人教版数学选修21第二章双曲线双曲线的几何性质讲义

案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一双曲线的几何性质 (1)范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值。

这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=,之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。

(2)顶点顶点：()()0,,0,21a A a A -，特殊点：()()b B b B ,0,,021-。

实轴：21A A 长为a 2，a 叫做半实轴长；虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长。

如右图所示，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令0=y 得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,1a A -，()0,2a A ，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，所以()0,1a A -与()0,2a A 其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是a 2。

在方程12222=-by a x 中，令0=x ，得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y y 轴没有交点。

但y 轴上的两个特殊点()()b B b B ,0,,021-，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是b 2，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆。

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。

(3)渐近线如上图所示，过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是⎪⎭⎫⎝⎛=±±=0by axx a b y ，这两条直线就是双曲线的渐近线。

要证明直线⎪⎭⎫⎝⎛=±±=0b y a x x a b y 是双曲线12222=-b y a x 的渐近线，即要证明随着x 的增大，直线和曲线越来越靠拢接近，也即要证曲线上的点到直线的距离MQ 越来越短，因此把问题转化为计算MQ ，但因MQ 不好直接求得，因此又把问题转化为求MN 。

显然()222222ax x aba x x ab a x a b x a b MN MQ -+=--=--=<，当x 无限大时，0→MQ 。

对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质。

特别地，等轴双曲线的两条渐近线方程为x y ±=，它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。

知识点二 有共同渐近线的双曲线方程具有相同渐近线的双曲线方程为()R by a x ∈≠=-λλλ,02222。

当0>λ时，焦点在x 轴上；当0<λ时，焦点在y 轴上。

(1)求双曲线12222=-by a x 的渐近线方程，一般采用两种方法，即：①代入x aby ±=得渐近线方程。

②令02222=-b y a x 得02222=±b y a x ，即x aby ±=。

此法简明有效。

(2)反之，若双曲线一条渐近线方程为x aby ±=，即x aby ±==0，则设双曲线方程为()02222≠=-λλb y a x 。

典型例题分析题型1 由双曲线的方程研究其性质【例1】求双曲线14416922=-x y 的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离 心率，渐近线方程。

解析 由方程研究曲线的性质，应首先化为标准方程。

答案 双曲线方程14416922=-x y 可化为191622=-x y 。

∴实半轴长4=a ，虚半轴长3=b ，焦点坐标为(0，-5)，(0，5)，顶点坐标为(0，-4)，(0，4），离心率为45==a ce ，渐近线方程为y x 43±=，即x y 34±=。

规律总结 由双曲线方程求渐近线方程时应正确应用公式，也可将双曲线左侧因式分解， 使因式分别得零也可。

【变式训练1】 求双曲线369422=-x y 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率和渐近线方程。

答案 将369422=-x y 变形可14922=-x y ，13,2,3===∴c b a ，∴顶点()3,01-A ，()3,02A ，焦点()()13,0,13,021F F -，实轴长62=a ，虚轴长42=b ， 离心率313=e ，渐近线方程为x y 23±=。

【例2】 已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=+ny m x 有公共的焦点，那么双曲线 的渐近线方程是 （ ）A.y x 215±=B.x y 215±= C.y x 43±= D.x y 43±= 解析 先确定焦点，确定m 、n 的比值。

由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，∴椭圆的焦点()0,5322n m -，双曲线焦点()0,3222n m +，2222228,3253n m n m nm =∴+=-∴。

又Θ双曲线渐近线为x mn y ⋅±=26，∴代入n m n m 22,822==，得x y 43±=，故选D 。

答案 D规律总结 求渐近线时应注意对渐近线的两种不同公式的应用。

【变式训练2】 若点P 在双曲线1922=-y x 上，则P 到双曲线渐近线的距离的取值范 围是 。

答案 双曲线的一条渐近线方程是03=-y x ，由渐近线的性质知，当P 点是双曲线的一个顶点时，P 到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是()0,1±，P ∴到渐近线的距离最大值为101031003=-。

故P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛10103,0。

题型2 由双曲线的几何性质确定其方程【例3】 求与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点()32,3-M 的双曲线的方程。

解析 双曲线116922=-y x 的渐近线方程是043=±yx ，可设出双曲线的方程，将点M 的 坐标代入，即可求出方程。

答案 设所求双曲线方程为()016922≠=-λλy x ，由于双曲线过点()32,3-M ，有()()4116329322=--=λ。

故双曲线方程为4116922=-y x ，即144922=-y x 。

方法指导（1）与双曲线12222=-by a x 有共同渐近线的双曲线方程可设为()02222≠=-λλb y a x 的形式。

(2)本题中λ的值为正时焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上。

【变式训练3】 一椭圆的方程为()012222>>=+b a by a x ，焦距为102，若一双曲线与此椭圆共焦点，且它的实轴比椭圆的长轴短8，双曲线的离心率与椭圆离心率之比是5：1， 求椭圆和双曲线方程。

答案 设b a '',各为双曲线的实半轴、虚半轴长，依题意有：1:510:10,4=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'='-a a a a ，解这个方程组，得⎩⎨⎧=='.5,1a a 于是，椭圆短半轴长1522=-=c a b ，双曲线的虚半轴长322='-='a a b ，故椭圆、双曲线方程分别是19,115252222=-=+y x y x 。

【例4】如果双曲线的渐近线方程是x y 43±=，求离心率。

解析 欲求离心率，只需求得c a ,关系即可，注意渐近线的位置。

答案 方法一：若双曲线焦点在x 轴上，设方程为()0,012222>>=-b a b y a x 。

由题意知43=a b ，又222b a c +=Θ，45=∴e 。

若双曲线焦点在y 轴上，设方程为()0,012222>>=-b a bx a y 。

由题意知：43=b a ，35=∴e 综上知：45=∴e 或35=∴e方法二：设具有渐近线x y 43±=的双曲线方程为()091622≠=-λλy x ，即191622=-λλy x 。

若0>λ，焦点在x 轴上，λλ9,1622==b a ，λ25222=+=b a c 。

45,1625222===∴e a c e 。

若0<λ，焦点在y 轴上，λλ16,922-=-=b a ，λ25222-=+=b a c ，925925222=--==∴λλa c e ，35=∴e 。

45=∴e 或35=e 。

规律总结 渐近线不能确定双曲线的位置，因此不论是方法一，还是方法二，都要考虑到其位置的两种形式。

【变式训练4】 设双曲线()012222>>=-a b by a x 的半焦距为c ，直线l 过()0,a 、()b ,0两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，双曲线的离心率为 。

答案 直线l 的方程为1=+by a x，即0=-+ab ay bx 。

于是有c b a aba b 430022=+-⋅+⋅，即243c ab =。

两边平方得()4222422316,316c a c a c b a =-∴=， 解得42=e 或342=e ，1,022>∴>>ab a b Θ，01222222>+=+=∴ab a b a e ，故42=e ，2=∴e 。

题型3已知渐近线求方程【例5】 已知双曲线渐近线的方程为：032=±y x 。

(1)若双曲线经过()2,6P ，求双曲线方程； (2)若双曲线的焦距是132，求双曲线方程；(3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程。

解析 可设出双曲线方程的统一形式，依据题设建立待定参数方程或方程组求解。

答案 解法一：（1）由双曲线渐近线的方程x y 32±=，可设双曲线方程为：()0122>=-mn ny m x ，Θ双曲线过点P ()2,6P ，0,0<<∴n m 。

又渐近线斜率32±=k ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-∴.32,146m n n m 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.34,3n m 故所求双曲线方程为：1314322=-x y 。

(2)设双曲线方程为：12222=-b y a x 或()0,012222>>=-b a bx a y 。

2222213,b a b a c +=∴+=Θ。