应用泛函分析复习主要内容及习题解答

《应用泛函分析》复习与总结

第一部分空间及其性质

泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间,函数空间,向量空间等,也包括空间的性质,例如完备性,紧性,线性性质,空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间

（1）距离空间（集合+距离）

！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i)【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii)【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；

(iii)【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。

距离空间的典型代表：所有的赋范线性空间、所有的内积空间。（2）赋范线性空间（线性空间+范数）

！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X 是数域F 上的线性空间，对于F a ∈和,x y X ∈，成立

(i)【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】；(ii)【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；

(iii)【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。

赋范线性空间的典型代表：n R 空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L a b 空间（1p ≤≤∞）、[,]C a b 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间（线性空间+内积）

！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域F 上的线性空间，

对于F a ∈和,,x y z X ∈，成立

(i)【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii)【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii)【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv)【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。

内积空间的典型代表：n R 、2l 空间、2([,])L a b 空间。注.

1)从概念的外延来理解,有如下的关系:

{内积空间}⊂{赋范线性空间}⊂{距离空间}.

2)内积可导出范数,范数可导出距离,反之未必.例如在赋范线性空间中,如果范数满足平行四边形公式,则由范数可以定义内积.

3)在距离空间中，0k x x ρ

−−

→⇔0(,)0k x x ρ→，当k →∞；赋范线性空间中，||||

0k x x ⋅−−

→⇔0||||0k x x -→，当k →∞；内积空间中，||||

0k x x ⋅−−

→⇔00(,)0k k x x x x --→，当k →∞.重点.！要求会验证距离,范数和内积.

二．完备性，稠密性，可分性（1）！完备性

距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”

具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为Banach 空间；完备的内积性空间称为Hilbert 空间.

重点.验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。注.

距离空间的*完备化不是本课程的重点.（2）稠密性

若A B ⊇,则称A 在B 中稠密.当A B ⊂时,也称A 是B 的稠密子集.关于A 在B 中稠密的等价命题:

A 在

B 中稠密⇔y B ∀∈,存在n x A ∈,使得n x y ρ

−−

→;（3）！可分性

如果B 有可数的稠密子集A ,则称B 具有可分性.类似地可以定义可分的距离空间,可分的赋范线性空间,可分的内积空间等.不具有可分性的空间B 称为不可分空间.可分空间的典型代表：n R 空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤<∞）、([,])p L a b 空间（1p ≤<∞）、[,]C a b 空间、[,]k C a b 空间.不可分空间的典型代表：l ∞空间、([,])L a b ∞空间.

重点.要求会找出具体的可分空间中可数稠子集.掌握不可分空间的证明方法.

！不可分空间的证明方法:如果空间X 中含有一个不可数子集A ,且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数,则X 是不可分的.（例如l ∞中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全体；([,])L a b ∞中这样的集合是[,]a t 上的集特征函数全体）三空间中的集合

（1）开集、闭集、有界集、无界集；（2）内积空间中的正交集，！正交基.（3）有限维赋范线性空间的性质：

1.有界集即列紧集；

2.有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。

四具体的空间

已经学过的具体空间有：◆n R 空间（1,2,3,n =L ）;◆p l 空间（1p ≤≤∞）;◆([,])p L a b 空间（1p ≤≤∞）;◆[,]C a b 空间;◆[,]k C a b 空间。注.

1.要求掌握每个具体空间中收敛的含义；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数

收敛意味着每个分量收敛、[,]C a b 点列的收敛意味着函数列的一致收敛等等)。

2.！要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；（([,])p L a b 的完备性证明不作要求）

3.会用Holder 不等式、Minkowski 不等式、Cauchy 不等式等；

5.具体空间的共轭空间，仅限于要求掌握：

！p l 空间（1p ≤≤∞）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；([,])p L a b 空间（1p ≤≤∞）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）

；第二部分映射算子泛函

泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理,例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。

一.泛函分析中的映射在泛函分析中,映射

:T X Y

→当,X Y 是空间时称为算子;当X 是空间,Y 是数域(F)时称为泛函;

当X 是线性空间时,主要考虑线性算子:

()T ax by aTx bTy +=+,,a b K ∈,,x y X ∈;

泛函分析中的非线性映射:

*压缩映射:(,)(,)Tx Ty x y ραρ≤,其中[0,1)α∈.

Banach 不动点定理.

二.有界线性算子

（1）(,)L X Y 是由X 映射到Y 的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间（尤其是当Y 是Banach 空间时(,)L X Y 也是Banach 空间）；

（2）有界线性算子列0{}(,)k k T L X Y ∞=⊂的收敛：

算子列的按算子范数收敛：(,)

||||

0L X Y k T T ⋅−−−−

→；算子列的强收敛：对于每一个x X ∈，||||0()()Y

k T x T x ⋅−−

−→；（3）重要定理

开映射定理、逆算子定理；！共鸣定理、！一致有界定理、；闭图像定理、