高考数学总复习教案：3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数

(对应学生用书(文)、(理)40～41页)

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1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．

答案：四

解析：由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．

2. 角α终边过点(－1，2)，则cosα＝________．

答案：－

5 5

3. 已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．答案：1或4

4. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－3

5

5. (必修4P 15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－5

13，则sin θ＝____________，

tan θ＝____________．

答案：－1213 12

5

解析：cos θ＝

－x x 2＋36

＝－513，解得x ＝5

2

.sin θ＝

－6⎝⎛⎭

⎫－522

＋（－6）2

＝－1213，tan θ＝12

5

.

1. 任意角

(1) 角的概念的推广

① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角

终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k ∈Z )． (3) 弧度制

① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l

r ，l 是以角α作为圆

心角时所对圆弧的长，r 为半径．

③ 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ④ 弧长公式：l ＝|α|r ．

扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1

2|α|r 2．

2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数定义

设P(x ，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x ，它们都是以

角为自变量，以比值为函数值的函数．

(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．

3. 三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

[备课札记]

题型1 三角函数的定义

例1 α是第二象限角，P(x ，5)为其终边上一点，且cos α＝2

4

x ，求sin α的值． 解：∵ OP ＝

x 2＋5，∴ cos α＝

x

x 2

＋5

＝

2

4x.又α是第二象限角，∴ x<0，得x ＝－3， ∴ sin α＝5

x 2

＋5＝104.

变式训练

已知角α终边上一点P(－3，y)，且sin α＝2

4y ，求cos α和tan α的值． 解：r 2＝x 2＋y 2＝y 2＋3，由sin α＝y

r

＝

y y 2＋3

＝

24

y ，

∴ y ＝±5或y ＝0.当y ＝5即α是第二象限角时，cos α＝x r ＝－64，tan α＝－15

3；当y ＝－5即α

是第三象限角时，

cos α＝x r ＝－64，tan α＝15

3；当y ＝0时，P(－3，0)，

cos α＝－1，tan α＝0.

题型2 三角函数值的符号及判定

例2 (1) 如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限； (2) 若θ是第二象限角，试判断sin(cos θ)的符号． 解：(1) 因为点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ<0，2cos θ<0，

即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，

所以θ为第二象限角． (2) ∵ 2k π＋π

2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴ －1

∴ sin(cos θ)<0.∴ sin(cos θ)的符号是负号． 备选变式（教师专享）

已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限． 答案：四

解析：由题意，得tan α＜0且cos α＞0，所以角α的终边在第四象限． 题型3 弧长公式与扇形面积公式

例3 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.

(1) 若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓． ∵ α＝60°＝π3，R ＝10，∴ l ＝10

3

π(cm)．

S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－1

2×102·sin60°＝50⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－32 cm 2.