2010年浙江省高考数学试卷(理科)及答案

2010年浙江省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）

A．P?Q B．Q?P C．P?C R Q D．Q?C R P

2．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）

A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？

3．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则=（）

A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11

4．（5分）设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．B．z2=x2﹣y2C．D．|z|≤|x|+|y|

6．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m

7．（5分）若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数

m=（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

8．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在

双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）

A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0

9．（5分）设函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）

A．[﹣4，﹣2]B．[﹣2，0]C．[0，2]D．[2，4]

10．（5分）设函数的集合P=，

平面上点的集合Q=，

则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（）

A．4 B．6 C．8 D．10

二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）

11．（4分）函数的最小正周期是．12．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3．

13．（4分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为．

14．（4分）设n≥2，n∈N，（2x+）n﹣（3x+）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，将|a k|（0≤k≤n）的最小值记为T n，则T2=0，T3=﹣，T4=0，T5=﹣，…，T n…，其中T n=．

15．（4分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是．

16．（4分）已知平面向量满足，且与

的夹角为120°，则||的取值范围是．

17．（4分）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有种（用数字作答）．

三、解答题（共5小题，满分72分）

18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

19．（14分）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式

进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．

（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%．记随变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Εξ；

（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P（η=2）．

20．（15分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4．沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．（Ⅰ）求二面角A′﹣FD﹣C的余弦值；

（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

21．（15分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别

为椭圆C的左、右焦点．

（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

22．（14分）已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）e x，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，

（Ⅰ）求b的取值范围；

（Ⅱ）设x1，x2，x3是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某种排列x i1，x i2，x i3，x i4（其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由．

2010年浙江省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2010?浙江）设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）

A．P?Q B．Q?P C．P?C R Q D．Q?C R P

【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出

【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，

可知Q?P，故B正确．

2．（5分）（2010?浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）

A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．

【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：

K S 是否继续循环

循环前1 1/

第一圈2 4 是

第二圈3 11 是

第三圈4 26 是

第四圈5 57 否

故退出循环的条件应为k＞4

故答案选A．

3．（5分）（2010?浙江）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则=（）

A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11

【分析】先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．

【解答】解：设公比为q，

由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，

解得q=﹣2，

所以==﹣11．

故选A．

4．（5分）（2010?浙江）设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】由x的范围得到sinx的范围，则由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求．

【解答】解：∵0＜x＜，

∴0＜sinx＜1，

故xsin2x＜xsinx，

若“xsinx＜1”，则“xsin2x＜1”

若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．

由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件

．故选B．

5．（5分）（2010?浙江）对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A．B．z2=x2﹣y2C．D．|z|≤|x|+|y|

【分析】求出复数的共轭复数，求它们和的模判断①的正误；求z2=x2﹣y2+2xyi，显然B错误；，不是2x，故C错；|z|=≤|x|+|y|，正确．【解答】解：可对选项逐个检查，A选项，，故A错，

B选项，z2=x2﹣y2+2xyi，故B错，

C选项，，故C错，

故选D．

6．（5分）（2010?浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）

A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m

【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．

【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；

C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异面，故不正确．

D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．

B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．

故选B

7．（5分）（2010?浙江）若实数x，y满足不等式组且x+y的最大

值为9，则实数m=（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，

设z=x+y，

将最大值转化为y轴上的截距，

当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，

数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得

m=1，

故选C．

8．（5分）（2010?浙江）设F1、F2分别为双曲线的左、

右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）

A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0

【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，

【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知

可知|PF1|=2=4b

根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=

∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0

故选C

9．（5分）（2010?浙江）设函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f （x）不存在零点的是（）

A．[﹣4，﹣2]B．[﹣2，0]C．[0，2]D．[2，4]

【分析】将函数f（x）的零点转化为函数g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的交点，在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象，数形结合对各个区间进行讨论，即可得到答案

【解答】解：在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象

如下图示：

由图可知g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，

由图可知函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x在区间[﹣4，﹣2]上没有零点

故选A．

10．（5分）（2010?浙江）设函数的集合P=，

平面上点的集合Q=，

则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】把P中a和b的值代入f（x）=log2（x+a）+b中，所得函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数，即可得到选项．

【解答】解：将数据代入验证知

当a=，b=0；

a=，b=1；

a=1，b=1

a=0，b=0

a=0，b=1

a=1，b=﹣1

时满足题意，

故选B．

二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）

11．（4分）（2010?浙江）函数的最小正周期是π．

【分析】本题考查的知识点是正（余）弦型函数的最小正周期的求法，由函数

化简函数的解析式后可得到：

f（x）=，然后可利用T=求出函数的最小正周期．

【解答】解：

=

=

=

∵ω=2

故最小正周期为T=π，

故答案为：π．

12．（4分）（2010?浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是144cm3．

【分析】由三视图可知几何体是一个四棱台和一个长方体，求解其体积相加即可．【解答】解：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，

由公式计算得体积为=144．

故答案为：144．

13．（4分）（2010?浙江）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为．

【分析】根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线准线的距离．

【解答】解：依题意可知F坐标为（，0）

∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，

∴抛物线准线方程为x=﹣

所以点B到抛物线准线的距离为+=，

故答案为

14．（4分）（2010?浙江）设n≥2，n∈N，（2x+）n﹣（3x+）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，将|a k|（0≤k≤n）的最小值记为T n，则T2=0，T3=﹣，T4=0，T5=﹣，…，

T n…，其中T n=．

【分析】本题主要考查了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题．根据已知中T2=0，T3=﹣，T4=0，T5=﹣，及，（2x+）n﹣（3x+）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，将|a k|（0≤k≤n）的最小值记为T n，我们易得，当n的取值为偶数时的规律，再进一步分析，n为奇数时，Tn的值与n的关系，综合便可给出Tn的表达式．

【解答】解：根据Tn的定义，列出Tn的前几项：

T0=0

T1==

T2=0

T3=﹣

T4=0

T5=﹣

T6=0

…

由此规律，我们可以推断：T n=

故答案：

15．（4分）（2010?浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是

．

【分析】由题设知（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，即2a12+9a1d+10d2+1=0，由此导出d2≥8，从而能够得到d的取值范围．

【解答】解：因为S5S6+15=0，

所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，整理得2a12+9a1d+10d2+1=0，

此方程可看作关于a1的一元二次方程，它一定有根，故有△=（9d）2﹣4×2×（10d2+1）=d2﹣8≥0，

整理得d2≥8，解得d≥2，或d≤﹣2

则d的取值范围是．

故答案案为：．

16．（4分）（2010?浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是（0，] ．

【分析】画出满足条件的图形，分别用、表示向量与，由与

的夹角为120°，易得B=60°，再于，利用正弦定理，易得||的取值范围．

【解答】解：令用=、=，如下图所示：

则由=，

又∵与的夹角为120°，

∴∠ABC=60°

又由AC=

由正弦定理得：

||=≤

∴||∈（0，]

故||的取值范围是（0，]

故答案：（0，]

17．（4分）（2010?浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有264种（用数字作答）．【分析】法一：先安排上午的测试方法，有A44种，再安排下午的测试方式，由于上午的测试结果对下午有影响，故需要选定一位同学进行分类讨论，得出下午的测试种数，再利用分步原理计算出结果

法二：假定没有限制条件，无论是上午或者下午5个项目都可以选．组合总数为：

4×5×4×4=320．再考虑限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．在总组合为320种的组合中，上午为握力的种类有32种；同样下午为台阶的组合有32种．最后还要考虑那去掉的64种中重复去掉的，如A同学的一种组合，上午握力，下午台阶（这种是被去掉了2次），A同学上午台阶，下午握力（也被去掉了2次），这样的情况还要考虑B．C．D三位，所以要回加2×4=8．进而可得答案．

【解答】解：解法一：先安排4位同学参加上午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”测试，共有A44种不同安排方式；接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”测试，假设A、B、C同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试，若D同学选择“握力”测试，安排A、B、C同学分别交叉测试，有2种；若D同学选择“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试中的1种，有A31种方式，安排A、B、C同学进行测试有3种；根据计数原理共有安排方式的种数为A44（2+A31×3）=264，

故答案为264

解法二：假定没有这个限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．无论是上午或者下午5个项目都可以选．上午每人有五种选法，下午每人仅有四种选法，上午的测试种数是4×5=20，下午的测试种数是4×4=16故我们可以很轻松的得出组合的总数：4×5×4×4=320．

再考虑这个限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．在总组合为320种的组合中，上午为握力的种类是总数的，32种；同样下午为台阶的组合也是总数的，32种．所以320﹣32﹣32=256种．

但是最后还要考虑那去掉的64种中重复去掉的，好像A同学的一种组合，上午握力，下午台阶（这种是被去掉了2次），A同学上午台阶，下午握力（也被去掉了2次），这样的情况还要B．C．D三位，所以要回加2×4=8．

所以最后的计算结果是4×5×4×4﹣32﹣32+8=264．

答案：264．

三、解答题（共5小题，满分72分）

18．（14分）（2010?浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，

已知cos2C=．

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

【分析】（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sinC的值．

（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．

【解答】解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π

所以sinC=．

（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，解得c=4．

由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π 得cosC=±．

由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得b2±b﹣12=0，

解得b=或b=2．

所以b=或b=2，c=4．

19．（14分）（2010?浙江）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A 或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．

（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%．记随变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Εξ；

（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P（η=2）．

【分析】（Ⅰ）解：由题意知随变量ξ为获得k等奖的折扣，则ξ的可能取值是50%，70%，90%，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的分布列，做出期望．

（2）根据第一问可以得到获得一等奖或二等奖的概率，根据小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．可以把获得一等奖或二等奖的人次看做符合二项分布，根据二项分布的概率公式得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）解：随变量量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣，则ξ的可能取值是50%，70%，90%

P（ξ=50%）=，P（ξ=70%）=，P（ξ=90%）=

∴ξ的分布列为

ξ50%70%90%

P

∴Εξ=×50%+×70%+90%=．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=．

由题意得η～（3，）

则P（η=2）=C32（）2（1﹣）=．

20．（15分）（2010?浙江）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD 上，AE=EB=AF=FD=4．沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．（Ⅰ）求二面角A′﹣FD﹣C的余弦值；

（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

【分析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力．

（1）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H ⊥EF，又因为平面A′EF⊥平面BEF．则我们可以以A的原点，以AE，AF，及平面ABCD的法向量为坐标轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则锐二面角A′﹣FD ﹣C的余弦值等于平面A′FD的法向量，与平面BEF的一个法向量夹角余弦值的绝对值．

（2）设FM=x，则M（4+x，0，0），因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，根据空间两点之间距离公式，构造关于x的方程，解方程即可得到FM的长．【解答】解：（Ⅰ）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，

又因为平面A′EF⊥平面BEF．

如图建立空间直角坐标系A﹣xyz

则A′（2，2，），C（10，8，0），

F（4，0，0），D（10，0，0）．

故=（﹣2，2，2），=（6，0，0）．

设=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量，

﹣2x+2y+2z=0

所以6x=0．

取，则．

又平面BEF的一个法向量，

故．

所以二面角的余弦值为

（Ⅱ）设FM=x，则M（4+x，0，0），

因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，

故，，得，

经检验，此时点N在线段BC上，

所以．

方法二：

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH．因为A′E=A′F及H是EF的中点，

所以A′H⊥EF

又因为平面A′EF⊥平面BEF，

所以A′H⊥平面BEF，

又AF?平面BEF，

故A′H⊥AF，

又因为G、H是AF、EF的中点，

易知GH∥AB，

所以GH⊥AF，

于是AF⊥面A′GH，

所以∠A′GH为二面角A′﹣DH﹣C的平面角，

在Rt△A′GH中，A′H=，GH=2，A'G=

所以．

故二面角A′﹣DF﹣C的余弦值为．

（Ⅱ）解：设FM=x，

因为翻折后，C与A′重合，

所以CM=A′M，