块矩阵的转置:设

（v.）设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即

其中，，，都是方阵，那么称为分块对角矩阵

克拉默法则对于个变量、个方程的线性方程组如果它的系数行列式，则它有唯一解 .. . .. . ..

. 专业学习资料 . 其中，，，第三章矩阵的初等变换与线性方程组定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i.）对调两行（对调，两行，记作）；（ii.）以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记作）；

（iii.）把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去（第行的倍加到第行上，记作；把定义1中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把“ ”换成“ ”）矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换

如果矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，就称与行等价，记作；如果矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，就称与列等价，记作；如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称与列等价，记作；

矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i.）反身性；（ii.）对称性若，则；（iii.）传递性，，则；

行最简形矩阵，特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。定理1 设与为矩阵，那么：（i.）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵；使；（ii.）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵；使； .. . .. . .. . 专业学习资料 . （iii.）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使；

推论方阵可逆的充分必要条件是行变换三个应用： (1) ，，求 (2) ，， (3) ，，

定义3 在矩阵中，任取行与列（，），位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶行列式。

定义4 设在矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作；并规定零矩阵的秩序等于

定理2 若，则推论若可逆矩阵，使，则

矩阵秩的基本性质 1. ，

2. ；

3. 若，则 4. 若，可逆，则 5. ，，，特别地，当为非零列向量时，有， .. . .. . .. . 专业学习资料 . 6. 7. ， 8. 若，则

定理3 元线性方程组（i.）无解的充分必要条件是，（ii.）有唯一解的充分必要条件是，（iii.）有无限多解的充分必要条件是，

求解线性方程组的步骤（i.）对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵化成行阶梯形，从的行阶梯形可同时看出和。若，则方程组无解。（ii.）若，则进一步把化成行最简形。而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵化成行最简形。（iii.）设，把行最简形中个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于，，，，由或的行最简形，即可写出含个参数的通解。

定理4 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是定理5 线性方程组有解的充分必要条件是，

定理6 矩阵方程有解的充分必要条件是，定理7 设，则，