7.3离散型随机变量的数字特征-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册同步讲义

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人教A版高中数学选择性必修第三册离散型随机变量的方差 (课件)

问题探究
问题3：方差的计算可以简化吗？

= ෍( − ())2
=1

= ෍( 2 − 2() + (())2 ) = ෍ 2 − (())2
=1
=1
问题探究
问题4：离散型随机变量X加上一个常数,方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以
典例解析
例1：抛掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X的方差。
1
解：随机变量的分布列为( = ) = , = 1,2,3,4,5,6.
6
7
因为 = ,
2
6
1
1 2
2
2
( ) = ෍( × ) = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )
6
6
i=1
6
所以
() =
人教2019A版选择性必修第三册
第七章随机变量及其分布
7.3.2离散型随机变量的方差
学习目标
1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.
2.会求离散型随机变量的方差、标准差.
3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
问题导学
随机变量的均值是一个重要的数字特征,它反映了随机变量取值
10
( 2 2)2 ( 2 2)2 ( 3 2)2 ( 3 2)2 (4 2)2 ] 1
2
4
3
2
1
2
2
2
s (1 2) ( 2 2) ( 3 2) (4 2)2
10
10
10
10

7.3离散型随机变量的数字特征(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选

离散型随机变量的数字特征一离散型随机变量的均值均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示．X x1x2…x nP p1p2…p n则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＝i＝1nx i p i为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．注意点：分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．(3)写出X的分布列．(4)利用均值的定义求E(X)．二两点分布的均值两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p．反思感悟两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1．三均值的简单应用解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．四均值的性质离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b．五均值的实际应用解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化．(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．六决策问题(1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可．(2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比较后得到结论．七离散型随机变量的方差方差：设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x nP p1p2…p n考虑X所有可能取值x i与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(x n－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(x n－E(X))2p n＝i＝1n(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称D X为随机变量X的标准差，记为σ(X)．注意点：一般地，随机变量的方差是非负常数．八方差的计算求离散型随机变量方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；(2)求出X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)计算E(X)；(5)计算D(X)．九方差的简单应用(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．(2)均值体现了随机变量取值的平均水平，有时只比较均值往往是不恰当的，还需比较方差，才能准确地得出更适合的十方差的性质求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．十一方差的实际应用随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．十二决策问题均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．考法一分布列均值与方差【例1】(2020·广东高二期末)已知随机变量X 的分布列是X1 2 3P12 13a则()2E X a +=( ) A ．53B ．73C ．72D ．236【练1】(2020·吉林长春市实验中学)若随机变量ξ的分布列：ξ 1 2 4P0．4 0．3 0．3那么E (5ξ＋4)等于( ) A ．15 B ．11 C ．2．2 D ．2．3考法二实际应用中的分布列与均值【例2】(2020·山西朔州市·应县一中)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14、16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12、23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望()E ξ，方差()D ξ．【练2】(2021·浙江金华市·高三期末)一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数ξ，则()1P ξ==__________，()E ξ=__________．考法三均值方差做决策【例3】．(2020·全国高二单元测试)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ 1 2 3Pa 0．1 0．6 η123P 0．3 b 0．3 (1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．【练3】(2019·全国高二课时练习)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X (单位：小时)和Y 的分布列分别如表1和表2所示： X 900 1 000 1 100 P 0．10．80．1Y95010001050P0．30．40．3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？课后练习1.（2021·嵊州模拟）设0＜a，b，c＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P a b c若E(ξ)＝43，D(ξ)＝59，则（）A．a＝14，b＝16B B．a＝16，b＝13B C．a＝14，b＝13B D．a＝1 6，b＝122.（2021·蚌埠模拟）若随机变量X∼B(3，13)，则下列说法错误的是（）A．E(X)＝1B．D(X)＝23C．E(2X)＝2D．D(2X)＝433.（2021高二下·河北期末）已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝1，2，3，则E(X)＝（）A．6B．9C．2D．44.（2021高二下·河北期末）某随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝15，E(X)＝1，则P(X＝1)＝（）A．15B．35C．√55D．√1055.（2021高二下·辽宁期中）多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有3个选项符合题目要求，随机作答该题时(至少选择一个选项，最多选三项)，所得的分数为随机变量ξ，则E(ξ)＝．6.（2021高二下·石景山期末）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的数学期望是元．7.（2022高二下·贵州期末）已知X~B(6，13)，则D(3X−1)＝．8.（2021·义乌模拟）设随机变量X的分布列如下：X0123P0．1a b0．4则a＋b＝，若数学期望E(X)＝2，则方差D(X)＝．9.（2021高二下·开封期末）某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计该蔬菜在甲、乙两市场以往100个销售周期的市场需求量，制成如下频数分布条形图．以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两市场的总需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润．（1）当n＝19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（2）以销售利润的期望作为决策的依据，判断n＝17与n＝18应选用哪一个．10.（2021高三下·陈仓模拟）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在[50，60）内的频数为3．（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80，90）和[90，100]女士人数都为2人，现从成绩在[80，90）和[90，100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望．精讲答案【例1】【答案】C【解析】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭．故选：C ．【练1】【答案】A【解析】由已知，得：E ξ＝1×0．4＋2×0．3＋4×0．3＝2．2， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝5×2．2＋4＝15．故选：A ．【例2】【答案】(1)512；(2)分布列见解析，()80E ξ=，()40003D ξ=．【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0、40、80元，两人都付0元的概率为11114624P =⨯=，两人都付40元的概率为2121233P =⨯=，两人都付80元的概率为31112111426324P ⎛⎫⎛⎫=--⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=； (2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0、40、80、120、160，则()11104624P ξ==⨯=，()121114043264P ξ==⨯+⨯=，()11121158046234612P ξ==⨯+⨯+⨯=，()1112112026434P ξ==⨯+⨯=，()1111604624P ξ==⨯=．所以，随机变量ξ的分布列为ξ0 40 80 120 160P124 14 512 14 124()11511040801201608024412424E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ()()()()()()222221151108040808080120801608024412424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯40003=．【练2】【答案】310 32 【解析】0,1,2ξ=，0ξ=表示取球3次，3次取白球，则()33356106010A P A ξ====，1ξ=表示取球4次，3次取白球，前3次中有1次取黑球，则()33356106010A P A ξ====， ()113323453623112010C C A P A ξ⨯⨯====， ()1332110105P ξ==--=，故()32E ξ=．故答案为：310，32．【例3】．【答案】(1)a ＝0．3；b ＝0．4；(2)2．3；2；0．81；0．6；甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a ＋0．1＋0．6＝1， ∴a ＝0．3．同理0．3＋b ＋0．3＝1，b ＝0．4．(2)E (ξ)＝1×0．3＋2×0．1＋3×0．6＝2．3，E (η)＝1×0．3＋2×0．4＋3×0．3＝2，D (ξ)＝(1－2．3)2×0．3＋(2－2．3)2×0．1＋(3－2．3)2×0．6＝0．81， D (η)＝(1－2)2×0．3＋(2－2)2×0．4＋(3－2)2×0．3＝0．6．由于E (ξ)＞E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)＞D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．【练3】【答案】乙厂生产的灯泡质量较好．【解析】由期望的定义，得E (X )＝900×0．1＋1 000×0．8＋1 100×0．1＝1 000， E (Y )＝950×0．3＋1 000×0．4＋1 050×0．3＝1 000．两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得D (X )＝(900－1 000)2×0．1＋(1 000－1 000)2×0．8＋(1 100－1 000)2×0．1＝2 000，D (Y )＝(950－1 000)2×0．3＋(1 000－1 000)2×0．4＋(1 050－1 000)2×0．3＝1 500．因为D (X )＞D (Y )，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．练习答案1. 【答案】 B【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】由分布列可知： a ＋b ＋c ＝1 ．E(ξ)＝0×a ＋1×b ＋2×c ＝43 ， D(ξ)＝(0−43)2×a ＋(1−43)2×b ＋(2−43)2×c ＝59 ，即 16a ＋b ＋4c ＝5所以联立方程组得：{a＋b＋c＝10×a＋1×b＋2×c＝4316a＋b＋4c＝5，解得：{a＝16b＝13c＝12故答案为：B【分析】由已知条件解分布列中的数据求出a＋b＋c＝1，再由期望和方差公式整理得出关于a、b、c的方程组，由此计算出答案即可。

高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册教材解读与教学分析

49
51
• 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，
化验结果是存有错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而
没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，他
真的患肝癌的概率是多少？
解：记B为事件“被检查者患有肝癌”，A为事件“检查结果呈阳性”。由题设
例向圆盘随机投飞镖一次，用X表示正中圆心的次数，则X 是离散型随
机变量，其分布列为
X
0
1
P
1
0
7.3 离散型随机变量的数字特征
为什么要研究随机变量的数字特征？
62
7.3.1 离散型随机变量的均值
均值是一个度量性概念，一般度量性概念因比较而产生. 通过下面的问
题情境体会均值概念引入的必要性及定义，认识均值的意义.
式。
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数
原理
从设计巧妙的“数法”入手，首先通过
“给一个座位编号”创设不同的情境，让
学生分析比较各自的问题特征以及解决
问题的基本环节；然后从特殊到一般，
抽象概括出两个基本原理；并且选取了
8个例题，逐步实现从原理理解到综合
应用.
6.3 二项式定理
运用多项式乘法法则和两个计数原
实例，借助于频率直方图的直观，了解正态分布的特征.
了解正态分布的均值、方差及其含义.
23
7.1 条件概率与全概率公式
本节主要研究一般交事件（非独立）的概率运算法则，进而综合运用概
率的运算法则求复杂事件的概率。核心内容是一个概念和三个公式：条件概
率、乘法公式、全概率公式和*贝叶斯公式。
实验版课标中引入条件概率为了得到两个事件相互独立，进而得出二项

离散型随机变量的均值和方差课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
P
p1
p2
··· x i
··· pi
··· x n
··· pn
则称
E ( X ) x1 p1 x2 p2 … xi pi … xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离
散型随机变量取值的平均水平。
情景回顾
X
18
24
简称分布列.如下表所示
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
3.两点分布列
X
0
1
P
1－P
P
问题引导讲授新课
问题一：如果你期末考试各门成绩为：
90、81、79、69、85、91
那你的平均成绩是多少？
90 81 79 69 85 91
82.5
6
… xn
x1 x2
p1 p2
加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑
到每个数量在总量中所具有的重要性不同，
分别给予不同的权数。
问题情景1
18元/kg
24元/kg
36元/kg
按3：2：1的比例混合，混合糖果
中每一粒糖果的质量都相等.
定价为混合糖果的平均价格才合理
情景探究
按3：2：1混合以下糖果
X
18 18元/kg
概率
0.1
股票B收益的分布列
0
2
收益Y / 元
0
1
2
0.3
0.6
概率

高中数学人教A版选择性必修第三册离散型随机变量课件

教材分析
学情分析
教学目标
教学重难点
教学过程
教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，会用随机变量表示随机试验的结果。教学难点：从函数的角度理解随机变量的概念。
教材分析
学情分析
教学目标
教学重难点
教学过程
创设情境，引入新知探究建构，形成概念类比探究，深化概念例题应用，学习新知课堂小结，课后作业
2、经历随机变量的概念的建构过程，理解本节课的中心思想——用数字表示随机事件，从而可以借助数学工具来简化和研究随机现象。（数学抽象、逻辑推理）
3、通过类比、归纳认识随机变量与映射的相关性，从函数的角度理解随机变量。（逻辑推理）
4、使学生进一步感受到生活与数学的“零距离”，感受生活中大量随机现象都存在着数量规律。（数学抽象、逻辑推理）
➢ 作用：在概率统计中，随机变量是联系概率与统计的纽带与桥梁，它连接了随机现象与实数空间，是对随机事件的数量刻画。
教材分析
学情分析
教学目标
教学重难点
教学过程
➢ 授课对象：普通中学高二的学生
➢ 知识层面：在必修课程中初步学习了概率和随机现象的相关知识，以及“函数”内容的学习，这些为定义随机变量、离散型随机变量提供了知识基础。
➢ 能力层面：具有一定的分析和概括能力、数学抽象能力。 ➢ 认知障碍：随机变量不同于学习函数时遇到的变量，它是按一定的概率随机取
值的变量，按现有知识和认识水平，不易透彻理解。
教材分析
学情分析
教学目标
教变量与离散性随机变量的概念，学会在随机试验中引入随机变量表示试验结果，通过对实例的分析与概括了解随机变量的分类。（数学抽象、数学建模、数学运算）
教材分析

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7.3 离散型随机变量的数字特征 1、一般地，若离散型随机变量X的分布列，如图所示 X 1x 2x

…

P 1p 2p

…

则称niiinnpxpxpxpxXE12211)(为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。均值是随机变量可能取值

关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平 2、用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值)(XE的偏差程度，则称

niiinnpXExpXExpXExpXExXD12222212

1))(())(())(())(()(

为随机变量X的方差，称

)(XD为随机变量X的标准差，记为)(X

3、随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 4、重要结论：bXaEbaXE)()(；)()(XDabaXD2

题型一数学期望中的参数问题例 1 某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下： ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，则y的值为( ) A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 C [解析] 由题意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，两式联立解得y＝0.2.

设随机变量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 13 16

若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于( )

知识梳理巩固练习知识典例 A.13 B．16 C.12 D．56 D [解析] 由分布列的性质，得a＋13＋16＝1，所以a＝12.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56. 题型二期望、方差例 2 （多选）一组数据12321,21,21,,21nxxxx的平均值为7，方差为4，记

12332,32,32,,32nxxxx的平均值为a，方差为b，则（）

A．a=7 B．a=11 C．b=12 D．b=9 【答案】BD

（多选）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4

P q 0.4 0.1 0.2 0.2

若离散型随机变量Y满足21YX，则下列结果正确的有（） A．0.1q B．2EX，1.4DX C．2EX，1.8DX D．5EY，7.2DY 【答案】ACD 题型三最值问题

例 3 在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为，则期望()E____，方差()D的最大值为____．【答案】p 14

已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)=13，P(ξ=n)=a，若Eξ=2，则Dξ的最小值是_____. 【答案】0 题型四期望、方差中的计算

例 4 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、期望和方差；

巩固练习巩固练习 (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． [解] (1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15

所以E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，

所以a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4.

已知随机变量X的分布列为 X 0

P 12 1

3 p

若23EX.

（1）求DX的值；（2）若32YX，求DY的值.

【答案】（1）59；（2）5. 题型五实际应用

例 5 一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号分别为2，4，6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)． (1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率； (2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． [解] (1)设A＝“取出的3个球中含有编号为2的球”，

则P(A)＝C12C25＋C22C15C37＝20＋535＝2535＝57. (2)由题意得，ξ可能取的值为0，1，2，3，则

巩固练习 P(ξ＝0)＝C33C37＝135， P(ξ＝1)＝C14·C23C37＝1235， P(ξ＝2)＝C24·C13C37＝1835， P(ξ＝3)＝C34C37＝435. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435

所以E(ξ)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.

若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)． [解] (1)个位数字是5的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1，1，因此 P(X＝0)＝C38C39＝23， P(X＝－1)＝C24C39＝114， P(X＝1)＝1－114－23＝1142. 所以X的分布列为 X 0 －1 1 P 23 114 1142

则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.

巩固练习 1、已知离散型随机变量X的概率分布列为（） X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)＝（） A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4 【答案】C 2、设01p，随机变量的分布列如图，则当p在0,1内增大时，（）

 0 1 2

P 12p 12 2p

A．D减小 B．D增大 C．D先减小后增大 D．D先增大后减小【答案】D 3、已知离散型随机变量X的分布列如下： X 0

P x 4x 5x

由此可以得到期望EX与方差DX分别为（） A．1.4EX，0.2DX B．0.44EX，1.4DX C．1.4EX，0.44DX D．0.44EX，0.2DX 【答案】C 4、随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于 ( )

X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A．16 B．11 C．2.2 D．2.3 【答案】A

巩固提升 5、已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相

互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则E（） A．145 B．135 C．73 D．83 【答案】A 6、由以往的统计资料表明,甲、乙两运动员在比赛中得分情况为:

现有一场比赛,派哪位运动员参加较好?( ) A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定【答案】A 7、（多选）已知X的分布列为 X －1 0 1

P 12 a 16

则下列说法正确的有（） A．P(X＝0)＝13 B．E(X)＝－13 C．D(X)＝2327 D．P(X＞－1)＝12 【答案】ABD 8、下列说法正确的有________(填序号)． ①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．【答案】4 9、已知随机变量X的分布列如下表；且()2EX，则p________，(23)DX_____________. X 0 2

P 16 p 13

【答案】12 4